В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В пространстве Минковского из-за чрезвычайно простого вида метрического тензора (31.1) сушествует про- ', стая связь между ковариантными и контравариантными::.' компонентами в декартовых координатах инерциальнай '::. системы отсчета: при поднятии или опускании индексов:,."' 1, 2 и 3 компонента тензора изменяет знак на противопо-. ''''', ложный, а при псднятии и опускании индекса О компонента тензора не изменяет знак: Поэтому, если А" = (А~, А), то А„= (АВ = А~, — А).
С помощью метрического тензора дся можно получить обобщение понятия расстояния между двух«я точ- ..: ками на случай четырехмерного пространства-времени. Соответствующее "расстояние" в этом случае называется интервалом «Ь, По Определению квадрат интервала равен: «Ь = дсь«1х'««х . (31.4) В декартовых координатах инерциальной системы ",.-,' отсчета псевдоевклидова пространства-времени квадрат « интервала имеет вид: «Ь = с «В — (Й) = с «1Ф вЂ” «Ь — «1у — «Ь . (31.5) 3 311 ТензОРы В пРОстРАнстВе минкОВскОГО 189 Отсюда уже видно, что в четырехмерном пространстве- времени квадрат интервала «Ь не является знакоопреде- 2 ленным: в зависимости от величин «1й и дг он может быть меньше, равен или больше нуля.
Метрический тензор используется и для построения скалярного произведения двух четырехвекторов А' и В": (АВ) = д,«,А'В" = А'В; = А2В~. (31.6) При А' = В' из этого выражения получаем квадрат че- тырехвектора В': В пространстве Минковского при использовании декар- товых координат инерциальной системы отсчета это вы- ражение принимает вид: (В)2 (ВО)2 (В1)2 (В2)2 (ВЗ)2 Таким образом, в этом случае квадрат четырехвектора равен разности квадратов его временной компоненты и пространственных компонент. Четырехвектор, квадрат которого больше нуля, называется временипсдобным, при равенстве нулю четырехвектор называется изотропным и, наконец, если квадрат четырехвектора меньше нуля, то он называется прост р аист веннопсдобным.
При любых преобразованиях координат четырехмерного пространства-времени х" = х" (х") (перехсд от нештрихованных координат х" к штрихованным коорди- 190 специАльнАя теовия относительности [гл. п~:! -: ~ з4 ЧЕТЫРЕХВЕКТОР ПЛОТНОСТИ ТОКА й ковариантный четырехвектор — градиент дЯ~'де от скэ; лярной функции Я. И, наконец, тензоры второго ранга преобразуются по закону: ао ах а а аа ахг ахт а ах а ° дхао дхк д х а а дхк дх'2 дхк а ах дх дх'о юа а. к а ах дх а аа го ахг дх'а дх а2 дх7 ах а.г Сравнивая выражения (31.9) — (31.11), несложно понять принцип построения закона преобразования тензора при преобразовании координат: сначала у каждой компоненты тензора нештрихованные аргументы заменяются а а ааа на штрихованные с помощью соотношении х = ж (е ). Затем на каждый ковариантный индекс следует добавить множителем производную От нештрихованных координат по штрихованным, а на каждый контравариантный индекс следует добавить множителем производную от штрихованных координат по нештрихованным, после чего провести суммирование индексов преобразуемого тензора с индексами нештрвхованных координат, входящих в произвоцные.
Установив геометрию пространства-времени и выяснив законы преобразования тензорных величин при преобразованиях координат, мы оказались подготовленными к переводу электродинамики на четырехмерный тензорЭто, с сдной стороны, позволит нам установить тензорную прирсщ входящих в уравнения Максвелла величин, зная которую, достаточно легко построить законы Матам е") якобиан преобразования должен удовлетворять условиям: .Х ф О, .7 а6 ~ОО.
Тогда': преобразования к" = х" (е") будут взаимно Однозначны и для них будут существовать обратные преобразования';:,' а аа( аа) Тензоры являются выделенными системами функций ., среди других систем функций тем, что удовлетворяют'';! строго определенным законам преобразований при пре-;,. Образованиях координат четырехмерного пространства- ": времени. Простейшим тензаром является скаляр — одна функ- ' циЯ Я(ж~, ет а хз, ез) = 5(ж), котоРаЯ пРи пРеобРазованиЯх::: координат преобразуется по закону: ~~(чае ел еаз .аз) ~( е( га) 1( я) з( аа) з( аа) (31.9) .
Поэтому скаляр иногда называют инвариантом, Четырехвекторы имеют по Одному тензорному индексу и преобразуются по закону: дх" 6 деаа д (31.10) Частными случаями четырехвекторов являются бесконечно малый контравариантный четырехвектор Их' и д аа деоа д аа д М вЂ” о ааах а дно дхао 3 32. Четырехвектор плотности тока и четырехпотенциал поля специАльнАя '1БОРия Относительности ~гл. 1и.. ,их преобразования прн любых преобразованиях коордн-':: нат и времени и, прежде всего, при преобразованиях ЛМ ренць.
С другой стороны, запись основных уравнений и со-'.;: отношений электродинамики.в четырехмерном виде, как'" мы увидим далее, даст возможность уточнить уравнения.' механики. И, наконец, в качестве дополнительного аргу-':: мента в пользу четырехмерного языка укажем, что мно':-: гие парадоксы и задачи, возникающие в специальной тео-=', рии относительности, могут быть непротиворечиво раз=.:,: решены только на основе использования такого языка. Перевод выражений и соотношений электродинами-', ки на четырехмерный тензорный язык начнем с сдного:,':, из наиболее фундаментальных законов электрспинамикн— дифференциального закона сохранения заряда (3.3).
В;'; подробной записи он имеет вид: др др, д2„ду, — + — + — + — = О. Ю дх ду де Заменяя в этом выражении координаты и время их четы- ',; рехвекторными эквивалентами хв = СФ, х1 = х, х2 = у,::.' х = 2 и учитывея, что у = 1, 1„= у, 1, = 1, получим::-', з 1 '2 3 ду1 д;2 д;3 (ср) + + — + — = О. (32.1): дхв дх' дх2 дхз Рассмотрим это уравнение.
Легко заметить, что по- ., следние три члена в левой его части представляют собой:, трехмерную часть свертки по индексам, стоящим у век- ': торов 1 н г, и не имеют свободных индексов. Так кьк в::: любом тензорном равенстве все слагаемые должны иметь -' спиньковую тензорную приропу, то и первое слагаемое в ':. ЧЕТЫРЕХВЕКТОР ПЛОТНОС'ГИ ТОКА 193 выражении (32.1) не должно иметь свобсдных индексов и также представлять собой часть четырехмерной свертки. Эти два требования могут быть удовлетворены, если и только если, плотность заряда, умноженная на скорость света, является временной компонентой 1в = ср некоторого четырехвектора тока: <Ь" У =О =ср Й=Р (32.2) Тогда соотношение (32.1) принимает вид д,2" — = О.
(32.3) дх" 6 а '(х ) = — а"(х(х )). (32.4) Для простоты предположим, что движение штрихованной системы отсчета относительно лабораторной совершается вдоль оси Х. В этом случае обратные преобразования Лоренца (27.5) в индексной форме записи примут В четырехмерном пространстве-времени выражения такого типа, по аналогии с соответствующим выражением в трехмерном случае, называют четпырехдивергенцией. Таким образом, плотность заряда р и вектор плотности тока ) с точки зрения четырехмерного простралствавремени представляют собой разные проекции единого четырехвектора тока (32.2). Это обстоятельство дает возможность достаточно просто получить закон преобразования р и.1 при преобразованиях Лоренца. Для этого запишем общий закон (31.10) преобразования контравариантого вектора а': 0~1+~10~0 /1 Рг 2 ю 2 а =а а =а з г з дх~ дх" 1 д о дх1 /1 92' (32.5)) е д .сз = — =1 д з (32.8) о „А „о+ „1+ дх" дхо дх1 00 — Да' /1,92 (32 ,";":;"~1~-:;,:;::::,:.'-:;::: С1ОВЕРш 1д~ — — + дл' А = О.
с дг — Р о / рг'~ а =а. ~з з валия имеют вгщ: о ого+РЦЮ1 /1 рг 194 специАльнАя теоРия Относительности [Гл. 1у вид (~У = ъ'/с) 1 О 1 1 0 х — Дх л * — Рх а 2 ~з з /1 дг ' /1 дг Составим всевозможные производные от штрихованныж:,'' координат по нештрихованным. Ненулевыми из них бу-' дут: х'о дх" д дх~ д 1 = д о /1 — гг' дх' ая в выражении (32.4) 1 = О и раск о индексу и, получим: рывая суммир =, д~'о дхо — а + — а,::,-'; дхг дхз ';:1 я в зто выражение производные (32.5), бу :ванне п ~о( ° Х ;, -';-,,"',Прдстовля енно аналогично при 1 = 1,2,3 получим ЧЕТЫРЕХВЕКТОР ПЛОТНОСТИ ТОКА Из зтих выражений легко заметить характерное свойство преобразования компонент любого четырехвектора: при преобразованиях Лоренца изменяются только временная компонента и компонента, параллельная вектору относительной скорости, компоненты же, перпендикулярные вектору скорости, остаются неизменными.
Полагая, что а' = г', из выражений (32.7) найдем Рассмотрим теперь другое важное дифференциальное соотношение, использованное нами в злектродинамике — условие Лоренца: Повторяя почти дословно ход приведенных выше рассу- ждений, можно утверждать, что скалярный потенциал г- и векторный потенциал А представляют собой разные проекции четырехпотенциала А'=(А'=у, А1, А;=(Ао=о, — А) (32.д) 196 спвциАльнАя твогия относительности ~гл.п :' и условие Лоренца принимает вид дА' — — О дх' Следовательно, при преобразованиях Лоренца (27.6) ска-, ',,- лярный и векторный потенциалы преобразуются по за-'.:, кону: у'+ /3А' А' + Др' Из этих выражений видно, что скалярный потенциал и '~ компонеты векторного потенциала являются величинами:, относительными, зависящими от выбора системы отсче-,'' та. 3 33. Тензор электромагнитного поля 1 дА Е = — 3гас1 с» — — —, с дз' Н =гос А.
(33.1) Перейдем теперь к выяснению геометрической при- -;: роды трехмерных векторов Е и Н, рассматриваемых с точки зрения четырехмерного пространства-времени. Для этого мы должны выбрать какие-либо уравнения или соотношения электрсдинамики, в которые наряду с известными уже нам геометрическими четырехмер-::: ными объектами входили бы и эти векторы, и, изучая,:,,:, которые, можно было бы выяснить тензорную природу векторов Е и Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
