В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Предположим, что мы имеем две инерциальные си- ,'.' стемы отсчета: лабораторную К и движущуюся отно-,:' сительно иее вдоль оси Х со скоростью Ъ' систему К'.;.. Оси этих систем отсчета будем считать параллельными ' и соиацравлвниыыи. Предположим далее, что в системе,. . отсчета К' в одной и той же точке происходят какие-либо -,' два.события в:моменты времени 82~ и Ф2, разделенные промежутком времени то = Ф1~ — 12 по часам наблюдателя,:, покоящегося в системе отсчета К'. Определим, какой; промежуток времени между этими событиями измерит; наблвздатель, находящийся в системе отсчета К.
Для '; этого воспользуемся преобразованиями Лоренца (27.6) и иайдвм моменты времени Ф1 и 12, соответствующие этим ':;. двум событиям по часам наблюдателя, находящегося в,: системе К: Ъ' г сз 2 2 = ф:7 '1'ак как в системе К' оба события произошли в одной и той же точке, то х1~ = ж2 и промежуток времени т = Ф2 — 11 между этими событиями, измеренный по часам ~ 28~ пгеовРАзовАнне пгомежутков вгемени и длин 1" 1 1 наблюдателя системы К, будет равен: Отсюда непосредственно следует, что согласно специальной теории относительности промежуток времени между двумя событиями, в противовес механике Ньютона, уже не является абсолютной величиной, а зависит от выбора инерциальной системы отсчета н достигает минимального значения в той системе отсчета, в которой оба события происхспят в одной точке пространства.
Этот эффект, при всей его внешней парадоксальности, нашел свое экспериментальное подтверждение и в настоящее время широко используется в физике высоких энергий для транспортировки пучков короткоживущих частиц на значительные расстояния, для увеличения среднего времени жизни этих частиц и постановки экспериментов по изучению их свойств. Действительно, если рассматриваемые нами два события представляют собой рождение и, соответственно, распад нестабильной частицы, то в системе отсчета, где эти два. события происходят в одной точке пространства, это время, как правило, чрезвычайно мало (например„ тд 2,6 10 ~ сек для пионов и то 2,2 10 6 сек для мюонов).
Поэтому, если бы промежуток времени между событиями не удовлетворял релятивистскому соотношению (28.1), то даже в случае движения со скоростью Ъ' = с, частица не улетела бы от места своего рождения на расстояние большее, чем Х = сто, что составляет Е 7, 8 метров для пионов и Ь 600 метров для мюонов. Ъ' ~12(Х2Х1) 12 11 с И ~2 ~1 <о. С2 1 — Уз- с (28.4) '~72 1=1о 1 — — < 1о. 2 174, сдециАльнАИ РВОРИИ относительности [гл. 11 у 'в один и тот же момент времени Х2 = 11 по часам наблю~' дателя системы К. Тогда длиной движущегося отрезк- принимается'величина 1 —.
х2 — х1. Рис. 7. Измерение длины движущегося отрезка Таким образом, используя преобразования Лоренца.',:: «27.6), мы можем 'записать: х' — х', + Р(~' — ~1) 1 = х2 — х1 — — . (М.З) .;, $Г2 1- -,- с Разность Ф~2 — 81~, входящая в это выражение, не равна,з нулю, так как согласно специальной теории относитель-,',: ности два события, одновременные в кахой-либо инерци-,', Вльной системе отсчета, но происходящие в разных ее.: точках, будут.несановременными в любой другой инер- ' циальной системе отсчета. Чтобы в этом убедиться, вос-,::.
з 281 пРеОБРАЭОВАние пРомежУткОВ ВРемени и длин 175 пользуемся формулами (27.5) и вычислим разность |2 — 11". Так как ~2 = ~1, а х2 — х1 = 1, то отсюда имеем: Таким Образом, с точки зрения наблюдателя системы отсчета К' "считывание" координат х2 и х1 в системе отсчета К происходит не одновременно. Образно говоря, наблюдатель системы отсчета К' увидит процесс измерения отрезка В системе отсчета К следующим образом: наблюдатель системы отсчета К в некоторый момент времени 1~ считал координату х2 отрезка, потом выждал некоторый промежуток времени, зависяший от длины отрезка (а отрезок движется все это время относительно него в положительном направлении оси Х1), и после зтого считал координату другого конца отрезка х1 < х2.
Уже одно зто обстоятельство позволяет утверждать, что в результате такого измерения длина отрезка в системе К окажется меньше его длины, измеренной в системе покоя К'. И формулы зто подтверждают. Действительно, подставляя выражение (28.4) в (28.3) и проводя несложные алгебраические преобразования, получим: 176 специАльнАИ теоРИЯ ОтнОсительнОсти (Гл. О~':-', Этот эффект в научной литературе получил название эф'-:. фекта сокращения оливы движущегося отрезка. Следу-, ет отметить, что никакого реального сокращения отрез,. ка, появления в нем каких-либо напряжений или дефор',. маций не происходит. Во всех ннерциальных системах'." отсчета физическое состояние отрезка одно и то же.
"Сокращение" (28.5) длины отрезка происходит всу.- многом в силу принятого способа измерения длины дви-.". жущегося отрезка, как процесса сдновременного считы-::; вания значений координат концов отрезка. Поэтому дан-' ныи эффект, как мы видели, возникает из-за того, чта:; в специальной теории относительности одновременность::; двух событий, происходящих в разных тачках простран-:, ства, является не абсолютным фактом, а относительным,::.:" зависящим от выбора системы отсчета: два события ~,::. у1 происходящие одновременно в разных тачках сдной си-; стемы отсчета, обязательно будут несднавременными в..' любой другой системе отсчета.
Абсолютное значение в специальной теории относи- ., тельности имеют только два события, происходящие сд- ':",' новременно в одной и той же точке, так как ани будут '„ сдновременными и происходящими в одной точке в лю-,:: бой системе отсчета. В заключение следует отметить, что результат изме-:; рения длины отрезка, расположенного перпендикулярно:; направлению относительного движения, в обоих систе-::.
мах отсчета К и К' будет сдним и тем же. Так как ..: поперечные размеры тел при преобразовании Лоренца не '::.'. изменяются, а прсдольные сокращаются, то объем тела,: покоящегося в некоторой инерциальной системе отсчета, при переходе к другой инерциальной системе отсчета са-::::,, ~ 29~ Релязивистсхий зАкаи сложения схагастей 177 Полученные формулы (27.5) и (27.6) преабразсваний Лоренца позволяют установить закон сложения скоростей в специальной теории относительности.
Для этога рассматримдве ную К и ине юся относит Х. Предполо системах атс териальной т рости в любо" матически ка ющих каор записать: инерциальные системы отсчета. лаборатор рциальную систему отсчета К', движущуельно системы Х со скоростью у' вдоль оси жим, что наблюдатели, находящиеся в этих чета, измеряют скорость сдной и той же маачки. Так как компоненты трехмерной скоп системе отсчета определяются чисто кинек отношения дифференциалов саответствудинат к дифференциалу времени, та мы можем Нх с~ сЬ ах — ~ иу — ~ ох > (29.1) аг' " Й' ' й' х ц~~ у ц~~ х у," Таким образам, для получения закона сложения скоростей нам необхсдима найти связь между дифференциалами координат и времени в обоих системах отсчета.
Пля этого возьмем дифференциалы от правых и левых частей соотношений (27.5): М вЂ” ~~~ ~Ь, сЬ вЂ” Ъ'<Н ау = , ау = ад = ад аг = аг) ,ре и °,/1:7'7~ г~. 1 ~ 29. Релятивистский закон сложения скоростей 178 спвциАльняя твогия относительности ~гл. 1к1 Подставим теперь эти выражения в последние тр" равенства (29.1). Учитывая первые три равенства (29.11': будем иметь: Их — 1'.й е, — $' (М -г<Ь 1 — — ф.
»»ъ~~ — Р ъ'» -Р г,', = Я Ц „1 1 и ии С с и.,»» - р .,,»» -. р» ся сз ,»:. Эти соотношения и представляют собой релятивист'. ский закон сложения скоростей. Совершенно анэлогичн взяв дифференциалы от правых и левых частей соот шений (27.6), мы можем получить формулы, позвол шие определить скорость частицы т в системе отсче,' К по известным компонентам скорости этой же част ъ' в системе отсчета К': е' + 1' 1+ ~Ъ' ' е~ ф Рг г /1 Рг Сравнивая выражения (29.2) и (29.3), легко отмети ' характерную черту перехода от формул, описываю прямые преобразования, к обратным и наоборот: этого во всех формулах достаточно провести взаимну ' замену штрихованных величин на нештрихованные и менить $' на — К З 29! гклятивистский закон сложения скогостей 179 Таким образом, закон сложения скоростей в специальной теории относительности существенно отличается от закона сложения скоростей Галилея (26.3).
Однако, в нерелятивистском случае, когда скорость материальной точки и скорость относительного движения систем отсчета малы по сравнению со скоростью света, формулы (29.2) и (29.3) переходят в хорошо известные формулы галилеевского закона сложения скоростей (26.3). Действительно, считая, что Рг/сг « 1, р'г,/сг « 1 и пренебрегая этими величинами по сравнению с единицей, из выражений (29.2) и (29.3) получим: ! » еу ех ~ » ер ~~У» ел В случае же релятивистского движения отношения $'г/сг и Tг /сг могут уже быть сравнимыми с единицей, в результате чего преобразования компонент скорости описываются нелинейными выражениями (29.2) и (29.3), которые показывают, что относительное движение систем отсчета вдоль одной из осей координат (например, вдоль оси Х, как в нашем случае) изменяет не только компоненту скорости, параллельную данной оси, но и перпендикулярные к ней компоненты, если они не равны нулю.
Следует также отметить, что скорость кванта электромагнитного поля — фотона, равная г = с в какой-либо одной инерциальнай системе отсчета, в силу законов сложения скоростей (29.2) и (29.3) будет равна г' = с и в любой другой инерциальной системе отсчета. Для того, чтобы в этом убедиться, предположим, что скорость фотона в нештрихованной системе отсчета лежит в плоскости ХОУ и составляет угол о с осью Х: ея = ся1па. г„= ссово, 181 180 специАльнАя теоРия относительности»гл. 1ъ ~ зо» ПРЕОВРАЗОВАНИЕ РлГЛОВ ,Подставляя эти выражения в соотношения (29.2), посла несложных вычислений легко. получить: +и„= с 2 И, наконец, релятивистские формулы сложения ско-: ростей (29.2) и (29.3) позволяют элементарно доказать,; что скорость о = с является предельной скоростью для: всех материальных тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
