В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Рассмотрим волну, которая будет иметь наибольшее й. Если бы волновод был заполнен диэлектриком целююм (о = 0), то соответствующее значение хз было бы равно хоз = О', где оо1 = 2,4,,УО(ао1) = 0 (см. задачу 514). Ь ' Будем искать решение, мало отличающееся от хоз.' Эиектромагнитные коиебанни в ограннченньи таках 455 Положим в нем Жо(дезЬ) =Же(аод+дда) )1до(аод) Ло(мзЬ) = — Лд(адоЕьа). Тогда, отбрасывая малый член с логарифмом, получим ( 1) ж~~оь 1д~о(аод) (а)з 4 уд(ао~) Ь Фазовая скорость волны Вводя обозначение ыо = аш с - 2 4 с (минимальная частота для волновода, Ь ' Ь не содерясащего диэлектрика) и подставляя табличные значения Жо(аод) и,Уд(аод), получим д и„=с(е — ( —,, ) [1+3,7(1 — — ) о ]) (2) Если волновод заполнен диэлектриком целиком (а = 0), то д о„= с[в — Ы ] Граничная частота частично заполненного волновода оьр — — — [1 + 1,85(1 — -) о— ] д(е е Ьз лежит между граничными частотами незаполненного и целиком заполненного волновода: о~о — Содч Сыо Д Фазовая скорость (2) становится меньше скорости с при частотах Таким образом, волновод, частично или целиком заполненный диэлектриком, является замедляющей системой: фазовая скорость электромагнитных волн в нем может быть меньше с.
Важной особенностью медленных 456 волн является то, что оии могут эффективно взаимодействовать с пучками заряженных частиц. Взаимодействие волн с пучком часпщ может быть использовано как для генерации и усиления элехтромапппных колебаний сверхвысокой частоты (клистрон, лампа с бегущей волной, магнетрон), так и длв ускорения частиц (линейный ускоритель). 523.
Граничные условия на аннзотропно проводюцей плоскости имеют вид 8з = О, 8г„ = — Ве совах, -ди А, = 1 — е дасовах, В й Мщ = В1 — — )е Дксовах, /Йо~ аг т— ~ ( ц,й)  — е дав1пах, аЗ )око — 1 — е дквшах, а й, 1~1 хв где йо = и/с,  — постоянная. а — атл— (2т+ 1)я 2 го=0,1,2, ... л=л-=Р-в*~4 Постоянная распространения и выражается через ы по формуле Ещ — Еге =О, Нге = Нге, Еы =Ег ° Индексом 1 обозначена область у > О, индексом 2 — область р < О. Первые два равенства являются следствием идеальной проводимости полосок, последние два выражают отсутствие тока в направлении, перпендикулярном полоскам. Кроме того, Ев — — Е, = 0 при х = ха н все составляющие поля должны быть ограничены при р — ~ хоо.
Решая уравнения Максвелла с указанными граничными условиями, найдем Зеектрамагнитные коеебанна е ограннченньи таках 457 Для заданного т волна может распространяться, если ее частота ы заклю- чена в пределах — < — ~ ~/ — ' 1 аг 2 ф сект ~/ в+ 1' при этом а меняется от 0 до оо. Если е = 1 (диэлектрик отсутствует), то система превращается в ре- зонатор: в ней возможны колебания при дискретных частотах и = сат. При в > 1 рассмотренное устройство является замедляющей системой.
Групповая и фазовая скорости волн в ней меньше сюрости света с. 524. Волны электрического типа в рассматриваемом случае существо- вать не могуг. Волны магнитного типа: 14>с у Иа Зв', = — ~ег сов гея — Й вЂ” вш гек 1, ыд ~ д.г М, = — ~й в1п гел — ге — сов ест), 8, = Юо вш гея, 4. = 4'в = ЗЕв = б, пв ы ея пя щеге= пк й (пк) и 1 2 3 с И = И1 —,— „'. Граничная частота ио (н) сге„ езд ' Как следует из формул для М, и Зй',, юнфигурация магнитного поля для волны данного типа зависит от знака а, т.е.
от направления распространения волны, и от знака п„т.е. от направления постоянного магнитного пола. Этот эффект связан с гиротропией среды, заполняющей волновод. 525. Уравнения Максвелла для юмплексно-сопряженных амплитуд во, Зс в иьюют вил: гов йо — йо(е.
х йо) = с З1'о гоСЗй"в — йо(е. х Мо) = 1Е-8о Амплитуды а', Ж удовлепюряют уравнениям гога + й(е, х 8) = фд'ЗГ, (2) гоСЗР+ йо(е, х Зс) = — с~в'8, 458 Глава И где,и 'Зк, Р8 — векторы с компонентами д', .ЗЦ„е',ьеь', д',ь = е';и — — бщ,— вне области, занятой диэлектриком, д',ь — — ~ць е',ь — — ец, — вйутри этой области. Из уравнений для гоФ е'с и гоС Ж следует: Мгоз~о ~отсами~+з(й — йо)(о* х®о)ЗР = кс(М'Мо е ~'~йо). (3) Проинтегрируем обе части этого равенства по поперечному сечению волновода Я.
Первые два члена можно преобразовать следующим образом: (Згг СВ,"— г,*г Сж)Ю=-' 1а1т(В,"хж)ИК (,/ Я Ъ' В последнем выражении интеграл берется по обьему, ограниченному стенкой волновода и двумя сечениями, отстоящими друг от друга на расстояние ( (подынтегральное выражение не зависит от з). Применяя затем теорему Остроградского — Гаусса, получим йч(й'~ х гс)НУ = (е'о х гс) паЖ = (и х й'ц) ЖНЯ. На стенке волновода и х ес — — О в силу граничного условия Юс; =О, а интегралы по сечениям входят с противоположными знаками и взаимно сокращаются. Поэтому (и х 8с) Ж сИ = О и равенство (3) дает (к — ко) (оо х М').е,дЯ = — ю (Ж М',*,)с(о— Ф ' ~о) сБ — гзыМ ° Уо ИЯ, (4) где Ье = е — 1 и ЬЯ вЂ” поперечное сечение области, занятой диэлектриком.
Таким же путем нз уравнений для гога и гос М'с находим (й — йо) ФохМ) е.,(~=~ (,И, Мо),Ы вЂ” (й' й'о)(~+ 5Р~ Мо (б, (5) Я ЬЯ где Щ =,и — 1. 3иентромагнитные еиебанил в ограниченных телах 459 526. В случае пластинки малой толщины амплитуды возмущенных полей можно приближенно выразить через невозмущенные амплитуды, которые для волны типа Нш имеют вил: Мо = — — Жо з1п— (йоа . рх 7Г а' -'всох = зко сгм а ях йо = — Мозш Ыа .
ях р яс а \ 6он = Юо = Мор =О. (Эти выражения могут быть получены из результатов задачи 510.) Пренебрежем изменением амплитуд поля вне обьема, занятого пластинкой. Кроме того, пренебрежем изменением полей по толщине пластинки. Это эквивалентно отбрасыванию членов порядка г(з и выше. На поверхности пластинки должны выполняться граничные условия: 3~» = Зфл 1л ь х(вн 11лвМр = Фон> е'р = бор~ З~р = З~~р = О, где невозмущенные амплитуды в правых частях берутся при х = хм Эти равенства определяют амплитуды возмущенного поля в пластинке. Интеграл, стоящий в числителе выражения для ЬЙ (см.
условие предыдущей задачи), равен проюведенню подынтегральной функции на площадь поперечного сечения пластинки Ы, так как поле не зависит от у, а зависимостью от х пренебрегаем. В интеграл, стоящий в знаменателе, можно подставить невозмущенные значения амплитуд.
В результате получим: +(1 )"о~ зш а +(ггпу — 1)( — ) соз а Так как 1л г зависит от величины постоянного подмагничивающего поля Но (см. задачу 331), то и Ьа будет зависеть от этого поля. Изменение Но вызывает изменение фазы волны. Устройства, основанные на этом явлении, широко применяются в радиотехнике дла преобрззовання фазы. Складывая равенства (4) и (5), получаем формулу, приведенную в условии задачи.
Она представляет собой точное соотношение, связывающее изменение гхк постоянной распространения с амплитудами полей. Однаю в большинстве случаев точное решение задачи о волноводе, частично заполненном днэлектриюм, не может быть получено. Только при достаточно малых поперечных размерах области, занятой диэлектриком, удается приближенно определить амплитуды возмущенных полей 8 н ас.
Тогда с помощью полученной формулы для Ь(г можно подсчитать юменение постоянной распространения, которая является важной характеристнюй волны в волноводе. Примеры расчета волноводов таким методом приведены в задачах 526-528. 4бО Глава И' а бгй. ,а„ь а В случае а) Гзй практически не зависит от величины постоянного магнитного поля Но, так как д1 — 1 (см. задачу 331).
Это обьяснястся тем, что внутри пластины высокочастотное магнитное поле совпадает по направлению с постоянным полем и не поддерживает прецессии намагниченности М. В случае б) высокочастотное магнитное поле внутри пластины перпендикулярно постоянному полю, пг зависит от Нс, причем зта зависимость носит резонансный характер. 529. Интегрируя уравнения (1Х.1) с граничным условием (1Х.2), находим Е, = Аз сов(йтх) вш(йзу) вш(йзз), Е„= Аз сов(йзу) вш(йгх) вш(йзз), (1) Е, = Аз сов(йзз) в1п(йгх) юп(йзу), где А; — постоянные, йг = п17Г/а~ йз = пзя/6~ йз = йз7Г/Ь~ гл = с (й~г + йз + йз)р пыпз,пз = 0,1,2,...
(временнбй множитель е ' г опущен). Вектор Н выражается через Е с помощью уравнений Максвелла. Уравнение йт Е = 0 приводит к условию поперечности А ° 1с = О, где вектор А = (Аы Аз, Аз). Отсюда следует, что колебания при задан- ных й„йя, й, ф 0 двукратно вырождены, так как вектор А можно выбрать в плоскости, перпендикулярной 1г, двумя независимыми н произвольными способами. Положим для каждого такого йз Аь = Аеи, гг = 1,2, где ег, — единичный вектор такой, что еьг ° еьз = 0 и еь 1с = О, а постоянная А = ~1 З Я, причем 1г = абй — обьем резонатора.
г 32~г Тогда все собственные функции будут взаимно ортогональны и нормированы условием Е Е г(1г = 4яд„,. Эленмромагнитные юлебанил в ограниченных телах 461 Это соотношение легко проверить, непосредственно интегрируя (1). Индексы и, и' введены для обозначения четырех чисел: пм пз, пз и а. Если одна нз проекций 1с равна нулю, то вырождение отсутствует, так как в решение (1) входит в этом случае только одна постоянная. з ви~ ' гн' 531. Колебания электрического типа: Е, =бе,У (гет)вш(пих+ф,„)сов()ех)е '"", Н, =О, Н, = — — бо.1„',(лет) вш(пиг+ Ф ) Йп(йх)е ™, На = — з йо Уи(лет) сов(пцх+ Ф~) вш(йх)е '"'~, гезт Нт = — ~~ ВоУтн(лет)соа(тех+ 4 )сов(йх)е ' ', Нн = ™~,~~оЛ (лет) вш(тиа+ Фь,) сов((ех)е ~', (е= — 1=0,1 2,... ге„„,= —, ггпзн— 1к счии а коРни УРавненив Уи(аы„) = О, юз = сз(ге~~„+ Яз).
Колебания магнитного типа: Н, = тес,У,„(лет) вш(пто + Ф,„) ял(йх) е ~~; к = 1к/Ы = 1,2,..4значение1= Оневозможно ло „=Д „/а,гдеД „— корень уравнения,У' (~3 „) = О; мз = сз(мз „+(е ). Остальные шмпоненты полей выракаются через Н, с помощью уравнений Максвелла. При пз ф О колебания как электрического, так и магнитного типов в общем случае двукратно вырождены, так как каждой собственной частоте соответствуют две собственные функции, например, Н, = Эао,У„,(лет) зшпихзш(кх)е ™ Н, =аео.У,~(лет)совтавш(йх)е ' '.
532. В квазистационарном приближении можно рассматривать указанную систему как колебательный контур, состоящий нз юцценсагора 462 Глава И емкостью С = лгз/(4й) и катушки индукгивности с самоиндукцней Т = 7 86 7Л = 4я6~1п — — -/. (Вычисление самоиндукции проволочного юльца см. а 4)' в задаче 272). По формуле Томсона (УП.З) Квазистационарное приближение применимо, если Ло = 2яс/шо много больше размеров системы (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
