В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(41.6) С2 с где ае и о1 — некоторые константы. Функция Г должна удовлетворять также и принципу соответствия: при нерелятивистских скоростях В «с функция действия (41.3) должна переходить в нерелятивистскую функцию действия с лагранжианом (40.6). Так как Х = ГсЬ/й, то из выражений (31.5), (32З) и (39.3) следует, что в релятивистском случае „г 1 Х = оос 1 — — + о1с[У вЂ” — (у А)1. (41.4) сг с При с (( с зто выражение можно разложить в ряд Тейлора. Ограничившись первыми двумя членами этого ряда, получим: Подставляя выражение (41.3) в соотношение (41.2), получим функцию действия для радятивистской заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле и в е Г 5 = — тс сЬ вЂ” — / .4;сЬ'. с,/ Построив действие (41.7), можно вывести уравнения движения частицы в четырехмерном виде непосредственно из принципа стационарного действия Ю;з' = О.
ХХля этого проварьируем функцию действия (41.7). Поскольку при таком варьировании все мировые линии, истинные и пробные, должны проходить через две заданные точки 4 и В, то пределы интегрирования в выражении (41.7) не изменяются и операция варьирования может быть переставлена местами с операцией интегрирования: 5Я = 0 = — 222с ЙЬ вЂ” — [~Ь'5.42 + АЫх'[. (41.8) Учтем, что ЙЬ = —, Их' = сух', БА = — 'Ьй. (41.9) 2ВЬ ' ' дх" Используя зти соотношения, выведем'вспомогательные формулы. Начнем с ЙЬ: Й1 г ЙЬ = = — 5(д;дс(х'йх~) = 2~Ь 2<Ь = — ~с1х'йх~бдд, + 2д;рйх'Них [ 2(Хз — — Бх'~ ~сЬ = О.
пи е Втс — = -ро'н;. Из 238 ПРИНЦИП ОТАЦИОКАРНОГО ДЕЙОТВИЯ «Гл. ч В декартовых координатах инерциальной системы от- счета метрический тензор имеет постоянные компоненты (31.1). Поэтому Бд;ь = О. В результате будем иметь: Совершенно аналогично найдем, что А;Бах' = 0~А;Бх*) — 6х'ИА; = с~~А;Бх') — — Их Бх'. дА ( .и) Подставляя выражения (41. 1О), (41 11) и последнее из соотношений (41.9) в равенство (41.8), приведем его к виду: ~~ = — Гпс9;„— «1х" 1 — — А,с«х'~ + (41-12) ~Ь А С,4 В «Ь А е дА«««х А Й--~" — ~"*"--~ — 'т'*— Будем счи"ГЕГЬ, чтО Вариации четырехмерных координат ТОчек мирОВОй линии, Оставаясь произвольными Внутри области интегрирования, на границах этой области, т.е. в точках А и В, должны обращаться в нуль: Таким образом, для вывода уравнений движения в четырехмерном виде мы имеем, так называемую, вариационную задачу с закрепленными концами.
Так как в ~ яц УРАВнениЯ движения В четыРехмеРНОм Виде 239 точках А и В вариации координат частицы удовлетворя- ют условию (41.13), то внеинтегральные члены в выра- жении (41.12) обратятся в нуль. Переобозначая, индесы суммирования в выражении (41,12), получим: Так как внутри области интегрирования вариации координат частицы ох~ произвольны, то в силу основной леммы вариационного исчисления выражение, стоящее в фигурных скобках под интегралам «41.14), должно быть равным нулю: Н сЬ' е дА; дАА ГЬ' -з~' —.1--.Ы- тат =' Учитывая определения (33.2), (39.3),и пццнимая свободный индекс Й в этом выражении, получим окончательно: Рассмотрим теперь уравнение «41.15) при частных значениях индекса, Й.
Положим в нем й = О: в результате будем иметь: — ( ) = е(г"ъ), (41.1б) тс 2 /1Р (41.18) тор т'77 (41.19) 24О ПРИНЦИП С'ГАЦИОЫАРНОГО ЛвйОТВИЯ 7ГЛ. У Подставляя в полученное уравнение выражения (33.4.) и (39.3), умножая его на с и учитывая, что в нашем случае где ф обозначает уже иную величину:,В = и/с. Совершенно аналогично можно убедиться, что при й = а = 1, 2,3 уравнение (41.15) дает: Так как уравнения (41.16) и (41.17) при В (< с переходят в уравнения для изменения энергии и импульса механики Ньютона, то величину следует назвать энергией релятивистской частицы, а Век- — вектором импульса этой частицы.
3 421 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОНА 241 3 42. Уравнения Лагранжа второго рода для релятивисгской заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле Получим теперь уравнения движения релятйвистской заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле на основе уравнения Лагранжа второго рода Как следует из выражения (41.4), функция Лагранжа для релятивистской заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле имеет вид:, е Х = — тс ~/1 — д2 — еу+ -(А з7),, (42.Ц с где ~3 = В(с, а ~77 = у«г,Ф)7 А = А(г„1) — потенциалы внешнего электромагнитного поля.' Выбирая в качестве обобщенных координат декартовы координаты х~ = х, х2 = р, х = з частицы, уравнения Лагранжа второго рода можно записать в виде: 77 — Р— р'а71 Х = О, (42.2) 7Й где Р— обобщенный импульс: дХ т"77 .е Р= — '= + — А дк 71 — „32 с Используя явный вид (42:1) функции'Лагранжа, приведем уравнение (42.2) к вцду: 77 тъ' е е й Д,92 с — + — А + е вегас(у — —,ятас1 (з А) =О.
с «42,3) — = еЕ+ — (ъ'Б1, с~р е Й д~. пз — = еЕ+ — (ъН) й Преобразуем зто уравнение. Начнем с последнего слагаемого. Учитывая, что ъ не зависит от координат и используя формулы векторного анализа (1.11),получим: запишем тенер~ попную производную по времени от векторного потенциала А. Так как вектор А зависит не только от времени, но и от координат, то зта производная будет равна сумме частной производной и конвективной производной: Подставляя зти соотношения в уравнение (42.3) и исполь- зуя выражения (5.2) для напряженности электромагнит- ного поля, будем иметь: нерелятивистской механики Ньютона, несложно убедиться, что единственным различием между ними является вид выражения для импульса.
частицы: в нерелятивистской механике используется соотношение р = тз, в то УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖЛ ВТОРОГО РОДА 243 время как в уравнении (42,4) используется релятивистское выражение (42.5) ддя импульса. Как и в нередятивистской механике, из уравнения (42.4) можно получить и уравнение для энергии релятивистской частицы. Для этого умножим уравнение (42,4) скалярно на вектор з. Расписывал производную по времени от вектора импульса.
релятивистской частйцы р, приходим к соотношениях где а = Ыч/й — ускорение частицы. Возьмем теперь производную по времени от энергии релятивистской частицы (41.18): Используя зто соотношение, перешпцем уравнение (42.б) в виде: Это означает, что и в релятивистской механике действие магнитной части силы Лоренца не изменяет энергияз,частицы. Таким образом, как и следовало ожидать, уравнения Лагранжа второго рода (42,4) и уравнения движения заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле в четырехмерном виде (41 1б) представляют собой просто разпичные формы записи одних и гех же уравнений. сс' гл(аъ ) (42.8) та (чР)ъ /1 ~1з с~ р = пзз.
(42.9) 244 пгинцип стАционлгного действия [гл. ~ Наличие корня „/à — ~9з в знаменателях выражений (41.18) и (41.19) для энергии и импульса приводит к тому, что релятивистская частица под действием любой конечной по величине внешней силы не в состоянии достичь скорости г = с. Это наиболее просто понять из следующих вычислений. Запишем уравнения для энергии и импульса частицы в виде: с~р гла т(ач)ч ~Л вЂ” с' 'Л1 — Р~ где Р— сила, действующая на рассматриваемую частицу. Используя первое из уравнений (42.8), приведем второе уравнение (42.8) к виду: Отсюда следует, что ускорение частицы зависит не толь- ко от величины действующей на нее силы Р, но и от ее скорости м: Наличие множителя ~/1 — ф2 в правой части выражения (42.9) показывает, что при приближении скорости части- цы к скорости света приобретаемое ею ускорение под дей- ствием одной и той же силы Р стремится к нулю.
~ 43) связь между энеггивй, имнъ'льсом, мАссой 245 Фактически же, при действии силы вдоль вектора ъ, когда (з Р) = СГ и Ръ = ЙР, зависимость от множителя ,/Г: р Поэтому релятивистская частица под действием любой конечной по величине силы не в состоянии дос'гнчь ско- рости и = с. ~ 43. Связь между энергией, импульсом, . массой н скоростью релягивистской частицы Рассмотрим четырехвектор р" = тси~. Используя' выражения (39.3), несложно найти его компоненты: )- ( ) ~/1 с у с Построим разложения этих компонент в нерелятивист- ском случае ц~ (< с~. В результате получим: Из этих выражений следует, что компонента р~ в нерелятивистском пределе содержит некоторую константу тс и кинетическую энергию частицы, деленную на скорость света.
Исходя из этого разложения, компоненту р~ мы мбжем связать с энергией частицы с соотношением с: = ср . Тогда ее нерелятивистское (ц~ << с~) разложение будет содержать два члена: Я = глсз + тгз/2. Первый.из 1 Ру = Р~~ с Ру = Ру> где, как обычно, с~ сг ИИ Зс' Зс' Зз о 2 1$ дЕ' = й' 2 ю 2 др = — дх 2д а Зсэ (44.1) 248 пгинцип стАционАРного действия игл. к Полученные формулы (43.6) позволяют еще раз убедиться во внутренней самосогласованности уравнений и соотношений специальной теории относительности. Действительно, если подставить выражения (43.7) в правую часть равенств (43.6) и выразить у' через ъ" по формулам (29.2) релятивистского закона сложения скорости, то придем к соотношениям (43.3). 3 44.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
