В.И. Денисов - Лекции по электродинамике (1129088), страница 6
Текст из файла (страница 6)
1 д2~ с2 д22 Так как это уравнение всегда имеет решение, а иных ограничений на выбор функции 1(г, г) нет, то в результате калибровочного преобразования (6.3) всегда можно добиться выполнения условия (7.5). При таком выборе потенциалов уравнения (7.3) значительно упрощаются. Опуская несущественные для дальнейшего штрихи в выражении (7.5) и используя оператор Даламбера 1 д~~ п~=Ь| — — —, с2 д12 ' получим следующие уравнения для потенциалов: 4х, И А(г,1) = — — Яг,1), с (7.6) Б ~р(г,г) = — игр(г,1). Входящие в уравнения (7.6) потенциалы должны удовле- творять дополнительному условию 1 др — — + Йч А = О, с д2 которое называется условием Лоренца. Следует отметить, что условие Лоренца (7. 7) не фиксирует однозначно калибровку потенциалов у и А, позволяя проводить калибровочные преобразования (6.3) с Ь р= — 4хр, (8.2) 52 РРАвнвния элвктРОмАГнитного пОля [гл.
1 функцией 1(г,Ф), удовлетворяющей уравнению О ~ = О. Эти преобразования иногда используются для того, что- '-: бы наложить на потенциалы более жесткое условие: Это дополнительное условие в научной литературе полу- „. чило название условия Кулона (кулоновская калибровка) Уравнения для потенциалов (7.1) и (7.2) в калибров- '-: ке Кулона принимают вид: 4я. 1 д~р и А = — — ~+ 8гас1 — —.
с с д$ КалибРовка Кулона наиболее часто используется в кван- ': товой электрсяпгнамике, а также при изучении процессов с участием электромагнитных волн вне источника излу- ' чения (т.е. в.тех областях пространства, где р(г,г) : — : О, Яг,й) = — О). В последнем случае в формулах (7.8) необходимо положить у = О. Это позволяет существенно:"„ уменьшить число неизвестных в уравнениях для потен-: циалов.
ГЛАВА 11 СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 3 8. 'Уравнение для потенциала электростатического поля и его решение Электростатическая часть уравнений Максвелла (3.19) имеет вид: гой Е(г) = О, (8 1) сыч' Е(г) = 4яр(г). Так как плотность заряда р(г), входящая в эту систему, не должна зависеть от времени, то все заряды, создаклцие электростатическое поле, обязаны находиться в покое. Изучим характер распределения электростатических полей в пространсгве.
Из первого уравнения системы (8.1) следует, что в вакууме электростатическое поле всегда потенциально. Вводя скалярный потенциал в соответствии с определением (5.2), мы можем записать: Подставим теперь это соотношение во второе уравнение системы (8.1). В результате мы получим уравнение, связывающее потенциал электростатического поля с плотностью заряда А Ю(г) = — 4ЯР(г). (8.3) 54 стАцнОПАРные электРОмАГнитные пОля [ГЛ. И з 31 УРАВнение для злектРостАтнческОГО пОлЯ бб Это уравнение в научной литературе получило название уравнения Пуассона.
С математической точки зрения оно представляет собой уравнение в частных произвсцных второго порядка эллиптического типа. Как известно из математической физики, для обеспечения единственности решения таких уравнений необхсдимо задавать тем или иным способом граничные условия. В микроскопической злектрццинамике, предполагающей, что во всем пространстве имеются только источники поля и вакуум и отсутствуют какие-либо среды, наиболее часто используются так называемые естественные граничные условия, определяющие поведение потенциала (иногда и его производных) на пространственной бесконечности. В частности„если источники поля сосредоточены в области пространства островного типа, то естественное граничное условие принимает вид: Бхп ср(г) = О.
(8.4) С физической точки зрения это означает, что коль скоро источниками поля являются заряды, а они сосредоточены в ограниченной области пространства, то нет никаких оснований для роста абсо~потной величины потенциала по мере удаления от этой области. Кроме того, при решении задач электродинамики мы также часто будем явно использовать условие ограниченности напряженностей во всех точках пространства, в которых плотности заряда и тока конечны.
Предположим, что рассматриваемая нами система зарядов полностью сосредоточена в области пространства островного типа и р = р(г) является заданной функцией координат. Используя метод функции Грина, найдем решение уравнения Пуассона (8.3), удовлетворяющее естественному граничному условию (8.4). Для этого потенциал, создаваемый системой зарядов, представим в ВИДЕ: г Рдей г = дя ду сЬ и интегрированиепроизводится по обьему, занимаемому системой зарядов. Функция Грина 0(г,г'), входящая в зто соотношение, должна удовлетворять уравнению: Ь,С(г, г') = — 4яо(г — г'). Пействительно, подействуем оператором Лапласа на обе части равенства (8.5).
Так как операции интегрирования по координатам г' и дифференцирования по координатам точки наблюдения г независимы, то получим: Ь у(г) = юг'гА,С(г,г')р(г'). Если теперь потребовать, чтобы функция Грина удовлетворяла уравнению (8.б), то зто соотношение примет вид уравнения Пуассона: Ь гр(г) = — 4я <Л" о(г — г') р(г') = — 4яр(г). Пля решения уравнения (8.6) и нахождения, тем самым, функции Гринь воспользуемся методом интеграла (8.9) 1сз = ЙзшОсозФ, йг = МзшВззпФ, ОО йз — — й соз О.
о о 56 стАционАРные электгомАгнитные пОля [Гл. и Фурье. Представим функцию Грина в виде интеграла Фурье с некоторым неизвестным ядром С(зс, г'): С(г„г') = — Ы Йе'~"'>С(3с, г'), (8.7) (2 .)з где д й = Ййз~Иег~йзИспользуя известное представление (1.22) о(г гз) Цзу,е*(йс(а-~*)) (8 8) (2 .)з „~ для дельта-функции Дирака, представим в виде интеграла Фурье и правую часть уравнения (8.6). Подставим теперь соотношения (8.7) и (8.8) в уравнение (8.6). Учитывая, что действие оператора Лапласа Ь на интеграл Фурье (8.7) эквивалентно умножению подынтегрального вьзражения на ~ з ™учим' 1 Р з;~~,„г — д~ Йе'~~"~ ~ — 1с~ С(1с г') + 4~ге '""' ~ ~~ = О.
В силу единственности разложения функции в интеграл Фурье выражение, стояшее в фигурных скобках, должно быть равно нулю. Отсюда следует, что з 3) РРАвнение лля электгостАтического поля 57 Таким образом, соотношение (8.7) для функции Грина принимает вид: Следует отметить, что псдынтегральное выражение этого соотношения сингулярно при е -+ О.
Однако, из-за наличия в правой части соотношения (8.9) трехкратного интегрирования интеграл сходится и, притом, абсолютно. Проинтегрируем выражение (8,9). Пля этого при каждых фиксированных векторах г и г' введем в фазовом пространстве, определяемом вектором 1с, сферическую систему координат с полярной осью, направленной вдоль вектора з' — г': В этом случае элемент объема л~е' = й~ зш ОПЫООФ, ска- лярное произведение (Й(г — г')) = Цг — г'~ соз сЗ и выра- жение (8.9) принимает вид: о С(г г ) — (~Ус ззп ОПЮ ЛФе' Р 2,г ~ [ГЛ.
П ~~ 1[[ "Р(г') ,[[ [г — г»~ (8 10) 58 ОтАциОнАРные элекТРОмАГнитные пОля Интегрирование по углу Ф даст множитель 2.т, а при ин- тегрировании по О удобно сделать псдстановку соз О = с. Тогда а1П 9сЮ = -дс. В результате получим: 2 сй з1ЦЯг — г'О С(г,г') = б[( )— 1с с И» наконец». Последний интеграл при [г — г'~ ф 0 равен »Г/2. Поэтому ») Б8п[г — г'[ [г — г'~ где э8п(е) — знакОвая функц~п[: з8п(т) = 1 при е ~~, 0 зКЦ(е) = — 1 при к < О. Подставляя это соотношение в равенство (8.5), получим следующее выражение для потенциала электростатического поля: Анализируя интегральное выражение (8.10) с физической точки зрения, следует отметить (см. рис.
4), что вклад некоторого текущего элемента объема »Л»', центр которого помещен в точку с радиусом-вектором г', в величину потенциала, измеряемого в точке с радиусом- вектором г, определяется законом Кулона: он пропорционален величине заряда Ид = р(г')1Л~', содержащегося в этом элементе объема ИУ" » и обратно пропорционален величине расстояния В = [г — г'[ между центром объема 9 9[ РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПО МУЛЬТИПОЛЯМ И и точкой наблюдения. Полное значение потенциала в силу линейности злектрсдинамики, очевидно, должно представлять сумму вкладов всех частей объема, занятого источником, Интегрирование в выражении (8.10) еще раз псдтверждает зто свойство электродинамики. Рис. 4. Интегрирование по объему источника, Легко убедиться, что потенциал (8.10) удовлетворяет естественному граничному условию (8.4) и, тем самым, обеспечивает единственность решения задач электростатики для безграничного пространства с источниками островного типа.
Следует однако напомнить, что для некоторых задач к решению (8.10) несднорсдного уравнения (8.3) — уравнения Пуассона — необхсдимо добавить общее решение однорсдного уравнения А» 9» = 0 — уравнения Лапласа. 1 (-1)", „1 (г 8гас1)" —. О=О (9.2) ~р(г) = ~ Г Л~'р(г') „1 ~г — г'( (9.1) б0 стАциОнАРные электРОмАгнитные пОля 1гл. и 9 9. Разложение потенциала электростатического поля по мультицолям Интегральное соотношение типа (8.10) между плотностью заряда и создаваемым потенциалом в ряде случаев оказывается неудобным для проведения практических расчетов. Поэтому для детального анализа поля, создаваемого заданньгм распределением зарядов, довольно часто приходится привлекать те или иные методы приближенного вычисления потенциала.
Всякий метод приближенного вычисления, как известно, обычно состоит из выявления безразмерных малых параметров, которые встречаются в задаче, и последующем разложении всех выражений с заданной степенью точности по этим малым параметрам. В рассматриваемом нами случае Островного распределения покоящихся зарядов одним из малых параметров может быть отношение максимального линейного размера Х области, занятой источником, к расстоянию от источника до точки наблюдения. Разложение потенциала по степеням этого отношения в научной литературе получило название мультипольного разложения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
