В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Этслает2Гч,„а = ГГ „,ГДЕа „вЂ” П-йКОРЕНЬфУНКЦИИБЕССЕЛЯ:.7 (а „) = =О,в=1,2,... Таким образом, волны рассматриваемого типа характеризуются двумя индексами т, и; при т = 0 поле обладает симметрией вращения относительно оси 2. Фазы 6 в случае идеального волновода определяются условиями возбуждения. В реальных случаях, однако, они существенно зависят от дефектов стенок волновода (отступления от круговой формы сечения, продольные царзшнны и т.д.). / 2 Распространение волны вдоль волновода возмвкно, если й = ~ — — 2гз с' будет вещественной величиной.
Позтому волна типа га, и будет распространяться в волноводе, если ее частота удовлетворяет неравенству 2 С « "тат ш > а2 Наименьшая частота возможна для волны типа (О, 1): мо = — -24 —. Озез с а ' а Соответствующая длина волны Ло = ~~ -2,6а ыс — порядка радиуса волновода. Волны мапппного типа: М', =.7„(лт)зш(гпсг+ф ) (т = 0,1,2,...). Значения постоянной распространения к определяются из равенства 2 йз м ша ( 1 2 ) сз аз где Р „— и-й корень уравнения 1' (Д „) = О.
Наименьший корень Ры— 1,8; ему соответствуют граничная частота ыо в 1,8 с и граничная длина волны Ло = Яс ж З,ба, 2лс Для волн магнитного типа граничная частота ниже, чем для волн электрического типа. Если частота волны лежит в пределах мо > ы > > шо, то зта волна может быль только типа Ны. 3еектромагнитные коеебания в ограниченнмк тенек 515. Для Е-волны: изб' О = — ) сай для Н-волна типа (пз, и): а= (1+ ыай 1 сзмз(аззез — пзз)~ где (' = В.е(. 516. Волновой вектор к и частота ы волн в волноводе связаны соотношением "— 'я =йз+ ', где зе — постоянная, зависящая от типа волны и размеров поперечного сечения волновода. По обычным формулам имеем где Ло — граничная длина волны. Из полученных формул видно, что всегда е„) с, ее < с, причем о„.
ее — — сз. Этот результат справедлив для волновода, внутри которого вакуум (диэлектрические свойства воздуха для рассматриваемой области явлений практически не отличаются от свойств вакуума). Если волновод заполнен днзлектрнком, причем дисперсией е и р можно пренебречь, все вышеприведенные формулы остаются справедливыми при — — '.п у 1 /еЗз ч 1 — (л!нг ( . и у 522). 517. Н, = 1,Мр'(е*<"'и+и*) + еб н1и+ь'>)е ™ Направления распро- 2 странения двух плоских волн, на которые разлагается волна Нш, составляют с осью волновода угол д (рис.
91), который определяется условием ' =,,р — р- = ~(' (л) 450 Глава И фазовая плоскость 1 перемещается со скоростью с в направлении, составляющем угол д с осью з; однако скорость ее перемещения вдоль оси волновода будет больше: с с ~Т: р7л7 Рвс. 91 Это н есть фазовая скорость волны в волноводе. Групповая скорость совпадает со скоростью движения энергии. Но в плоской волне в вакууме энергия движется со скоростью с в направлении распространения волны.
Каждая плоская волна, входящая в состав рассматриваемой волны Нгс, будет испытывать многократные отражения от стенок волновода, и ее «путь» будет зигзагообразным. Результирующая скорость вдоль оси волновода будет /л~з с=сс~жд=с 1 †~ †), ~л,) ' по совпадает с групповой скоростью ея. 518. А ь (-;-ю) = —.е где А — постоянная, а остальные компоненты полей равны нулю. Поток энергии у = — 1п —. Азс Ь 4 (2) В случае одиночного ндеапьно проводящего провода поля во всем пространстве вне провода описываются формулами (1); полный поток энергии через плоскость я = сонат бесконечно велик: 7 — оо при Ь вЂ” со.
Поэтому такая волна не может поддерживаться источнювм конечной мощности, и, следовательно, рассматриваемый случай не имеет физического смысла. 519. Волны электрического типа: 8, = (А „3,„(к „т) + В „П„,(»ч,„т)) зш(таа+ 4ъ„,), гп = О, 1, 2, где х~в — и-й корень уравнения Ю„,(ха)И„,(хЬ) — Я„,(хЬ)И„,(ха) = О. Элвктромагнминыв кагвбаник в ограниченнык таках 451 Здесь Ф~,,У вЂ” цилиндрические функшш (см. прнлвкение 3), А „ и В „— постоянные, связанные условием А „1 (х „о)+В „Н„,(х „а)=0.
Волны магнитного типа: 3~, =~С „Я (и „т)+П „Х (х „т))зш(пик+4 ), гп=0,1,2,..., где х „— и-й корень уравнения .7' (хо)Ж' (х6) — ~ж (ха)11 (хЬ) = О, а С „и .0 „связаны условием: С „11 (х „а)+.0 „№ (х „о) = О. Остальные компоненты электрического и магнитного полей выражаются через 8, и тг, с помощью уравнений Максвелла. ('(а+ Ь) 2а61а(Ь/а)' где (и = Ве('. 521. Если поле симметрично относительно оси провода, продольная компонента У, удовлепюряст уравнению — '+- — '+ з8, =О.
азЮ, 1 ае, г(тз т г(т Поскольку рассматривается проводник с конечной проводимоспю, параметры )г и х будут комплексными. Определим знак х так, чтобы 1шх = = и" > О. Общее решение уравнения (1) запишем в виде г,(т) =А'Н(Ц( )+В'Н( )( ), где Нр, Нс — фушпши Ханкеля. Из асимптотического поведения зтих О) Р) функций (см. приложение 3) и условия 1шх > 0 следует, что должно быть В' = О, так как в противном случае поле будет возрастать на бесконечности. Остальные компоненты а' и ае выразим через 8, с помощью уравнений Максвелла: 452 Глава И Ал =М, приводит к характеристическому уравнению для определения хс Не~ ) (лга) Н()( ) Здесь ~ — поверхностный импеданс металла. Для хорошего проводника ф « 1, поэтому последнее равенство может выполняться только при малых лга.
Пользуясь приближенными формулами лля Н~~ ) и Н1( ) (прило- 11) (1) жение 3), получим (ма) 1п( —.) = 11„— а, 1пу = 0,5772. Г )лга1 21! — С (3) Трансцендентное уравнение (3) нельзя решить графическим методом, так как входяп)ие в него величины комплексны. Зоммерфельд использовал для решения этого уравнения метод итераций, основанный на том, (т,щ~з что 1п лга изменяется значительно медленнее, чем лга. Обозначим ( —.) ~ 21 ~ = и, — (а = с. Тогда уравнение (3) запишется в виде Фт ы 2с Если найдено приближенное значение и„(п-е приближение), то более точ- ное значение и„+1 ((и + 1)-е приближение) мвкно получить по формуле и„ь11пи„= о.
В нулевом приближении можно положить ис = е, тогда и1 — ~ из — ~ из— и т.д. с )пе )п( с ) При достаточно больших значениях лег функции Не~ ) и Н~1 ) пропор- 11) 11) циональны — е ' и, следовательно, электромагнитное поле затухает 1/~ экспоненциально на больших расстояниях от провода. Максимальная концентрация поля существует вблизи провода, волна имеет поверхностньй характер.
Граничное условие Леонтовича на поверхности провода 3иектромагнитные каеебание в ограниченнык тесак 453 Для дециметровых радиоволн (Л = -~бе = 30см), распространяющихся вдоль медного провода радиусом 1мм (проводимость меди сг = = 6,2 10стсек 1), расчет указанным методом с использованием форул (ЛГП1.9НЛсщ.11) д и ке (4,2+ 4,бс) ° 10 откуда (с = ~~[1+(6,0+6,4с) ° 10 ~]. Фазовая скорость волны си= ы„=(1 — 6 10-')с(с, волна несколько замедлилась.
Этот результат можно понять из следующих соображений. В случае идеальной проводимости провода поперечная электромагнитная волна имеет фазовую скорость с, поле внутри провода равно нулю. При конечной проводимости часть энергии будет распространяться внутри провода; так как скорость распространения в металле значительно меньше с„то с<в среднем» электромагнитная волна замедлится. Кроме того, появится затухание. Исследуем характер поля в предельном случае с, — 0 (идеальная проводимость). При этом, как следует из (3), сс — ~ О, Й -+ —. Используя выражение функций Но~ ) и Н~~ ) при малых аргументах, получим из формул (2) О) О) 8„= йш— 2/сА' 1 н в кесл г Ма= йш 2/сА' 1 -е ясса Поскольку компоненты поля не могут принимать бесконечных значений, нужно предположить, что величина А' пропорциональна гсз.
Положим А' = = А — тогда к' А 4 =36а= 1 бе=О г 1 Это — чисто поперечная электромагнитная волна, распростраюпощаяся со скоростью с. Глава И 522. Составляющие электромагнитного пола в волноводе определяются следующими выражениями: при г < а 8« = ИОУО(Х1Т) аг = 1Х ОО 71(Х1Г)~ «Еа = 1СХ180 71(Х17); приа<г<6 8« = АЛо(хзг) + ВХо(хзг), Ь'„= — ъ — (АЛ1(хзт) + ВК(хзг)), .й М~„«« — 1 — [А,71 (хаг) + ВФ1 (хаг)]. ы з яа Здесь х1 = )1 — — 7сз,хз = — — йз; ЬО, А,  — постоянные.
с«с Граничные условия запишутся в виде г, =г~ —,! «=а-О «~«=«+О' Ма = 71«а ! «=а-О ~«=«+О При этом граничное условие для Юа будет выполюпъся автоматически. Исключая постоянные А, В, 8ц, получим трансцендентное уравнение, свазывающее Й и ы: ех1 УО(хго) УО(хга)ХО(хгЬ) — ДГО(хзо),УО(хзЬ) ,У1(хга) 31(хза)Жо(хзЬ) — Р71(хзо)УО(хзЬ) Р) хз = хоз + х' = — + —, С«О1 ЬГГ Ь Ь ' где 71«з имеет порядок не ниже а/Ь. Считая ао1 а « 1, используем прибли- Ь женные Формулы для .7о, У«О,,71, Ж1 нз приложения 3. Это дает вместо (1) уравнение а '((хзо) Д~О(хзЬ) + я.УО(хзЬ)) = (хза) ~ЛО(хзЬ) + я 1л „,х а,УО(хзЬ)) При а « 6 это уравнение существенно упропшстся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
