В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Наиболее ярко нелинейно-электрсдинамические эф- + — 1зс1х Нх Йх сЬ 16яс „1 = ьг; г"', (46.3) 256 пРинцип стАпиОнАРнОГО действия СГЛ. Ъ фекты должны проявляться в астрофизических условиях, при полях В 10'~ — 1016 Гс, характерных для пульсаров и магнетаров. В этом случае должны происходить расщепление фотонов на два фотона, генерация второй гармоники, нелинейно-электрсдинамическое искривление лучей электромагнитных волн в магнитном дипольном поле, а также вызываемое двулучепреломлением вакуума нелинейно-электрсдинамическое залаздывание электромагнитного сигнала, переносимого одной нормальной волной, по сравнению с электромагнитным сигналом, переносимым другой нормальной волной.
Однако экспериментальных программ по изучению проявлений таких эффектов в сильных магнитных полях пульсаров и магнетаров пока нет. Таким образом, при электромагнитных полях, достижимых в лабораторных условиях, нелинейные члены в уравнениях электромагнитного поля чрезвычайно малы и ими можно пренебречь. Поэтому для описания таких электромагнитных явлений мы можем испольэовать линейную электродинамику Максвелла, функция Еу которой имеет внд: где 6 — некоторая постоянная, которая зависит от выбора системы единиц.
В гауссовой системе единиц она равна: 6 = 1/(16я). Таким образом, в качестве плотности лагранжиана свободного электромагнитного поля Еу будем рассматривать выражение: плОтнОсть Фхнкции лАГРАнжА ' 257 Поэтому в декартовой системе координат внерциальной системы отсчета, где ~/ — д = 1, действие для системы, состоящей из заряженных частиц и электромагнитного поля, принимает вид: — *~'~ — ~- ЬЬ + (46.4) с„( Это выражение мы и будем использовать для получения уравнений электромагнитного поля с помощью принципа стационарного действия. Раскрывал суммирование в выражении (46.3) и'учитывая соотношения (33.3) и (33.4), плотность лагранжиана в декартовой системе координат инерциальной системы отсчета можно записать и в виде: .С~ = — (Ез — Н~) — р ~р+ -(Д А). (46.5) Зя с Используя плотность лагранжиана (46.5), найдем выра- жения для функции Лагранжа в случаях электростатики и магнитостатики.
Для этого нам необходимо проинте- грировать .Су по всему трехмерному пространству: В случае электростатики 1 = О, Н = О. Псдставляя эти равенства в плотность лагранжиана (46.5), функцию 258 ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ЛЕЙСТВИЯ [ГЛ. Р Лагранжа (46.6) запишем в виде: Ь = | ~ — — р р~ Л'. (46.7) Так как в выражении (46.7) интегрирование производит- ся по всему пространству, то мы можем использовать соотношения (12.1) и (12.4): | г е2 р,р(Л = / — Л =28„, (46.8) Рассмотрим теперь случай магвитностатики: рр = О, Е = О.
В этом случае из выражения (46.6) имеем: г Н' Х, = — / ~ — — — (д А)~Л'. При интегрировании по всему пространству выражения (16.1) и (16.3) дают: — / (1 А)сЛ' = / — <ЛР = 2Е где с, — энергия магнитостатического поля. где С,, — энергия электростатического поля.
Поэтому функция Лагранжа (46.7) для электростатики принимает вид: ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 259 Поэтому в магнитостатике функция Лагранжа принимает вид: Г = +8',. (46.9) ~ 47. Получение уравнений Максвелла из принципа стационарного действия Рассмотрим некоторую систему заряженных частиц, движущихся заданным образом. В этом случае первое слагаемое в выражении (46.4) не будет изменяться при варьировании функции поля А; и его мы можем отбросить. Преобразуем второе слагаемое выражения (46,4) к виду, аналогичному виду третьего слагаемого. Для этого учтем, что в используемых нами координатах е = | рс1х'пх Йхз, где р — плотность заряда. Кроме того, из соотношений ахи ~хо Ь.
— =( — =с,— =ъ), 1 =(у '=ср,~=рзр) следует, что ) рпхь|Ю = у~, где у~ — полная плотность четырехвектора тока. В результате выражение (46.4) приведем к виду: / 1,1 л,рр 1~ зр з / 1 я~ ор у у з К~ К~ (47.1) Для получения уравнений электромагнитного поля при заданном движении источников проварьируем функцию действия (47.1) и учтем, что в силу принципа стационарного действия Ы = О.
В результате будем иметь: 1 Г б~ = О = — ~ ~Г ДхаДх1,1хзс~хз (47 2) 16хс ./ К~ Г ии ья ~йР Гтпя ~я ~ь9 9 дж" дя" аГ'* 4я,„ д (47.8) дР;~ дХ~„ОР„; дх" дж' дж" (48.3) .С7 = — Ггьг;ь/(16х). ,д, Мпь' Гд, д~кп а* =Г а.' 262 пгинцип стАционАРного действия ~гл. ъ' Так как внутри четырехмерного объема четыре функции БА~ = (оАс — — Бу, — оА) произвольны, то в силу основной леммы вариационного исчисления выражение, стоящее в квадратных скобках под знаком интеграла (47.
7), должно равняться нулю. Поэтому уравнения электромагнитного поля, полученные из принципа стационарного действия, имеют вид: Эти уравнения совпадают с уравнениями (36.9), получен- ными в 3 36 при четырехмерном обобщении уравнений Максвелла (3.19). 3 48. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля Рассмотрим в некоторой инерциальной системе отсчета и в декартовых координатах плотность лагранжиана свободного электромагнитного поля Прсдифференцируем эту плотность по некоторой коорди- нате т". В результате получим: ы, 1 г аг*',,аг,, — = — — '(Г'ь + Г (48.1) дз" И~ ~ ' д~" дт" ! Учитывал, что в рассматриваемом нами случае компо- ненты метрического тензора постоянны, можем записать следующее равенство: 3 48~твнзог энвггии импхльсл элвктгомлгнитного поля 263 Переобозначая в этом выражении индексы суммирования т -+ ~, р -+ Й и псдставляя его в ссютношение (48.1), получим: дСу 1;ь дР~ь — = — — Р' ' .
(48.2) дх" 8я дя" Воспользуемся теперь первой парой уравнений Максвел- ла (36.9), записанных в тензорном виде: Подставляя это выражение в соотношение (48.2), будем иметь: Учитывая, что тензор электромагнитного поля антисимметричныи (Г'" = — Р"*, Г„, = — Р;„), преобразуем последнее слагаемое, стоящее в фигурных скобках равенства (48.3): Г' — = — Г' — =Р ' —. ,„аг„;, аг;„„,. дг,„ а д д Переобозначая индексы суммирования з -+ 1с, й -+ т в правой части этого соотношения, получим: 7ш 1(Ер 4т1 ' 4 тОΠ— — (Е2 + Н ) = иу. г г 821 4н Т10 [Р12РО + Р13РО] 1 4н 266 ДРинцип стАциОнАРнОГО дейстВия [гл. и ХЬлее, найдем след этого тензора Т,' = д;„т'".
Учитывал, убедит ся, '1'гО Т1 = ТО + Т1 + Тг + 73 = О. Таким образом, шестнадцать компонент тензора Т» ДОЛЖНЫ УДОвлетворять шестИ соотношеНИЯМ, ОтражаЮ- щим свойство симметрии этого тензора Т™ = Т»'(1 > "), и ОДИОМУ соотношению, явля1ощемуся условием его бесследовости Т,.' = О.
Поэтому данный тензор обладает лишь девятью независимыми компонентами. Выясн»гм теперь физический смысл каждой из компонент тензора (48.10). При 1 = и = О, имеем: Учитывая, что Г Рг'»Р = 2(Н вЂ” Е ), аг ГО» — г -Е', получим: Это выражение показывает, что компонента ТОО тензора Т'" представляет собой плотность энергии электромагнитного поля. Полагая далее 1 = 1, п = О, из выражения (48. 10) будем иметь: РаскРывая суммирование по индексу 1е и учитывая, что = Д.О = О, приведем это соотношение к виду: О ~ 481тензоР энеРгии-импульсА элеитРОмАгнитного поля 267 Воспользовавшись представлениями (3814) для,тензора электромагнитного поля, имеем: Отсюда следует, что компонента Т»О тензора Т'" прцгюрциональна проекции вектора Пойнтинга на ось ж. Совершенно аналоги но можно убедиться, что Тгв = (а)„/с, Т = (О),/с. Таким образом, компоненты 7"О = ТО' тензора Т'" описывают энергетически-импульсные характеристики электромагнитного поля: ТОО = ~, ТОО = Т~О = — ".
(48.П) с Именно поэтому тензор Т'" и получил.ныменование тензора энереии-импульса. Рассмотрим теперь пространственную часть тензора Т™. При 11 = 1' = 1 имеем: Совершенно аналогично при 1 = 1„п '= 2 получим! ( ~э+'1 ~Р). Выписывая оставшиеся компоненты трехмерной- части тензора Т'", можно показать, что Т.д = - .д = — ~~-К.К, - Н.Н, + ~„,(Е + Нг), 4211 2" (48.12) 1д~ 1. — — = Š— р — -[~ Н), с д$ с 1 дТОО дно 1 ди — + с1ю о = — (Е,1). д~ 1ЯТо ЯТР + — = -р"" 7'ь. ое ока с 268 пРинцип стАциОИАРИОГО действия ~гл, и Тензор о р в научной литературе получил наименование ианевелловеного таензора напряжений.
3 49. Законы сохранения энергии и импульса в электродинамике Выясним теперь, что означает дифференциальное тождество (48.9), утверждающее, что четырехмерная дивергенция тензора энергии-импульса Ткз выражается через четырехвектор Г ",1А.. Для этого запишем выражение (48.9) при и = О. Выделяя в суммировании по индексу ~ значение О, получим: Учитывая, что в силу соотношений (48.11), (32.2) и (33.4) г'"оу„= — (Е 1), Тоо = ы, Т"о = (ее) /с после умножения на с будем иметь: Это дифференциальное тождество полностью совпадает с дифференциальным законом сохранения энергии, полученным в 3 4. Поэтому при п = О соотношение (48.9) дает дифференпиальный закон сохранения энергии системы, состоящей из заряженных частиц и электромагнитного поля. Запишем теперь выражение (48.9) при значении индекса и = о = 1,2,3: 3 491 зАкОны сОхРАнениЯ в электРОдинАмике 269 Раскрывая суммирование в правой части этого соотноше- ния с учетом выражений (32.2) и (33.4), а также проводя замену Т"о = (~т) /с, Т'"Р = — о Р, получим: где введено обозначение (г)'" = Д<т~~/Дкр Таким образом, при и = о = 1,2 и 3 соотношение (48.9) дает в дифференциальной форме закон сохранения импульса системы, состоящей из заряженных частиц.
и электромагнитного поля. Получим теперь законы сохранения в интегральной форме. Для этого проинтегрируем соотношение (48.9) по некоторому объему Ъ': Преобразуем полученное равенство. Введем трехмерный вектор еБ,З, компоненты которого.в декартовой системе координат совпадают с компонентами вектора (ИЯ)~ в соответствии с равенством: Нор = (еБ)Р. '1'огда интеграл по объему от трехмерной дивергенции дТ"'з/дно'в силу теоремы Остроградского - Гаусса можно переписать в вице: 5 Так как границы объема Ъ' не зависят 'от времени, то в первом слагаемом соотношения (49.1) мы можем вынести частную производную по времени за знак интеграла =-|(~.рн р~н|]) рк У = Чав + (Зрак ° 4>а р1а ~Й р =-~ Т ~Ъ. а 1 ОО с„/ Е~,у»сЛ~ = — с 270 пгинцип стлционлгного действия ~гл. у и заменить ее на полную производную.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
