В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Дтажвние заряаиенньа частиц в электромагнитном иоле 529 Проинтегрируем (1) вдоль траектории часпщы от г = а до г = Ь: г=ь ь тгга е / = — — ! 2иНгй.= — —. еФ Д 27Я 2 ~ 2 о (е! (е) 2тсг (2) если воспользоваться результатом задачи б21 и тем, что Т = ~е~$'. При малой разности потенциалов ~е~ Ъ' << тсг (это эквивалентно тому, что ю « с), результат (2) упрощается: Ф„р — — 2асЬ 2тЪ' ~/ (е) 705.
Разность потенциалов У должна быть больше, чем 4Уг г Ь тгс4 тсг КФ 1п + т = сг а ег )е( При ~е~$' << тсг (нерелативистские электроны) получаем из общей формулы: 2Уг(е! г Ь ив 1л —. тс4 О 7и. ь- ~~,~ н708. Воспользуемся цилиндрическими координатами г, а, начало которых совпюдает с зарядом Уе и непарная ось направлена вдоль момента импульса частицы. Тогда движение происходит в плоскости г = О, причем г будет представлять собой расспание между зарядами — е и Яе.
Первые два уравнения в ответе к задаче 703 примут вид: Н ( пи' ~ тгаг Бег г / 1 г г ч 7 ~ 7 530 Глава Л7 Из второго уравнения следует, что момент импульса являегся интегралом движения: =К= (2) г-г~ Другим интегралом движения является полная энергия системы = — = 8 = сопят. гпсз яе~ 1 — о /сз Из выражения (3) видно, что возможны траектории двух основных типов.
При больших значениях г полная энергия 8 = тсз + Т (Т вЂ” кинеу 2 тическая энергия), поскольку при г — + со потенциальная энергия е — ~ О. Так как Т ) О, то при Е < тлсз частица не может далеко отойти от притягивающего центра и ее траектория заключена в ограниченной области (финитное движение). При Е > пзсз существуют ветви траектории, уходящие на бесконечность (инфинитное движение). Найдем дифференциальное уравнение, которым определяются траектории часпщы. Из (2) следует (4) Подставляя (3) и (4) в первое нз уравнений (1), получим дифференциальное уравнение траектории часпщы: ,у,р'1г)+( р )г Кз„л' где ге~ Кс Интегрирование этого уравнения дает при р ф 1: р Кзсз — Язе~ г= 2 3 1+ е сов;/~ — Рзгг ЕезЮ где е — постоянная интегрирования.
Вторую постоянную интегрирования можно исключить соответствующим выбором начала отсчета угла сг, а величину е выразить через е и К. Траектории симметричны относительно оси я (а = 0). $ 2. Даажение зарялсеннтл частиц в электромагнитном иоле 531 Рассмотрим подробнее случай р < 1. Как видно из (6), в этом случае частица не приближается к центру ближе, чем на рассптние г и = и если принять что е > О. В формуле (6) начало отсчета угла а выбрано так, что г = г;, при а = О. Частица может многократно проходить на Рнс. 115 — 1- (1- рз).
1 тзса Р (7) Из (7) видно (р < 1), что при 8 < гпсз параметр е < 1. Движение при этом финитно и траектория «зллипсовиднкв (рис. 115). Она име- расстоянии г . от центра. Во всех таких точках Р = О и скорость направлена Р л 7 1 нкнуу Ру .и ук= "" .и н <з~г= г,' ,(Г:Э1и выражение гтм через е, найдем: 532 Глоеа Л7 ет вид незамкнутой, вообще говоря, розетки, заключенной между окружностями с радиусами и . Ее можно получить путем вращения Р Р 1+а 1 — е' (прецессии) нерелятивистской эллиптической траектории в своей плоскости.
Полное колебание величины г от минимального значения гы„=— р 1+а (перигелий) до максимального значения т = — (апогей) и обратно до р 1 — е нового минимума происходит при возрастании тл на ~и . Перигелий орбиты, таким обра- т/1 — гаса зом, за один период изменения г поворачивается на угол 2я( ). Если т/1 — Рз пред- ,/1 — рв — 1 ставляет собой рациональное число, то после некоторого числа оборотов траектория замыкаетса на себя. При 8 > тсз параметр л > 1. Движение инфинитно и траектория «гнперболовидна» (рис. 116).
Она имеет две ветви, уходящие на бесюнечность при св = ~сто, где етс ( —,1) . Частица, приближающаяса к заряду Яе по одной ю этих ветвей„может совершить вокруг заряда несюлью оборотов, раньше чем уйти от него на бесконечность по другой ветви. Случаю 8 = тсз отвечает е = 1. Движение Рис. 116 в этом случае также инфинитно, а траектория «параболовиднюь При р « 1 рассмотренные траектории переходят в обычные эллипс (е < 1), гиперболу (е > 1) и параболу (г = 1) нерелятивнстсюй кеплеровой задачи.
Это естественно, так как при —" « 1 выполняется условие р « 1.' 'Можно произвести такую оценку величины р в нереллтнвиетеком елучжк ~ц Р= — - — - —. гтпее клее' По теореме вириала (Ц = 2Г тпоа, так что р — ~ 1. о 8 2. Двшкение зарнаииннтк частик в звектрачагнитнаи нане 533 709.
Решение уравнения (5) предыдущей задачи в случае р > 1 удобиее записать в следующем виде: г = ~, (1) — 1 + ез сЬ |/ф — 142 К2,2+ 22 4 у 2а (2) Траектории, описываемые уравиеиием (1), имеют вид спиралей, закручивающихся вокруг начала коордииат при а — ~ ~со. Частица падает иа силовой центр (в иерелятивистском случае падение иа центр возможно только при К = О, р= со). При е' > пзс~ параметр е1 <1 и траектория имеет две ветви, уходящие иа бескоиечиость при о=~ос, где по= агссЬ вЂ”, (рис.
117). При е < те~, пара- 1 1 метр ез > 1, и траекториа имеет вид, юображеииьзй иа рис. 118. В случае р = 1 решение вида (1) неприменимо и диффереициаль- я иое уравнение траектории должно быть проиитегрироваио заково. Результат иитегрироваиия: 2Еезе (8) Ф(аз — 1) + гпзс4. Рис. 118 Траектория также представляет собой спираль, закручивающуюся вокруг центра при а — ~со, ио медленнее, чем в случае р > 1.
Общий характер траектории такой же, как в случаях, изображенных иа рис. 117, 118. 710. В случае — < 1 Яе' Кс г'е' — 1+ есов42 1— Кзсз где г'еа-Ка а я ае с к=в Вел >1, Траектория имеет гиперболоподобный характер (рис. 119). Две ее ветви уходят на бесконечность при а = жас, где Яе~ При — «1 частица движется по гиперболе. Этот слуКс чай отвечает нерелягивистскому движению, о ~ с (см. примечание на стр. 530.
В случае — > 1. Яе~ Кс Рис. П9 Я е 1 — есйа — — 1 Каса о=ж 1 агсл е. 1 яае4 — — 1 К~с~ В случае — = 1, Яе Кс 2яеа8 Ка(1 — аа) — тас4 Ветви траектории уходат на бесконечность при ще е < 1. Характер траектории такой же, как в первом случае. Две ее ветви уходят на бесконечность при б 2. Двиаиенив зарялсеннмк частил в эввкнунгиагнмннаи наив 535 712.
В случае ее' < 0 (притяжение): о~вг 1~ т= 1+есозгг' ее' 1+ 28К~ пзггпг 28 ' дезе г' гпг+гпг' 2 К = ~а а — момент импульса, 8 = — + — — полная энергия частиг. ее' йс 2 цы, т, сг — полярные координаты. Траектория частицы представляет собой коническое сечение: при 8 < 0 — элпипс (е < 1), при 8 > 0 — гипербола, во внутреннем фокусе которой находится заряд е' (е > 1), при 8 = 0 — парабола (в = 1). В случае ее' > 0 (отталкивание): о(ег 1) т = — 1+всова' В этом случае 8 > 0 эксцентриснтет е > 1, и траектория представляет собой гиперболу с зарядом е' во внешнем фокусе.
713. Дифференциальное сечение рассеяния может быть вычислено по формуле ~йдЮ' в г(в где д — угол рассеяния частицы, соответствующий данному значеншо в-параметра соударения (прицельного расстояния). Связь в и д может быть найдена нз уравнения траектории часпщы (см. задачу 712). В случае притяжения (ее' < 0) сова > — —. Угол а меняется от — сго до гго (рис.
120) при прохождении ча- Рис. 120 спщей всей траектории ~сов гго = — — ). Угол рассеяния д дополняет угол между асимптотами гиперболической траектории до н. Из рис. 120 видно, что — = — — + ао, откуда сгб —— В и гй 1 1 г — 1— — 1 — е — 1= 2 а1лг(В/2) сова оа . Момент импульса выражается через прицельное расстояние в тегврг ' 53б Глава Л7 формулой К = гнева Таким образом, з езе'з з д пзз„4 в 2' о Дифференцируя и подставляя в (1), получим 2 Это — известная формула Резерфорда. Тот же результат получается при ее' > О.
714. В случае ее' < О (притяжение): и ,к,~ 2.к, ~ РУ': л~~Р , Рл' - Ф~ / Эк' — л1Л М где оо — скорость заряда при г — ~ оо. В случае ее' > О (отталкивание): 2к . 'лл'-л**' д = я — вгоняй ъ~слК2:22е4 сяез 715. Малым углам рассеяния отвечают большие прицельные расстояния а. Поэтому, положив К = рсл, где рс — импульс частицы при г — + со, можно найти интересующую нас зависимость угла рассеяния д от л предельным переходом а — оо (прн этом, очевидно, К > с ) в общих (ее') з формулах, приведенных в предыдущей задаче. При выполнении предельного перехода как в случае ее' ( О, так и в случае ее' > О, получается один и тот же результат: д= к — 2агсга У = е ров «1, еоРса 2Уез (ее'! "орса опгуда а = 2 и )ее'( бород ~(д) = а л = 4( ее ) —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
