В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Приведя (1) к виду (2), получим р = — °, о = — — ° —, ть — — -Цып;. даден, 1 дде„ (3) 2 дх,дхь' 2 дх; ' 2 Таким образом, квадрупольная поляризация эквивалентна объемным зарядам р внутри диэлектрика, поверхностным зарядам о' и двойному электрическому слою с мощностью т' на поверхности диэлектрика. Посюльку 334 Глава $7 плотности объемных и поверхностных зарядов в диэлектрике связаны с вектором поляризации формулами р' = — г)1т Р', а' = Р„'„то из (3) следует, что квадрупольная поляризация эквивалентна дополнительной дипольной поляризации 1 дЩ~ 2 дх. и двойному слою с мощностью гь. Формулы (3) можно получить также из рассмотрения энергии диэлектрика, обусловленной квадрупольной поляризацией.
1 ж *--,'~1+в*+в(1~';*+*')1 . где х = 4яЖ)3. Поляризуемость )3 для полярных веществ в слабых полях дается формулой где р — дипольный момент молекулы, Й вЂ” постоянная Больцмана, Т— температура При х « 1, когда отличие действующего на молекулу поля от среднего полл становится очень малым, е = 1+х =1+4яЖ~3. 307. Полная магнитная восприимчивость равна сумме парамагннтной и диамагнитной восприимчивостей (см. 110Ц): Фп~Р Жез гз 3ВТ бглсэ Входящий в эту формулу магнитный момент одного ротатора аг может быть вычислен следующим образом.
На основе известной теоремы имеем пт= — К, е 2гпс где К вЂ” момент количества движения частицы. В случае ротатора К связан с кинетической энергией формулой (3) З 1. Поляризации вещества в яостиоянном поле 335 Поэтому среднее статистическое значение Кз выражается через среднюю кинетическую энергию: Яеу ер 111 = 1тое ьт', п = поеьг, где тр(х, у, л) — электростатический потенциал. Множители перед экспонентами выбраны так, чтобы при Т е оо, когда взаимодействие частиц становится несущественным, Ж и п переходили бы в Жа и по. На основе (1) плотность заряда запишется в виде лете еи р = л етт — еп = е(ядГое ьт — псе от ) .
(2) Потенциал тР должен быть определен путем решения уравнения Пуассона: Хетт ете ЬтР = — 4яр = — 4яе(Е11(ое ьг поеьг) (3) Чтобы решить зто уравнение, используем условие малости энергии взаимодействия по сравнению с тепловой энергией: Разлатая экспоненты в ряд с точностью до членов, линейных по у, и ис- пользуя условие злектронейтральности газа ЯХа = цо, получим зез з 4яез(л зтт'о + па) Р— 4я'Р' (4) 'Подробнее об этом см., например, [701.
К2 — 2пюзНгь (4) Но средняя кинетическая энергия йгь может быть найдена по теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Поскольку ротатор имеет две степени свободы, В'ь = 7еТ. Подставвш (4) и (2) в (1), находим 7г = О. Этот результат находится в соответствии с общей теоремой, согласно которой полный магнитный момент тела, подчиняющегося классической статистике, равен нулю.
Отличный ат нуля магнитный момент получается только в том случае, когда делается предположение о существовании дискретных электронных орбит в атомах. Но такое предположение означает выход за рамки классической теории'. 308. Концентрации, ионов (зтт') и электронов (п) определяются по формуле Больцмана (И.б): 336 Глава $7 Это позволяет записать уравнение (3) в виде Ь~р = мзу. Потенциал 1а может зависеть только от расстояния г до рассматриваемого иона.
Сферически симметричное решение (5) имеет вид «" е«г ~р = Сг — + Сз —. г т Потенциал не может возрастать на бесконечности, поэтому Сз = О. Сг определяется из условия, что при г с. — потенциал должен переходить в чисто 1 кулоновский потенциал рассматриваемого иона: Сг = Уе. Таким образом, ион окружен «облаюм» электронов и других ионов, плотность юторого убывает по экспоненциальному заюну, а средний радиус 1/лв тем меньше, чем ниже температура.
Рассмотренный в этой задаче метод вычисления потенциала принадлежит Дебаю и Хюккелю и применялся ими в теории сильных электролитов. Константа 1/лг называется радиусом Дебая — Хюккеля. 309. Электрическая индукция внутри пластинки описывается формулой Р~ ) Ео сЬхх сЬ лгл ' где и = ~ ~. При вгЬ ~ 1 имеем вблизи поверхностей х = хй в'«Т Р( .) Е -«(6-(~!). отсюда следует, что при (х — Ь) ~ —, Р(х) = О, т.е. поле проникает 1 в проводник на глубину 1/».
В слое таюй же толщины юнцентрируется заряд 1 дР мЕс «О, ~,О 4я дх 4я Плотность «поверхностного» заряда, которая рассматривается в макроскопической теории, получается интегрированием р. На границе х = )г получим а= рИх= — — 1 е 4х = —, лгЕо Г «в Ео 4я,/ 4я' о 5 2.
Поляризация ееи~еетео е оеремеииои иоле 337 что совпадает с обычным граничным условием на поверхности проводника. 310. у=ус~, и= е ей хй' т' ейТ Значение мз в данном случае получается вдвое большим, чем в предыдущей задаче, так как имеются два сорта подвижных ионов. й 2. Поляризация вещества в переменном поле Л»1, Л»а, где 1 — среднее расстояние между сферами. Пренебрегать отличием действующего пола от среднего можно лишь при малой поляризуемости среды (т.е. при 4я Жаа « 1). 312. Уравнение движения электрона запишется в виде тг+Ог = еЕое ю'. Ею частное решение, соответствующее вынужденным колебаниям, имеет вид еЕое т(ыз + 1 уы) где 7 = —.
т' Днпольный момент единицы объема получим умножением г на заряд электрона е на число часпщ в единице объема Л, после чего определяются полярнзуемость среды а(ы) и диэлектрическая проницаемость е(ы): е(ы) = 1+4та(ы) = 1 — ", ыи — — ~ . (2) ы + г-~ы С помощью уравнения (1) и закона Ома найдем связь между удельным сопротивлением р и коэффициентом бс 1 9 Рш а ъгез ' (3) 311 е = 1+4яЯаз д = 1 — 2яЯаз < 1 Такой диэлектрик является диамагнитным.
Проницаемости е и д не зависят от частоты вследствие предположения об идеальной проводимости сфер. Для того пабы искусственный диэлектрик можно было рассматривать как сплошную среду, должны выполняться условия 338 Глава $7 Этот же результат можно получить путем сравнения диэлектрической проницаемости (2) с комплексной диэлектрической проницаемостью (ЪТП.8), выраженной через проводимость: (4) в+в ш Отделяя в формуле (2) вещественную и мнимую части, находим г егЖ (5) г+,„г' „( г+,г)' Из формул (5) следует, что е' и о зависят от частоты.
При ы «т они принимают свои статические значения г М„ ег)у е'=1 — — <1 и= —. игу ' Как следует ю (4), (5), юмплексная диэлектрическая проницаемость проводящей среды при малых частотах (ш — О) обращается в бесконечность. При больших частотах она принимает вид г Ю, е(ы) = в'(ы) = 1 — —. , г' Такая зависимость в(ш) при больших частотах справедлива также и для диэлектриюв. Оценим порядок величины т = щ для меди (проводимость в статиче= ч сюм случае н = 5 10'" сек '). Из формулы (3) следует: 5/ег Фое в( 7 — — = — 3 сгтпА ' где Мс — 6 ° 10гзмоль ' — число Авогадро, А — 68,5в/мааь — атомный вес и И ю 8,9г/смз — плотность меди. Оценка дает Т вЂ” 10+~всек ~; для сравнения укажем, что видимой части спектра соответствуют частоты ш 10га сек г.
Таким образом, в этом случае можно считазь, что проводимость сохраняет значение, которое она имеет в стационарном случае, вплоть до частот, лежащих в инфракрасной области спектра. Однако нужно иметь в виду, 4 2. Поляризации вещества в иерененнам иоле 339 что при высоких частотах, югда длина свободного пробега электрона становится сравнимой с глубиной проникновения поля в металл, начинают сказываться эффекты пространственной неоднородности поля и микроскопическая величина е (диэлектрическая проницаемость) теряет смысл. (Подробнее об этом см. [34, 661, б 67.) Полученные в этой задаче результаты в ограниченной области частот применимы к металлу, а также к полупроводнику и к ионнзованному газу (плазме), если движением положительных ионов можно пренебречь. Вычисление дизлектричесюй проницаемости плазмы с учетом движения положительных ионов см.
ниже в задаче 321. 313. Молекулы диэлектрика не обладают сферичесюй симметрией, поэтому внешнее поле Ео частично ориентирует их, и диэлектрик в целом становится анизотропным. При этом ориентирующим действием переменного поля, в силу условия У «Ес, можно пренебречь. Поскольку причиной анизотропии является внешнее электрическое поле Ес, одна ю главных осей тензора днзлектричесюй проницаемости будет совпадать с его направлением, остальные две главные оси будут перпендикулярны Ес. Обозначим юмпоневты поларюуемости молекулы в этих осях через )3,'ь (значения в, )с = 1 соответствуют оси, параллельной Ео).
д,'ь выразятся через,9® по обычной формуле: 4а = сливе Я = (Р Р )аааьг + Ф Аь где сги — юсинусы углов между осями симметрии молекулы и главными осями тензора диэлектрической проницаемости (использовано соотношение сгпсгы = био вытекающее из ортогональности матрицы оль). Чтобы подсчитать тензор диэлектричесюй восприимчивости для единицы обьема диэлектрика, нужно найти с помощью формулы Больцмана статистические средние величин Д,'-ь, т.е. усреднить проюведение сгмсгь1. Если обозначить полярные углы оси симметрии молекулы в штрихованной системе через д, ~р, то величины ам запишутся так: сг11 =осад| сг12 = 81пдсояф~ щз = в1пдаш Проводя усреднение с помощью формулы Больцмана (как в задаче 302), (до — ЯЕо .
получим с точностью до членов, линейных по а = 3( 15 )' ш ~~ 3( 15 )' сигаьз = 0 при 1 ЭЬ )с. 34О Глава $7 ())о и,8' — статические значения тензора поляризуемости молекулы). От- сюда Я = -()5 — )2')(1+ — а) +)т", Д~ — — ф~ — — -()5 — )г )(1 — — а) +)2'. Пренебрегая отличием действующего на молекулу поля от среднего, полу- чим главные значения тензора диэлектрической проницаемости: (') =1+4 д)~ в(2) =в(з) =1+4 рГ~' Этот результат показывает, что в сильном постоянном электрическом поле диэлектрик становится анизотропным по отношению к высокочастотным (например, световым) колебаниям. Возникновение анизотропни под действием постоянного электрического поля носит название эффекта Керра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
