В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Четырехмерные векторы н тензоры также является 4-вектором. Таким образом, оператор четырехмерного градиента, определенный в виде ~в — ( —,-~), где 17 — оператор трехмерного градиента, преобразуется как 4-векгор. 59б Тш = ~7ьАо ~ь = ( —,—,—,— ). д д д д дто' дхг' дхг дхз Чегырехмернаа дивергенция дАо дАг дАз дАз '71А; = — + — + — + — =1пт. дхо дхг дхз дхз Рнс. 101 597. а) скалар; б) 4-векюр. 598.
Перепишем условие параллельности векторов А; и В, в виде (умножив числитель и знаменатель каждой из дробей на одно и то же число): ао1Ас амАг — аг;.4з — азвАз аееВО амВ- азеВ2 азвВЗ Воспользовавшись теперь известным свойством равных отношений, получим: А; ашАо — амА1 — ам Аз — азв-4з Ав В; ос*Во — амВг — амВз — аз*Вз В,' 599.
Существенно различны четыре компоненты. Они совпадают с точностью до знака с компонентами вектора А; = -е;и Аы, отку- 1 6 ' да Ао = Азз = Аззг = ° °, Аг = — Аззо = Азю = ° ° °, Аз = — Азго = = Агзс = . Аз = — Ашо = Ашо = ... Остальные компоненты Аем равны нулю (у ннх имеются совпадающие индексы). Отсюда следует, что не равные нулю компоненты Аон преобразуются при четырехмерных поворотах и отражениях как компоненты четырехмерного псендовектора. 488 Глава Х 001. Если х1 = агах'„, то матрица а имеет вид (координату хс пишем на четвертом месте): сЬа — зЬа 0 0 вЬа — сЬа 0 0 О О -1 О ~ ~ с Ь а ~ Ь о о о 602.
Искомую матрицу д можно представить в виде произведения трех матриц: д=д(д,и)д(а)д '(д,ж) 1'1 О 0 — сов д сов 1с ~0 — создвш1с 0 вшд о о вшзз вшдсов<р — сов1с — вшдвш1с о — озв д описывает пространственный поворот системы отсчета (рис. 101): х; = дзь(д, 1с)хз. о о -а~ 0 — 1 0 0 0 0 — 1 0 вЬа 0 0 — сЬа соответствует переходу к системе отсчета ял от системы я"', движущейся вдоль оси хз со скоростью Ъ'/с = 1Ь а (т.е.
описывает преобразование Лоренца для координат хе, хз). Наконец, матрица д '(д, зз) описывает поворот, в результате которого система отсчета У переходит в Я"' (см. рис. 101). д '(д, 1с) совпадает с матрицей, транспонированной к д(д, 1с). Перемножив матрицы, найдем: — ызвЬа ызыз(1 — сЬ а) шзз(1 — сЬ а) — 1 ызыз(1 — сЬ а) — 1 щз = вшдсовзз, ыз = в1пдвш~р, ыз = совд. сЬа зч зЬа вЬа азвЬа — ыз зЬа ызз(1 — сЬ а) — 1 зЧшз(1 — сЬ а) — 1 ызыз(1 — сЬ а) — ызвЬа аз аз(1 — сЬ а) ызыз(1 — сЬ а) ыз(1 — сЬ а) — 1 б 3.
Рекатиеиетекая электредитииика 0 3. Релятивистская злектродииамика 603. В вакууме: Е = у(Е' — с х Н') — (~ — 1)т Р У Р ('Ч ° Е') 7(Н + с хЕ') — (7 — 1)'К г ( й' ° Н') В средах: Р = у(Р'+ —, М') — (т — 1)Ч г ( й ° Р') М = 7(М' — — х Р') — ( г — 1) й с Ч ( й ° М') Формулы преобразования для пар векторов Е, В и 11, Н аналогичны формулам преобразования пары Е, Н в вакууме. 604.
Задача имеет бесчисленное множество решений. Если найдена система Я' (движущаася со скоростью й), в которой Е' (! Н', то в любой системе отсчета, движущейся относительно Я' вдоль этого общего направления, Е и Н будут параллельны, как это следует из (Х.25). Будем исюпь в связи с этим только ту систему отсчета Я', которая движется перпендикулярно плоскости Е, Н.
Воспользовавшись условием параллельности векторов Е' и Н', Е' х Н' = О и формулами преобразования из задачи 603, найдем: Ез + Нз — — ЕхН с 2(Е х Н)з С помощью инвариантов поля получим далее Е'г 1 (Ез Нз + 2 Н'з = -[Нз — Ез+ 2 605. Для предварительного исследования удобно воспользоваться иивариантами поля. При Е > Н должна существовать система отсчета, в которой Н' = О, Е' = ~Н.
При Е < Н существует система отсчеш, в которой Е' = О, Н' = ~/Нз — Е~. 400 Глава Х В случае Е > Н имеем: ЕхН Ез е = '4Р: и*. Я В любой системе 5", движущейся вдоль Е' с произвольной скоростью, магнитное поле также будет отсутствовать. В случае Е < Н ч= —, н = — ~/ю-н. НхЕ, Н Пз' Й Н,госЕ+ — — ~ — ЕсйтН = О, [ 1 дНз с дФ или в ювариантной записи, Г;ь,ы „" = О, и всегда удовлетворяется дх~ в силу уравнений Максвелла. 606. При м (,г/с в системе отсчета, движущейся со сюростью Ъ" = = с~зг/.я параллельно оси цилиндра в направлении вектора Е х Н, электрическое поле Е = О, а магнитное поле Н = — 1 —— / 2.Ф сзмз О' фз При м ) сэ/с в системе отсчета, движущейся со сюростью Ъ' = .Ф/м параллельно оси цилиндра в направлении Е х Н, Н' = О и Е' = +~„' (1— При м = .г/с не существует такой системы отсчета, в которой имелось бы только электричесюе или толью магнитное поле.
Как видно из приведенных формул, при зг — эг/с сюрость таюй системы отсчета стремилась бы к с, а величины обоих полей — к нулю. 607. а) В фиксированный момент времени (й = О) получаем уравнения дг х Н = О, Е ° Иг = О. Первое из них показывает, что й (! Н, т.е. й является элементом магнитной силовой линии. Систему (2) можно записать в виде г)ь <Ьь = О, откуда следует ее релятивистская инвариантность. Здесь Рд, — тензор поля, аль — приращения координат. б) Условие совместности системы имеет вид Е. Н = О. Оно релятивистски инвариантно и показывает, что релятивистски инвариантные магнитные силовые линии можно ввести только для взаимно перпендикулярных электрического и магнитного полей. в) Условие интегрируемостн системы имеет вцл 491 1 3.
Релатмисмская электродянамика г) Записав уравнения (2) в виде (Е .1 Н): Н(Н ° Нг) Е х Н +с Нг Нз убеждаемся в справедливости сделанного в условии задачи утверждения г). 608. В трехмерной записи система, приведенная в условии задачи, принимает вид Иг х Š— сН<й = О, Н ° ег = О, откуда следует„что в любой фиксированный момент времени (ог = О) выполнается условие параллельности дг х Е = О приращения Иг и злектрического вектора Е. Уравнения совместны при Е ° Н = О н интегрируемы Е,гоСН+ — — ~ — НсйтЕ = О. 1 дЕз с дс Последнее уравнение накладывает на распределение зарядов и токов условие вида Е х 1+ сНр = О.
Если перечисленные условия не выполнаются, то ннвариантнык силовых линий электрического поля ввести не удается. Силовые линии движутся ЕхН поперек своего направления со скоростью и = — с Е 610 ~с е А = е с11' е11 сК(1 — Ъ'з/сл) тг 3/2' с 7 Да~1 У ° 20) где В' = , (с1, О, О) — координаты движущегося заряда в момент 1, Щк — с1, у, л) — радиус-вектор от заряда в точку наблюдения в момент Ф, д — угол между Н, и т. 611. Из формул предыдущей задачи следует, что вдоль линии движения заряда (д = О, и) поле Е ослаблено по сравнению с кулоновым Е, = е/Вз в 1 — Уз~от раз, а в перпендикулярном направлении (д = я(2) *яу р .пр и- у 1 — У'~ р у лд ~д — 1ь'ы р ю Глава Х Условие Е1 = Е' относится к одним и тем же точкам 4-пространства. Но если в системе покоя заряда какая-то точка А находится на оси х на расстоянии В от заряда, то в лабораторной системе та же точка будет находиться от него на расспжнии Вт/1 — )3з.
Сравнивая значения Е1 в точке В~/1 — 13з и Е' в точке В, получим 1 как и должно быть. где гь = (х — ег, 9, х), г' = (х — ег, —.у, —.з), диполь движется по оси х, 1 1 находясь в момент времени Ф в точке с радиусом-вектором ~Н. 613. р = р'+ — х пт — (у — 1)У / у р/ с 7$ 3 У пт' пт = пт' — — х р' — (7 — 1)У где р' и зп' — дипольные моменты в системе покоя. 614. Используя формулы преобразования четырехмерной плотности тока, найдем, что стороны 2 и 4 прямоугольника (рис.
102) не заряжены, а стороны 1 и 3 несут заряды 1г = = — Чз = — — —,~де г — токвсир .яа р с с стеме У, связанной с петлей. Отскща (или из результата задачи 613) следует, что электрический дипольный момент петли, наблюдаемый в У, равен р = .Ф аз = цзй = — ат' где ю = — — маг- с нитный момент петли, наблюдаемый в системе Я'. 493 1 3. Рекатиеиетекая эеектдодикаиика 615.
Пусть и; — четырехмерная скорость среды. Составим 4-инвариант (см. формулу (Х.37)): Лпо = 7(1 ° У) — 7(Я+1 ° У) = — 'уЯ = 1пч. Если обозначить через Яо количество тепла, выделяемого в единице объема среды в единицу времени в той системе, где среда покоится, то 9 = = (ус~/1 — дз. 616. ю = 7з(ш+7$',+(32Т',),$ = 72Ь1+$2)$'+УЫ+Ут',], $у = 7($„' + УТ' ), $ = 7($' + УТ' ), Т = 7з (Т' + — $' + $зм'), Туу — Тук~ Тук — Тук~ Ткк — Тек~ т.„ = 7(т,„ + д $„), т..
= 7(т., + д $,). 617. Тн = О. т, $=~ —,ба=о, ~ дтм / дхе Рвс. 103 так как — = 0 при отсутствии зарядов. На цнлиндричесюй гиперповерхдтт дно ности Тм = О, поскольку на границах обьема У системы поле отсутствует. 618. Импульс и энерппо поля в объеме У в момент Ф = —.о можно зс выразить интегралами ) Тси г($ и ) Тес й$ соответственно, где Ю вЂ” элемент гиперповерхности хс = сонат (очевидно, 6$ = бУ). Аналогичными интегралами выражаются импульс и энер- го то ' солко гия поля в момент г' = —,". Введем про- 1с извольный вспомогательный постоянный 4-вектор а, и составим сумму Тс;ао Рассмотрим далее 4-объем П, ограниченный цилиндрической гнперповерхностью $, образующая которой параллельна оси хо, и двумя гнперплосюстями: ко = сопят и хо — — сопят (рис. 103).
Применим 4-теорему Гаусса к инте- у тралу по этой гиперповерхности от функции Тма'. Глава Х Тогда (учитывая направление нормали) получим а; Т и =а'; Т'Ь". Другими словами, величина а; ) Ты Лт — инвариант относительно преобразования Лоренца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
