В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Согласно интегральному вариационному принципу Гамильтона эта зависимость выделена среди других тем, что действие О' при действительном движении принимает стационарное значение. Это означает, что если мы рассмотрим действительное движение 4;(8) и движение д;(~)+бд,(~), отличающееся от действительного на малую вариацию Бд;, то разность соответствующих им функционалов О(4; + 64;] — 5(д;) в первом порядке малости относительно Бд; всегда должна обращаться в нуль: О"О = О. Таким образом, для получения уравнений движения механической системы необходимо задать функцию Лагранжа Х исследуемой системы частиц и провести варьирование функции действия.
В случае, когда функция Лагранжа зависит только от Обобщенных координат д;, обобщенных скоростей д; и, быть может, от времени Х = Х(д;,д;,8), применение Вариационного принципа стационарного действия, как известно, приводит к следующим уравнениям движения, называемым уравнениями 230 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ [гл. ч Лагранжа 2-го рода: (40.3) дХ, Р. =— д4, (40.4) в научной литературе получила название обобщенного импульса системы, а производная по обобщенной коор- динате (40.5) обобщенной сильк Использование функции Лагранжа Х для получения уравнений движения не исчерпывает область ее применения. Как показывает практика, функция Лагранжа играет большую роль при поиске законов сохранения (интегралов движения) обобщенной энергии и обобщенного импульса системы. Таким образом, задание явного вида функции Лагранжа Однозначно предопределяет вид уравнений движения и позволяет указать интегралы движения системы.
Поэтому Одной из важнейших задач механики является установление вида функции Лагранжа для различных типов взаимодействий. В результате проведенных исследований в настоящее время установлены общие принпипы, Поэтому, знал явный вид функции Лагранжа, уравнения движения можно получить непосредственно из соотношения (40.3), не обращаясь каждый рэз к принципу стационарного действия (40.2).
Производнэл от функции Лагранжа по обобщенной скорости ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ ПРИНЦИПА 231 з 401 то е Х = — — еу+ — (чл). 2 с (40.6) Принцип стационарного действия широко применяется и в теориях различных физических полей. Так как физическое поле представляет собой не дискретный объект, как в механике точки, а распределено в пространстве, то функцию действия О' записывают в виде интеграла по некоторой произв~льной четырехмерной области У4 пространства-времени: ~ ~4 с,/ (40.7) где Фх = с1хойх Йх~бх — элемент четырехмерного объема. Функцию Е по аналогии с классической механикой называют плотностью функции Лагранжа или плотностью лагранжиана.
Она связана с функцией Лагранжа Х простым соотношением: Х = ) Ых1Нх~еЬэ. позволяющие облегчить нахождение функции Лагранжа при построении новых теорий. Одним из этих принпипов является принцип соответствия, согласно которому все уравнения и соотношения новой теории в предельных случаях должны приводить к уже известным уравнениям и соотношениям. В применении к рассматриваемому нами случаю механики этот принцип требует, чтобы функция Лагранжа Х для заряженной частицы, движущейся во внешнем электромагнитном поле, при малых скоростях движения о « с переходила в хорошо известную функцию Лагранжа не- релятивистской механики: 333 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ 1ГЛ.
У Выбор явного вида плотности лагранжиана осуществляется исходя из ряда требований. Основными иэ них являются общетеоретические требования. К их числу, в первую очередь, относятся условия Вещественности и ковариантности, включая и релятивистскую инвариант- ность, функции .С. Вещественность плотности лагранжиана гарантирует, что динамические характеристики физического поля, такие, например, как четырехвектор энергии-импульса поля, будут вещественными. Требование ковариантностн плотности лагранжиана Е приводит к ковариантным уравнениям поля, обеспечивая тем самым их релятивистскую инвариантность.
В силу этого требования выражение для А'. не должно содержать явной зависимости от координат и времени, поскольку такая зависимость нарушает релятивистскую инвариантность. Кроме того, функция .С должна быть плотностью скаляра веса +1. Это означает, что плотность лагранжиана А", должна представлять собой произведение весовой функции / — д, где д — определитель метрического тензора, на некоторую скалярную функцию, построенную из функций поля, метрического тензора и ИХ ПРОИЗВОДНЫХ. Более специфическими требованиями являются требования локальности и линейности получаемых уравнений поля и ограничение их порядка не выше второго.
Эти требования обеспечиваются тем, что лагранжиан строится лишь из квадратичных комбинаций функций поля и их первых производных. Однако данные требования не являются обязательными и существуют теории, уравнения поля которых не удовлетворяют Одному или нескольким из них. Так, например, в настоящее время з 41] УРАВнениЯ движения В че'гыРехмеРИОм Виде 233 изучаются различные модели теории поля, основанные на нелокальных или нелинейных уравнениях поля; очень часто рассматриваются теории поля с Высшими производными (порядка вьппе второго). Таким образам, лагранжиан теории должен являться некоторой скалярной плотностью веса +1, построенной из изучаемых физических полей, метрического тензора д;ь и их частных производных по координатам и времени.
3 41. Уравнения движения релятивистской заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле в четырехмерном виде В аналитической механике уравнения движения не- релятивистской заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле можно получить, потребовав, чтобы функция действия была сталионарна на истинных уравнениях движения: ЭО =О. Вполне естественно, что для построения уравнений движения релятивистской механики мы также должны использовать принцип стационарного действия, соответствующим образом изменив выражение 141.1) для функции действия.
Отметим прежде всего, что движение частицы по некоторой траектории, начавшееся в момент времени 1 = 1А из точки с трехмерными координатами я = ея, у = 234 пгинцип стАционАРного действия [Гл. Ч (41.2) 5 = ХсЬ. А Скалярная функция ~„входящая в выражение (41.2), должна зависеть от характеристик частицы и внешнего электромагнитного поля. В качестве характеристик частицы, очевидно, могут выступать ее масса и заряд, а также четырехвектор скорости и' и ускорения св' (если уА, х = хА и прохсдящее в момент времени ~ = 1н через точку с координатами х = хл, у = ун, г = хв в четырехмерном пространстве-времени представляет собой линию, начинающуюся в точке А с координатами х~А — — (хА — — с1А, х,4, уА, х 4) и проходящую через точку хн = (х ц = ссн хн,ун, зн).
Эта линия в научной лигературе называется мировой Аииивй чссстпицы. Если использовать понятие мировой линии, то интеграл, стоящий в правой части выражения (41.1), можно интерпретировать как интеграл по проекции мировой линии на ось времени. Однако, время согласно специальной теории относительности хотя и является вьсцеленной переменной, тем не менее представляет собой только сдну из четырех координат четырехмерного пространства- времени.
Поэтому для обеспечения равноправия всех четырех координат функцию действия мы будем представлять как криволинейный интеграл по мировой линии частицы от некоторой начальной точки А до конечной точки В. Пля того, чтобы этот интеграл был инвариантсм при преобразованиях Лоренца, интегрирование в функции действия будем осуществлять по интервалу сЬ: з 4ц углвнвния движения в чвтывихмвгном видя 235 ограничиться, как это обычно делают, уравнениямидвижения, ссдержыцими производные от координат по, времени не выше второго порядка). Тензорными.
величинами, характеризующими электромагнитное поде, являются четырехпотенциал А; и тензор электромагнитного поля Рп,. Твк как функция ~ ~~~~~т~я скаляром, го она должна зависеть только от скалярных величин, построенных из четырехмерных векторов и', св', А, и тензора Хд, Таких скаляров можно построить очень много: и',и;, и'св;, т.п. Все эти возможности в теоретической физике'были изучены и выяснилось, что не все из них могут использоваться при построении функции [..
В частности„явно не подходят скаляры и'и;, и'со; и Рд,и*и~, так как и'и, = 1, и'св, = О и Рсьи'и = О. Палее, если бы функция ~ зависела от скаляра А'св;, то уравнения движения частиц не были бы калибровсчно инвариантными. Так как калибровочная инвариантность электродинамики является очень важным свойством, то функция [ не должна зависеть от скаляра А'и;. Скаляр Р;ьсо'и[' также должен быть отброшен, так как приводит к уравнениям движения частицы, ссдержа; щим третьи произвсдиые от координат по времени. Следует также отметить, что скаляры, ссдержащие характеристики электромагнитного поля в квадратичной и выше комбинациях, привсдят к уравнениям движения, зависящим от внешнего поля нелинейно.
Это свойство электромагнитных полей, возможно, и адекватно прирсде, но при достижимых в лабораторных услови- 236 пРинцип стАционАРного дейстВия [Гл. к 3 4ц УРАВнеиия движения В четыгехмегном виде 237 ях полях не проявляется. Поэтому, в качестве первого приближения к истине, мы будем считать, что функция Г должна быть линейной функцией внешнего электромагнитного поля. Это с неизбежностью приводит нас к выражению: .Г = оо + о1АВ', (41.3) С~с с 1 Х = сесс — — + о2с[~р — -(ч А)).
(41.5) 2с с Так как добавление константы к лагранжиану не изменяет уравнений двивяния, то отбросим в выражении (41.5) константу оос. Сравнивал оставшуюся часть выражения (41.5) с нерелятивистским лагранжианом (40.6), найдем константы: оо = — загс, а2 — — — е/с. В результате лагранжиан для релятивистской заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле примет вид: гг е Х, = — тс 1 — — — еу+ — ~ч А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
