В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Наличие юэффнцнента — в выражении С означает, что энергия н нм- 4 пульс злектромагннтного поля частицы не образуют 4-вектора н не могут быть отождествлены с ее энергией н импульсом. Отметим, что определяемая формулой (2) эпектромагннтная масса обращается в бесконечность в случае точечной частицы. ! з 788. И' = 8 / Н тЛГ = 2, где величина пзс опРеделена 8зт г з~д — — Р' в решении предыдущей задачи. Полная энергия злектромагннтного поля частицы 570 Глава Л77 789.
Отбросим члены порядка -" и выше, и рассмотрим действие неюторого элемента Не1 на другой элемент Нез. Кулонова часть злектричесюго поля сферически симметрична и не дает вклада в силу самодействиа; квазистационарное магнитное поле тоже не дает вклада. Таким образом, достаточно рассмотреть только ту часть напряженности дЕ электрического поля элемента аеп которая зависит от усюрения. На элемент Иез действует сила 4Р = — Йз4Е = з (ч — го(го 0)) где гс = г, г — радиус-вектор, направленный от элемента г)ег к элемен- ту пег На частипу в целом действует сила 4 Иго.
Р= ЙР= — — ° — ч, / 3 сз где Иго = — ( 1 Ие14ез 2 — энерпгя электромапппного поля поюящейся частицы; множитель 4/3 получается при интегрировании по направлениям гс. Определив массу покоя частицы как гас — — — (см. задачу 787), получим г 4И'о 3' для силы самодействия выражение: Р гас 0 1 Таким образом, сила самодействия частицы, если пренебречь запаздыванием, совпадает с силой инерции. 790. Сила, действующая на элемент заряда Нез со стороны элемента г)еп определяется усюрением Ф последнего в момент времени Р, ЙР(1) = — ',ч — гс(гс ч))), ае1 аез азг а=в- -, "' разлагая усюрение ч по степеням Р— Ф = — '-, получим: с' Интегрирование по элементам пеп аез даст (см.
предыдущую задачу) исюмую силу самодействия: 2ез Р = — гпсч+ — — ч. 3 сз 9 3. Взаиисдейстеие зараженнмн частиц с иззучениеи 571 Второй член в правой части представляет собой силу лучистого трения. Он не зависит от структуры часпщы и в предельном случае точечной частицы не изменяет своего вида. Собственная энергия И'о и, следовательно, электромагнитная масса гпо в этом предельном случае обращаются в бесюнечносп . Неу пенные члены порядка (г' — г)", где и > 2, очевидно, пропорциональны го (го — радиус частицы) и в пределе точечной часпщы исчезакзг.
"'г'3"3 791. Т= 10 мсек. 4е~ Сделанные предположения о характере движения электрона выполняются, если потеря энергии за период т обращения по орбите мала по сравнению с полной энергией электрона,т.е. т~ — ~ т. (Ю), откуда а — .т го = (го — классический радиус электрона). Это условие начинает нарушаться только на очень малых расстояниях порядка 10 'з см, на юторых вообще неприменима классическая злектродинамика, так как она в этой области внутренне противоречива (см. (65) з 75). Следовательно, результат задачи — очень малое время япгзни атома — определенно указывает на неправильность классических представлений о двюкении электрона в атоме (представление о траектории и т.п.).
В процессе преодоления этой и других фундаментальных трудностей классической физики и была создана квантовая механика. 793. Ю(г) = тсг сей 1 1+ — )и о 1 13зпзсо 2 Мо — изсз 3 ' При г — ~ оо, Ю(г) — ~ гпсг, т.е. частица останавливается. Радиус орбиты можно выразить через У(г) по формуле но= — = — 'ЛчП: ч" еН еН При г — ~ оо, г(г) — > О, т.е. частица движется по закручивающейся спирали. 793. б,р — — пгсг~ —, где го = —. н гаги ез ~ 2сго ' знсг 794.
Уравнение движения гармонического осциллятора при учете силы лучистого трения имеет вид г 2 ег -. г+ мог = — — г. 3 гпсз 572 Глава 171 Уравнению (1) соответствует кубическое характеристическое уравнение "+ыо= г г 2 е з 3 п>сз Условие малости силы лучистого трения по сравнению с квазнупругой силой позволяет репппь (2) последовательными приближениями, отбросив в нулевом приближении правую часть; при этом к а> ко = ~као. В первом приближении, подставив в правую часть (2) вместо к значение ко и введя обозначение 7= 3 гпсз ' (3) получим й яг = ~кво — ~.
Можно ограничиться одним нз решений, 2' например, тем, которому соответствует знак « — ж тв г = кое ' . е """ (Ф ) 0). (4) Это решение справедливо при 7 « «>с н имеет характер затухающих колбаний. Энергия осциллятора убывает как квадрат модуля его амплитуды: дг дгое — тФ +СО 1 Е Е е-вал,.> Еое ' "е 0 при 1) О, при 1<0 Е 1 -(г+вв,)в+' в 1 = — /'е 2я,/ 2 [-( ) 7~ Отсюда находим спектральное распределение интенсивности излучения: в11м го7 1 аа 2я (ы — ао)г+7г~4 (6) Величину — естественно называть временем жизни возбужденного состоя- 1 7 ния осциллятора.
Напряженность электрического поня излучения пропорциональна г, 9 3. Взаимодействие зарязиеииик частиц с имучеиием 573 +ОО где Хе = ) ЫХ вЂ” полная интенсивность излучения. Спектральное распределение (б) имеет характер резонансной кривой (рис. 130). Рнс. 130 Ширина спектральной линии характеризуется величиной Ьы = 7. Естественная ширина линии очень мала (на графике длин волн она равнялась бы ЬЛ = Ь ~~ = ~~ге = 1,17 ° 10 шсм). 2ис 4н Если считать, что излучение происходит не непрерывно, а дискрепшми порциями (это предположение, очевидно, выходит за рамки классической электродинамики), то неопределенность энергии фотонов гье = Ьсно = Ь7 связана со временем жизни возбужденного состояния г = — соотношением 1 7 (7) Это — частный случай весьма общего квантовомеханического соотношения неопределенности длл энергии-времени.
м — ие з 795. — = Хсе ", где ~д = ~ — — допплерова ширина ВХ . та . 2и71оо ды спектральной линии, а через Хо обозначена интенсивность при м = шс. Ширина линии зависит от температуры и может служить мерой температуры газа. Глава Л71 574 аь 2к ( )г Г2 4 797. Если волна поляризована вдоль оси х, то еЕ 1 Хь' тл 2 2 1 ыо — о~ — ка7 егмог 7= — ' З з Энергия, поглощенная осциллирующим злектроном, +00 ОО 2 г, Ьйт = еЕ (в)х(ь) г(в = ~~ /Е /~ йа, ' (мо "Р) + ьа 7 — ОО о так как (х) = — й ~х~. Подынтеграаьная функция в последнем выражении описывает спектральное распределение интенсивности поглощения.
Из вида зтой функции следует, что мерой ширины линии поглощения является величина 7, как и в случае испускания. Так как, по условию, ширина спектрального распределения группы велика по сравнению с естественной шириной линии 7, то ,г 2яе2 2 2 (2о~оь) + ыо7 где С = ш — юо. Нижний предел можно заменить на — оо, так как ( « шо. В результате интегрирования получим окончательно: 2а ег ~д ~Ехи ~ = 2я гостив где го = е, — классический радиус электрона. Результат не зависит от 7.
тпс Зависимость от частоты только косвенная: величина (ьй' пропорциональна спектральной плотности Я„при резонансной частоте ыо осцнллатора ' Кви летию проверить, +се 00 А(Е) В(г) 42 = 2п ~(А~В„', + А',„Вх) ьав. ОО о 9 3. Взаимодействие задезеенник частиц с излучением 575 Из вывода ясно, что тот же результат мы получили бы и в случае падения на взотропный осциллятор неполяризованной н неплоской группы волн. В этом случае Я представляла бы собой сумму интенсивностей всех поляризованных волн частоты ю, входвцих в эту группу.
798. а) ЬИ'=.слгтсс$ асов д; б) ЬИ'=лггвсЯ ов1п д; в) ЬИ~ = -л~гвсЯ~,. 2 799. Уравнение движения гармонического осцнллатора в данном случае принимает вид: 2 г+ шогг = 'г'+ — Есе и"', Зглсз если пренебречь неоднородностью электрического поля в области, занятой осцнллятором, и действием магнитной силы — эффектами порядка "-. Решение уравнения (1), соответствующее вынужденным колебаниям, выражается формулой: г= — ° е Е и~о™ вЂ” 4из7 Отснща для усредненной по времени интенсивности света, рассеянного в данном направлении, найдем: сс ггг 17 1 ~,, оо вшгз7 (мог — юг) 2 + иР72 где зз — угол между направлением и распространения рассеянного излучения и направлением поляризации падающей волны.
Плотность потока энергии (усредненная по времени) в падающей волне 7в — — —. Диффесоо 8л ' ренцнальное сечение рассеяния: ,1з 4 " ~ьч 7 лП " ( 2 г)2+ 272' Полное сечение рассеяния получается отекла интегрированием по углам: йт,1П 8л „2 ые 4Я 3 о(„2 „2)21 2 2' .=/- =-". 57б Глава Л71 В случае сильно связанного электрона, югда юв » ы, 8я 'о"' 2 4 <т — — °вЂ” 3 М4 Характерна зависимость сечения от частоты: с ю4. В случае слабо связанного электрона при малом лучистом трении у ~е О,шо юО и 8яго а = —. 3 800.
Н = — е (елсовд — зев)е й ' ~,где д, а — полярные углы направления и распространения рассеянной волны (направление распространения падающей волны вдаль оси г), А — амплитуда падающей волны. Из выражения Я видно, по рассеянная волна оказывается, вообще говоря, эллиптически поляризованной. Волны, рассеянные вперед и назад, поляризованы по кругу. Волна, рассеянная в плоскости ху, поляризована линейно. Дифференциальное и полное сечения рассеяния гкг г(1+он о) 8я 2 <П = "о 2 — 3 "о. 801.
р=совгд. 802. В случае линейно поляризованной волны: йглм — гс [(1 — бсовд) — (1 — )У ) вш 47 сов а), г(1 Р )(1 Р) 2 2 ° 2 2 о (1 У 0)в где 47, а — поларные углы направления распространения рассеянной вяны, ось г параллельна сюростн т заряда, Д = "-, азимутальный угол а отсчитывается от направления вектора Е в падающей волне. В случае неполярюованной волны: Й~„~~ = гс в ~ 2 (1+ сов д) — 2)7совд).
, (1 - Ф)(1 - Р)' г1+ Ф (1 — 13совд)в [ 2 $ 4. Разложение зяеямраиогнитного поля па плоские волям 577 84. Разложение электромагнитного поля на плоские волны — йгас( со„(г) + с ~~ А„(г), госА (г), — с1оРк(С) — с АЬ 1 йс х Ак(Ф), — Ларси„+ с~~Ак, йс х А~ Е (г)= Н (г)= Ек(Ф) = н,(с) = Е1, = н 806.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
