В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Нужно толью заменить магнитные величины соответствующими электрическими н наоборот. 438. Как было найдено в предыдущей задаче, в направлении магнитного поля могут распространяться с разными фазовыми скоростями две волны, поляризованные по кругу в противоположных направлениях. Поэтому волна„поляризация юторой, отлична от кругоюй, расщепитса на две волны, поляризованные по кругу. Так как фазовые сюростн этих двух юлн различны, сдвиг фаз между ними будет мешпъся от точки к точке, вследствие чего полярюация суммарной юлны будет различной в разных точках. Проведя вычисления, получим, что поляризация результирующей волны остается линейной, ио плосюсть поляризации повернется на угол г = = -()е+ — /с )х (эффект Фарадея). Величины /с+ и й. представляют собой волновые векторы двух волн с круговыми поляризациями н могут быть найдены из результатов задач 437 и 318.
В случае свабого магнитного поля получим Х=УНх, где юэффициент пропорциональности Ъ' носит название постоянной Верде. Если атомы вещества рассматриваются как гармонические осцилляторы, постоянная Ъ' примет вид: У= 2яезя юз игпзс (ыз ыз)2' где и = ~/е — показатель преломления в отсутствие магнитного поля.
439. Из соображений симметрии следует, что волновые векторы отраженной и прошедшей волн перпендикулярны к границе раздела. Обе эти юлны будут поляризованы по кругу в том же направлении, что и падающая волна. Амплитуда отраженной волны Нз = Но, где Но — ам- ~/е — ~/рЛ д ~/е+ ~/~~ = и плигуда падаквцей волны, е — диэлектрическая проницаемость, ц~г, и юмпоненты тензора магнитной проницаемости феррита (см. задачу 435). Амплитуда прошедшей волны ,/е+,(р Ь д, Знаки «+» и « — » соответствуют волнам с правой и левой круговой поля- ризациями.
Глава ГШ 440. Волновые векторы отраженной и прошедших волн перпендикулярны к границе раздела. Отраженная волна поляризована зллиптическн, полуоси эллипса (тГе+ /Р+д )(/в+ /д — дЭ' Направление Нг совпадает с направлением поляризации вектора Н в падающей волне. Прошедшая волна расщепляется на две волны с амплитудами Но~И Нс /е /в+ /д+д. /е+ т/й — д поляризованные по кругу в противоположных направлениях. Скорости их распространения различны (см. ответ к задаче 437).
441. Если длина волны много болыпе радиуса дисков и расстояний между соседними дисками, то искусственный диэлектрик можно рассматривать как сплошную среду. Электрическое поле падающей волны касательно к плоскостям дисков. Поэтому при отсутствии внешнего магнитного поля Нс поляризуемость диэлектрика будет иметь значение а = И)3„ 4аз где 13, = — — продольная (относительно плоскости диска) электрическая Зк поляризуемость диска, Ф вЂ” число дисков в единице объема. Продольная магнитная поляризуемость диска )3 равна нулю (см. задачу 390), поэтому магнитная восприимчивость диэлектрика т при рассматриваемом направлении магнитного поля волны обращается в нуль.
Наличие внешнего магнитного поля Нс приводит к эффекту Холла: электроны проводимости, создающие ток в квкдом диске, будут отклоняться под действием поля Но и создавать добавочное электрическое поле Ен, которое должно уравновесить отклоняющее действие магнитного поля. Это приведет к появлению добавочного электрического момента каждого диска, вследствие чего изменяются вектор поляризации среды н электрическая индукция. Чтобы вычислить это изменение индукции, удобно рассмотреть полную плотность поляризационного тока — в диэлектрике, а не ток в отдельном диске. 12. Плоские волны в аниютропныл и гиротропнык средах 407 В первом приближении по Но поле Ен, вызванное эффектом Холла, выразится в виде Ен = В(На х 3) = В(Но х — ), где  — постоянная Холла, Р = аŠ— вектор поляризации в нулевом приближении. За счет поля Ен вектор поляризации получит приращение (1Р = сеЕн = а В~Но х ® ~, з / дЕт благодаря чему индукция О выразится через Е и производную —: дЕ.
дг ' Ту = Е+ 4з(Р+ ЬР) = еЕ+ 4яа~В(Но х — ). (2) Здесь е = 1 + 4яФд, — диэлектрическая проницаемость прн отсутствии внешнего мапппного поля. При гармонической зависимости Е от времени уравнение (2) даст свшь между 13 и Е вида Э = еЕ+ 1(Е х и). где и = 4яазмВНо — вектор гирации (см. (ИП.25)). Таким образом, среда будет гиротропной. Как следует из результатов задачи 437, в направлении вектора н возможно распространение двух волн, поляризованных по кругу в разных направлениях и имеющих разные базовые скорости ол. = й~' Определяя )е~ обычным способом, получим Й~~ —— — (е ~ д).
сз 442. Волна, у которой электрический вектор параллелен проводникам, отразится от решетки, как от сплошной металлической плоскости. Волна, у которой электрический вектор перпендикулярен проводникам, будет распространяться как в свободном пространсше, потому по она не возбудит токов в решетке. 443. Будем искать решение уравнений Максвелла в виде плоских волн. Амплитуда Ео этих волн удовлетворяет системе уравнений 1с х Ео = с Но 1с х Но = — с е(ы)Ео Глава РШ В случае продольного электрического поля и х Ес = О, поэтому Но = О, в(ш)Ео = О. Из последнего равенства следует, что продольное электрическое поле может существовать, если в(ш) = О.
(2) Частоты продольных колебаний ш определяются этим уравнением и являются, как правило, комплексным, ш = ш — 17 . Это означает, что колебания, возникнув, будут затухать. Если выполняется условие 7« ч, ш , то затухание за период колебаний мало. Такие колебания будут долгоживущими. В случае плазмы с диэлектрической проницаемостью с(ш) = 1— ш(ш+ 17) (см. задачу 312) частота продольных колебаний шо = у ш + — — —. При 7 — 0 она совпадает с плазменной частотой: 7 17 'г' Р 4 2' 4яезйг шо=ш =у— — р — ~(1 Согласно формуле (3), частота ш не зависит от волнового вектора, поэтому групповая скорость продольных плазменных волн равна нулю.
Однако этот результат имеет место только в первом приближении и связан с тем, что не учитывается пространственная неоднородность электрического поля. Продольные плазменные волны представляют собою колебания облака электронов относительно облака ионов (последние в рассматриваемом приближении считаются неподвижными). 444. Е(л, з, 1) = Ео ехр[ — гв|х!+4()вз — шс)], ще частота ш определяется нз условия в(ш) = — 1: ш = шр/~/2.
Постоянная затухания а выражается через волновой вектор (в: в случае медленной волны а ~ а. Волновой вектор (г может иметь произвольную величину. Амплитуда Ео имеет компоненты Еср — — О, Ес, = = ~ — Ес, рв ~гЕс„где знак «+» соответствует х > О, а знак « — » облалй сти к ( О.
Таким образом, поляризация близка к круговой, причем вектор Е вращается в плоскости хз. Алппппуда магнитного поля Нс(0, Нс„, 0) мала по сравнению с Ео. Нор — — Ес,ш/йс ~ Ео„что характерно для плазменных колебаний. Рассмотренная волна называется поверхностной плазменной волной. 5 2. Ихосхие вохиы в аиизоерооиых и гиротроииых средах 409 445. Как следует из задачи 437, вдоль направления постоянного магнитного поля возможно распространение двух волн с правой и левой круговыми поляризациями. Волновые векторы этих волн определяются равенством (см.
задачу 321): йзсз М„ — =в~ — 1— м (ю + 47 т шн — ) При Пл « м влияние движения положительных ионов очень мало, их можно рассматривать как неподвижные. В обратном предельном случае Йп )) ы и 7ы « юнйп Роль положительных ионов становитса опРеделяющей: йзсз 'ао 4хЛгМсз иР миПн Нз Обе волны распространяются с одинаковой фазовой скоростью о, которая совпадает с их групповой скоростью оо. Ю с 1+ 4яХМсс~Но Но Но х/4~гММ ъ~4пт если можно пренебречь единицей по сравнению со вторым членом; здесь т = ИМ вЂ” плотность газа (очевидно, массой электронов можно пренебречь). Если бы движение положительных ионов не учитывалось, то вместо конечной постоянной скорости (3) при м -+ 0 получилась бы нулевая скорость, н соответствующие волны не могли бы существовать.
Таким образом, механические колебания газа и колебания электромагнитного поля оказываются в этом случае тесно связанными. Волны, распространяющиеся со скоростью (3), называются магнитогидродинамическими. Они играют большую роль в астрофизических и других процессах. 446. Линеаризованное уравнение, связывающее амшппуды высокочастотных состаюппощих намагниченности (гпо) и магнитного поля (Ьс), вытекает из (х1.15) и (И.16): могло = — у(Мс х Ьо) 7(пто х Нс)+791е (Мо х гпо). (1) Здесь Мо — намагниченность насыщения, совпадающая по направлению с мапппиым полем Нс.
Выбрав ось х = хз вдоль Нс, определим с помо- 41О Глава ГШ шью (1) компоненты тензора д и'. ы ( и+пй') дп — дзз — + ( йз) (2) ахам гзгз = — Рщ = — 1 (ыо+гггг ) -ы глаз = 1 где ыо = 'уНо ым = 4я'~Мо Амплитуды полей и намагниченности удовлетворяют системе уравнений: с(1с х Ьо) = — мвЕо, с(1г х Ео) =м(Ьо+4япзо), Ь (Ьо+4тпзо) =0 (2) и ~пзо = — 7(Мо х Ьо) — у(пьо х Но)+'щйз(Мо х гпо) (3) Искшочаа Ео и Ьо из (2), (3) и вводя обозначения — — — И = во+ «~1+ ам, шм ы сгг () () й /в ыо = '~Но ыг = 7Ф л4о, ым = 4я7Мо, 3 получим ккпъо = " [хз(е, х гпо)+ С~(п пъо)(е, х п)) + (1 — и)(е, х гпо), (4) кз ьвз где и = —, о, — единичный вектор в направлении Но (Мо параллелен Но).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
