В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 65
Текст из файла (страница 65)
сей)с 418 Глава РШ 458. Дипольные моменты шара запишутся в виде р =~9еЕое ' ', из =)5 Нос где Д и Ą— электрическая и магнитная поляризуемости шара, которые в общем случае являются юмплексными величинами. По формулам (ХП.17) и (ХП.20), приведенным в гл. ХП, найдем юмпоненты векгоров Е и Н рассеянной волны: Рис. 85 Н = Ев = — ОУ, сов д + Р ) сов а, сзг маЕо Нв = — Е = — Р, + д ) вш а.
сзг Углы д и а, характеризующие направление рассеяния, указаны на рис. 85. Дифференциальное сечение рассеяния определяется по формуле (УП1.26): Жг,(д, а) ш4 4 [Щ (сов дсов а+ вш а)+ + !)5 !з(сова д вшз а + сова а) + ()5,д' + )3;,3 ) сов д~ . .()=-,'~ .(, ) .(, +-;)1= = — ~Щ !з + !д,„!~)(1+ совз д) + 2(АЩ, + ЯК„) сов д| г)П, 34 (!А! +!д-!) зс4 Чтобы определить степень деполяризации рассеянного излучения, нужно нанти главные направлении тензора поляризации.
В рассматриваемой задаче это легю сделать из соображений симметрии. При фиксированных к н и (см. рис. 85) выделенными направлениями для Ео будуг направление нормали к плосюстн рассеяния и направление в плосюсти рассеяния, перпендикулярное 1с. 419 да,(0,0) Р + О,создав Р Ь ~д 81 ~ДвСОВО+Д 1 '2! 460. Для диэлектрического шара: 8яывав Рв — 11 з о;,= 4 ~ ц; р,=сов д. Ь+В Для идеально проводюцего шара: г(а,„р — — ~ 4 [5(1+сов 0) — 8совд[дй, 8с4 10я,„вов (1 — 2совд1з Зев ~ ~2 — совд/ ' Из формулы для Йт„, видно, что сечение рассеяния диэлектрическим шаром симметрично относительно направлений вперед (О = О) и назад (О = = я). Отношение ь,„(о) = 1. Сечение рассеяния проводящим шаром зна<ь,„(я) ь.
(о) 1 чнтельно более анизотропно и несимметрично: = —. Свет, рассею в(к янный диэлектрическим шаром под углом О = Я, будет полностью поляризованным; при рассеянии идеально проводящим шаром полнея поляризация достигается при сов д = —, д = — = 60'. 1 2' 3 Применение полученных формул в случае диэлектрического шара законно, если можно пренебречь эффектами, связанными с конечной скоростью распространения электромагнитной волны внутри шара, т, е.
если Этим направлениям поляризации соответствуют дифференциальные сечения рассеяния г(а,(д, 2) и оа,(0,0), полученные при решении предыдущей задачи. Степень деполаризацни р определяется как отношение меньшей из этих величин к большей. Е [Р" [ Щ 420 ГЛаВа е'Ш длина волны внутри шара велика по сравнению с его радиусом. В случае идеально проводящего шара, распространенна волны внутри шара не происходит, н достаточно, чтобы выполнялось условие а «Л, где Л вЂ” длина волны в веществе, окружающем шар. 4 3 Ре = )Ге1Есе = Еосозге1 Ру =Ре = 0 Зя Магнитное поле имеет только продольную составляющую. Но продольная магнитная полярнзуемость диска равна нулю (см. задачу 390), поэтому гп = О. Дифференциальное сечение рассеяния 18ааш4 Йг, = а созз а(1 — зшз д сова ~р) ИЙ.
е д ЗС4 Полное сечение рассеяния 128ааш4 з 27яс4 (2) 461. Так же, как и в задаче 458, нужно рассмотреть излучение индуцированных электрического р и магнитного пз моментов. Выберем систему координат, как показано на рнс. 8б. Вектор к первичной в волны лежит в плоскости хж Рассмотрим два случая поляризации падающей волРвс. 86 ны: а) вектор Во лежит в плоскости падения хз; б) вектор Ес нормален к плоскости падения. В случае а) компонента внешнего электрического поля, продольная относительно плоскости диска: Ео1 = — Ес = Ес сова; поперечная компонента: Еоз = — Ес, = Ее вша. Электрический момент р в рассматриваемом приблюкении (а « Л) можно вычислить как статический момент проводящего диска в однородном электрическом поле.
Согласно результатам задач 197„199, продольная поляризуемость дис- 4 з ка: де1 = —, а поперечная полярнзуемость: Дел = О. Поэтому 421 8 3. Двфракция В случае б) имеем 4 з 2аз ра= Ес, рв=р =О, т,= Еоаша, т =та — — 0; Зк Згг 1баа ~4 г [1+аш д~ — гйп а — 81п аг) +ашдашасоазэ] гй, (3) 27яс4 ~ + 4 Для неполяризованной волны, с помощью (1), (2) и (3), находим 8ааы4 ' 4(гг а ы [1+ 81п2д1 1 гйп2 а зп1 асо82 у)+ +сов а+эшд81пасоаЗг] НП, (4) ав Ьзыв (8 — 1) 462. Йгв = (1 + соаз д) г(Й, где д — угол рассеяния, 188482 8яавЬзыв(8 — 1) 27с482 463.
Выберем координатную систему, как показано на рис. 87. Вектор )г первичной волны лежит в плоскости ха. Цилиндр аппраксимируем вытянутым эллнпсоидом вращения с полуосями а и Ь. Как следует из решений задач 197, 198, 390, продольны электрическая поляризуемость сильно вытянутого эллнпсоида вращения по порядку величины в Ь/а раз больше его поперечных электрической и магнитной поляризуемостей.
Поэтому сечение расселина существенно зависит от того, имеется ли продольная составляющая электрического поля в падающей волне. Если эта составляющая имеет заметную величину, то вгоричное излучение обусловлено 2-компонентой электрического днпольного момента. Остальными компонентами электрического момента и магнитным моментом можно пренебречь. Выбирая Ес в плоскости хс, получим 4~ 8 Ьв = 2 81п а81п'ддП, 9с 1п (Ь/а) Заы4Ь' 27с41пз(Ь/а) 422 Глава ГШ Если продольная компонента ЕО равна нулю, рассеяние обусловлено поперечной составляющей электрического момента и магнитным моментом, имеющими одинаковый порядок величины.
В этом случае 4Ь2 4 4п, = ы '1(1+2п 61па) +Зсоа~гз+ дс4 +пз(4 — 61п а)+8пасова+2п~и,61п2а~ 4(П, 27с4 ~ +5 /' где пз (1 = х, у, х) — компоненты единичного вектора, указывающего направление рассеяния. Сечения рассеяния неполяризованной вол- Рвс.
87 4 6 4 6 4 м Ь;„з .пгг 4ям Ь;„г 18641п~(Ь/а) 27с41п~(Ь/а) 464. Вектор ЕО поляризован в плоскости хх (рис. 87): гйг,и = о ° ( — ) [(1 — пз)сов а+ — (6+1)з(1 — п~~)к дс4 х 61п а — -(6+ 1)п и 61п2а] <И. 3 1 Вектор ЕО поляризован нормально к плоскости хгс 465. Полную напряженность электрического пола в некоторой точке пространства можно представить в виде Е(г, г) = ЕО(г,1) + Е'(г, 1). Здесь ЕО(г ф) = ~сев(к.г-ы4) 423 З 3. Дифраквид Х(г,г) = у ' е р[з()СЛ вЂ” шз)] с( Г Р(г',1) (2) (см. гл.
ХП, формула (ХП.13)) формулой с — 1 ехр[з)сг] Г Е' = госгоФŠ— 4яР = — госгоз8о 4я и / акр[э(1С вЂ” )сп) ° г ] аз' . (3) Разность 1с — йп представляет собою изменение волнового вектора при рассеянии; обозначим ее через «1 (2 = 2)с зш-, д — угол рассеяния). При о вычислении интеграла выберем полярную ось вдоль «1, тогда ехр[з(ц ° г')]и'г йг' ай = 4я з (4) При вычислении двойного вихря в (3) оставляем только члены, пропорци- ональные 1/г: ехр[йт ] г ехр[йт] Окончательно, для рассеянного поля Е' получим Е' = з 3 [и х (8о х п)]хо(ча) отгаз с — 1 ехр[йт] г 3(гйп о — с1а соз оа) чэ(яа) = з — — 3 —.ГзГгйа). (,та)з (да)з 'Метод, применяемый нри решении этой задачи, аншшгичен моголу Бориа в квшповой механике.
Последний широко применяется цри решении задач о рассеянии частиц квантовомсхаиичсскимн системами. — поле падающей волны, Е'(г, т) — поле рассеянного (вторичного) излуче- В каждой точке внутри тела (которое может быть неоднородным) вектор поляризации Р(г, к) пропорционален Е, а приближенно — 8о, так как рассеянное поле много меньше падающего (Е' « 8о) при (а — 1)/4в « 1.' Рассеянное поле Е' может быль выражено через вектор Герца 424 Глава ГШ Сравним выражение (5) с тем, которое имеет место при малых а (см.
задачу 460). Переходя в (5) к пределу да «1, получим шгоз в 1 еть1 Е' = — — [п х (8о х п)] —, сг 3 г (6) так как ~о(да) вв 1 при да << 1. С другой стороны, вычисляя Е' по формуле сыт в — 1 з Е'=пх(рхп) —, где р= — а8о сгг в+2 — статический дипольный момент шара, найдем шгав в — 1 е"'" Е' = — — п х (й'о х п) —. сг в+2 (б') В (6') вместо множителя 1/3 стоит 1/(в+ 2). Однако противоречия между (6) и (6') нет„так как (6) справедливо с точностью до 1/(в — 1). Дифференциальное сечения рассеяния 6„. (8,„) швов(е Цг 9с~ ~р (9а)(втп тт+ сов~твоея 8) (7) д=сов о. (8) Усреднение по поляризациям дает т(тт (8) ш а (в — 1) г( )( гр) 18с4 Рассмотрим еще случай очень большой сферы, т.е. Йа » 1. Если углы таювы, что и 9а » 1, то Эг(да) — + О, и сечение в этой области углов очень мало.
Из явного вида д следует, что да » 1 эквивалентно условию д » 1/ка; таким образом, если шар велик, то рассеяние происходит вперед в интервал углов д < 1/ка. (углы д и тт обозначены на рис. 85). Это сечение отличается от сечения рассеяния малой диэлектрической сферой ~см. ответ к задаче 460) заменой в знаменателе (в+ 2)г на 9 и множителем ш (9а), учитывающим интерференцию вторичных волн от различных элементов сферы. Поэтому степень деполяризации рассеянного света будет такой же, как в случае малой днэлектричесюй сферы: 425 з 3. Дафраячия 466. При ла ~ 1 функция уг(да), входящая в выражение дифференциального сечения (см. предыдущую задачу), заметно отлична от нуля толью в узюм интервале углов О < —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
