В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Радиальная Тогда, поскольку 61тА = О, что спедует из формул (2) и (3), будем иметь — = — ко~р = О, так что Е = — 1 — = — А. Поэтому А будет удод~ 1дА кл д1 сдг с впетворять такому же уравнению, как и электрическое поле (см. (УП.12). Решением этого уравнения, ограниченным при т = О, является функция Бесселя: Е(т) = С71(йт), Аг = С7ъ(йт) вша.
(4) Постоянные С и т в (4) и (2) определяются из условия равенства внутреннего (Нз) и внешнего (Нз) полей на границе цилиндра: Н1 = Нз при т = о. Использовав (П 3.9), получим 373 $ 2. Вихрееме токи и скин-эффект зависимость плотности тока такал же, как в случае цилиндра, находящегося в продольном поле, и была исследована в задаче 380. (Однако нужно иметь в виду, что в случае продолъного поля токи текут по окружностям в плосюстях, перпендикулярных оси цилиндра, тогда как в случае поперечного поля они текут вдоль оси цилиндра.) 384.
Среднее тепловыделение на единицу длины цилиндра проще всего вычислить по формуле (УП.17), рассмотрев поток энергии, втекающий через боювую поверхность цилиндра. Использул результаты задачи 383, получим асгНг 7' 7г(йа) ~ ~ 7о(ка)7 Тот же результат получится с помощью формулы (ЧП.16), причем при интегрировании произведения функций Бессели нужно использовать формуу (П323). 385. Для определения вращательного момента нужно знать электрическое и магнитное поля внутри цилиндра. Их можно найти тем же способом, что и в задаче 383 для линейно поляризованного внешнего поля: 2Но3г (кг);,7((7ег) гсйНо,71 (7ег) 7о (7еа) Сила, приложенная к единице объема цилиндра, вычисляется по формуле Г= Б(зх Н) (2) (считаем, что внутри цилиндра и = 1).
Радиальная компонента этой силы вызовет радиалъно направленное давление, азимугальная компонента создает вращательный момент. Поскольку 3 и Н вЂ” юмплексные величины, среднее значение азимутальной составляющей силы выразится так: У. = — 'П (7'.Н„'). (3) Вращательный момент, действующий на единицу длины цилиндра, получится путем умножения средней силы (3) на т и интегрирования по сечению 374 Глава 177 цилиндра.
Интеграл вычисляется с помощью формулы (П3.13). В резуль- тате получим (4) Этот же результат получается другим путем. Момент сил можно выразить через мапппный момент системы по формуле Х(1) = пъ(1) х Но(1). Определяя Ж, = Ж через комплексные амплитуды Нс и пз, а пз — через поперечную мапппную поляризуемость цилиндра (см. задачу 383), приходим к формуле (4). При малых часппах из (4) получим 4 ггг у 1 аН0 ггоы гв 00 =4' бг = 4г (6) а при больших частотах (7) 386.
Наряду с неподвижной системой отсчета, у которой ось з совпадает с осью цилиндра, а ось л — с направлением внешнего поля Нс, рассмотрим систему координат с, ц, я, вращающуюся вместе с цилиндром. В этой системе юординат внешнее магнитное поле запишется в виде Но(С) = (Ног — 1Ног)е '"'. Здесь Ног и Ног — постоянные векторы одинаковой длины Ног = Ног = = Но, имеющие направления координатных осей с, г1. Поле такого вида Из этих формул видно, что вращательный момент исчезает в обоих предельных случаях очень малых и очень больших частот. Если поле поляризована линейно, средний вращательный момент равен нулю (формально зто следует из того, по интеграл по гг обратится в нуль при вычислении Ж; см. задачу 383, в которой найдены,1 и Н для этого случая).
Таким образом, вращательный момент создается «вращающимся» полем. Явление, рассмотренное в данной задаче, лежит в основе устройства асинхронного электромотора. 375 $ 2. Вихрееме июни и скин-эрфетои 387. В задаче 379 было показано, по вихревые токи, возникающие в цилиндре при изменении внешнего продольного поля, не создают добавочного магнитного поля вне цилиндра; во внутренней области создаваемое ими поле продольно и зависит толью от г. Это поле будет удовлетворять уравнению д Н 1дн 4я дн г дг сз дт Очевидно, что магнитное поле внутри цилиндра будет затухать со временем, Поэтому частные решения уравнения (1) будем искать в виде Р(г)е ", где 7 ) Π— постоянная. Для У(г) получаем уравнение Бесселя: Р'н(г) + — „Г'(г) + И~Р'(г) = О, (2) где 4идот с Ограниченное при г = О решение уравнения (2) имеет вид Р(г) = = СУо(кг).
Поскольку внешнее поле Нс выключается, а добавочное поле, соэцаваемое вихревыми токами, вне цилиндра равно нулю, на границе должно выполюпься условие Н~ = О, т. е. ус(йа) = О. Отснята находим й а = Д, т = 1,2,..., где Р— нули фувкции,Уо. Возможными значениями 7 будут сзд' 7м = 4кдоа (4) Общее решение уравнения (1), соответствующее рассматриваемой краевой задаче, запишется в виде Н(г,г) = ~С Хс(й г)е было рассмотрено в задаче 385. Создаваемый им вращательный момент (который в данном случае будет тормозжцим) равен 37б Глава 177 Коэффициенты С определятся из начального условия Н(г,0) = ~~~ С~Ло(й,г).
(б) Воспользовавшись свойством ортогональности функций Бесселя: ХУо(й я) уо(кля)ак = — [7о(~ )] б о (7) получим О С,„— Н(г, 0)уо(й„, г)г г(г. а [,Уо(й а)~ Д (8) В начальный момент времени поле Н(г,0) равно внепшему полю Но, так как постоянное магнитное поле не искажается, если в него поместить бес- конечный цилиндр, ось мзторого параллельна полю. Использовав форму- лы (П 3.12), (П 3.9), найдем 2Но (Й а)эг()в а) Скорость затухания поля будет определяться наименьшим из значений 7,л, т.е. уи Его можно получить, подставив в (4) значение наименьшего корня функции Бесселя 131 2,4. Время затухания поля г = —, 1 71' 388.
Магнитное поле внутри шара в нулевом (по частоте) приближении было найдено в задаче 281: н= н. 3 1л+ 2 Электрическое поле внутри шара в этом же приближении, как следует из уравнения (УП.11), оказывается равным нулю, так как постоянное магнитное поле не создает электрического поля. Для определения электрического поля в следующем (линейном по ш) приближении используем уравнение (УП.10) в интегральной форме. Из свойств симметрии системы ясно, что токи в шаре будут течь по окружностям в плоскостях, перпендикулярных Но, так же будет направлено электрическое поле.
$ 2. Вихрееме моки и сики-здфеим Выбрав сферическую систему координат с осью з вдоль Но, получим Е = гюпд, з' = аЕ, йеН 2с (2) где Н определено равенством (1). Выделяющееся в шаре тепло Я найдем, интегрируя 9 = уг~Е~~ по объему шара: Зя азсиР Но без(д+ 2)з (3) 389. Вне шара магнитное поле: Зг( ° г) Н=Н + „з,.з ' где пт = — — а Но, )з' = — — а — магнитная поляризуемость шара при силь1з .
1з 2 ' 2 ном скин-эффекте. Внутри шара: — 3 О Об а Не = — 2Ное ~зшд, Н~=Н =О, где з отсчитывается от поверхности по нормали в глубь проводника, поляр- ная ось сферической системы координат направлена вдоль Но,' За с )~Д~ Нз 8 'у' 2яс о' госЕ = О, д1тЕ = О и граничным условиям Еи ~ з — — еЕ„г,р ~ з = О, Е1„~ — ~ Ео. (2) 390. В случае сильного скин-эффекта поле внутри эллипсоида равно нулю, а во внепжей области удовлетворяет уравнениям гос Е = О, б1т Е = = О и граничным условиям Н„) = О, Н)„, где Но — внешнее поле и через Е обозначена поверхность зллипсоида. Сравним эту задачу с задачей о диэлектрическом эллвпсоиде с е = О, находящемся в однородном электрическом поле. Элекгрическое поле вне таюго эллипсоида будет удовлетворять уравнениям 378 Глава 177 90) 1' 4п(1 — пйб) (3) где п(Π— соответствующий коэффициент деполяризации, )г — объем эллипса ида.
Для сильно вытянутого зллипсоида вращения с полуосями а, Ь » а (стержень) имеем (см. задачу 198): )гг = — -а Ь, )г1 = — — а Ь. 2г 1г 3 ' 3 Для сильно сплюснутого эллипсоида (Ь « а, диск): )Уз = — —, фг = — — а Ь-+О приЬ вЂ” +О. 2аз 1 г Зт' 3 391. Вследствие аксиальной симметрии системы шар + внешнее поле, распределение вихревых токов в шаре и электрическое поле также обладают аксиальной симметрией. На этом основании можно утверждать, что электрическое поле будет иметь только одну составляющую Е, которая не может зависетьотсп Е =7(г,д). Ищем решение уравнения (УП.12) для полного электрического поля Е в виде Е = Г(г) вшд, Е„= Ее = 0 Пользуясь выражением для лапласиаиа вектора в сферических координатах, полученным в задаче 47, найдем уравнение для Г(г), которое подстановкой Е(г) = — сводится к уравнению Бесселя.
Его решением, ограниченх(г) ~/г ным при г = О, будет 1г(г) = А Уз(йг). г Магнитное поле внутри шара определится из уравнения (У11.10). Магнитное поле во внешней области будет складываться из внешнего поля Нс и поля Условия для касательных компонент Е можно не рассматривать, так как соотношения (1) и (2) однозначно определяют вектор Е во внешней области. Мы видим, что рассматриваемая задача о проводящем зллнпсоиде, при сильном скнн-эффекте формально совпадает с задачей о диэлектрическом зллипсоиде, у которого е = О.
Полагая в формулах, приведенных в ответе задачи 200, ег = О, получим магнитные поляризуемости в направлении главных осей эллипсоида: 380 Глава 177 так как а » о, то . ь Н'= (1 — 1) — е в Но, Но » ~Н ~. — (1+а)— 2а Сильное ослабление поля получается за счет того, что вихревые токи, воз- никающие в оболочке, создают в полости добавочное поле обратного на- правления. 21Уодти вЫс(Ь вЂ” х) 396.,2' =, °, где х отсчитывается от поверхности осйа сЬ ЬЬ по радиусу в глубь проводника; в11 2Ь/6 — в1п 2Ь/Ю Н— 2каба 2(в)1~ Ь/3+ аэвз Ь/3) Полый и сплошной проводники имеют одинаковое сопротивление при б « Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
