В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Если направить оси координат вдоль главных осей тензора магнитной проницаемости, то внутри шара компоненты поля будут равны 3 Ною где Но — внешнее поле. Вне шара ,<н>+ 2 326 Глава и 289. Магнитное поле Н = гас А, А,= — — т + дг.р з 2дг Вото1па 4яаз Иг + Из Из а а Г 1зг Из азт А, = — 1п — + ~1+ ° — )Вотыпгз 2я т ~,иг + дз тз! при т ( а, при т > а. Ось з направлена вдоль оси цилиндра; остальные компоненты А равны нулго. 2.У~аз(Гз — 1) с'6(6 — а') (Гз + 1) 2-я 6(0 — ц сз(а -6 )(д+1) 299. Н;= 1 2лззг дзГзз ,ы, ГзгГззаз+ дзГззаг + фгГззаз где Но — поле, которое создается тем же током в вакууме.
291. Во внешней области нндукция В и мапппное поле Н связаны обычным соотношением Вз = дзНз. Внутри шара, согласно (Ч.27), Вг = = )згНг+4яМо, где Мо — постоянная намагниченносп . Вводя скалярный потенциал, как в задаче 281, получим г)зз =— пз ° г тз фг = — Нг.г, 4яМо 4яа Мо 2)зз + )зг ' 2)зз + )зг ' 292. Поле внутри цилиндра: 4яМо до+ дг Таким образом, поле внутри шара однородно, а вне шара совпадает с полем магнитного диполя с моментом пь 327 Постоянное магнитное поле Поле вне цилиндра: 2г(тп ° г) зп Нз = гл гз где Мо — постоянная намагниченность, гп = 4»а Мо пз+п1 ' 293. Поле внутри шара: 3 Н 4лМо 1л + 2 о 1л + 2 ' Поле вне шара: Зг(гп г) пз Н,=Н,+ Жз = езыхь7)т г)$т, Я (2) где 2) — тензор натяжений (У.26), еем — единичный антисимметричньзй тензор, интегрирование ведется по внешней поверхности магнита. Подставляя (У.26) в (2) и переходя к векторным обозначениям, получим Х = — (г х Нз)(Нз ° еБ) — — Нз~(г х сБ).
(3) 4л,) бл „( Так как начало отсчета выбрано в центре шара, то г и сБ имеют одинаковые направления, и второй интеграл в (3) обратится в нуль. Для вычисления первого интеграла положим Ж = пеИ = па ай, г = ап и подставим Нз из (1). Это даст н- 1 /й(»г+ ](» + ~, )т. (4) 4ла'Мо+ И вЂ” 1 зН ;ы + 2 1л + 2 Так как внешнее поле однородно, то результирующаа сила, действующая на шар, равна нушо. Ко если направления Мо и Но различны, то на сферу будет действовать момент сил. Его можно рассчитать с помощью тевзора натяжений магнитного поля. Момент сил, действующих на постоянный магнит, определяется формулой 328 Глава Г Переходя снова к проекциям, получим Н; = азе1ЫНо1Нс 'ба + 2е~МНо1тлйапл+ + е ытьНв „гчп,„+ — егытьтлйлпл.
(5) 2 аз С помощью соотношения пьп = -бь (см. задачу 32) найдем, что два нз четырех членов в правой части равенства (5) обратятся в нуль, а остальные дадут (6) Х = пз х Но или оюнчательно, если выразитып через постоянную намагниченность, Х МохНо. 4яаз д+2 (7) Как видно из этой формулы, индуцированная часть магнитного момента ~ — а Но) не дает вклада в результирующий момент сил. гд — 1 з ~а+ 2 Ни = Ноь — 4яХыМ~ где М вЂ” вектор намагниченности, Жм — коэффициенты размагничивания (компоненты тензора размагничивающего действия формы). Главные значения этого тензора обозначены в задаче 197 через п00 и называются там юэффициентами деполяризации.
296. Формула, приведенная в ответе предыдущей задачи, остается справедливой и в случае анизотропного магнешка. Имеет место еще одно соопюшение, связывающее М и Нг. Н|ь+ 4яМа = джан. 294 р 3 Д вЂ” 1 т (1+сов В) ьг Д вЂ” 1 т в1оВссвВ г еа— 16 а+2 ал р+2 8ав расстояние от магнита до плосюсти,  — угол между гп и нормалью к плосюсти. При )г ~ 1 (мягкое железо в слабом маппггном поле) получим такой же резузьтат, как в случае электрического диполя, находящегося вблюи металлической плоскости (см.
задачу 148). 295. Исюмые величины можно получить путем замены в ответе к задаче 201 электрических величин на соответствующие магнитные. В частности, прн произвольном выборе координатных осей внутреннее поле Нг в эллипсоиде запишется в виде 329 Постоянное магнитное поле Из этих двух формул получаем Н., = ЬЬ„Н,„, ЬЬ» = бм» 1)(ат + 1(И(Л(т. Ни = Ьь„Но где Ь~„~, — компоненты обратного тензора.
Они могут быть определены с помощью формул, полученных в задаче 11. Рассмотрим один частный случай. Выберем оси координат вдоль главных осей эллнпсоида. Если теизор (л(ь имеет в этих осях диагональный д() О О р.ь = О д(и) О О О д() то теизор Ьга будет диагональным, поэтому и обратный теизор Ь,„( также будет диагональным: [1+))((и)( (и) 1)) О О Ь(й = [1+ ))((и)( (и) Ц1 ( О О [1+))((*)1л( )-1')1 ' ГЛАВА У1 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА $ 1.
Поляризация вещества в постоянном поле 2Р7 )У Зов 4 Если заряд электрона распределен равномерно внутри сферы с радиусом ао то )у = аоз.' 299. Из симметрии молекулы очевидно, что одна ю главных осей тензора поляризуемости будет совпадать с осью молекулы, а две другие оси могут быть выбраны проювольно в плоскости, перпендикулярной оси молекулы. Поэтому из трех главных значений тензора поляризуемости толью два будут различны: )3(т), )3® = )т®. Для их определения нужно отдельно рассмотреть следующие случаи: а) Внешнее поле направлено по оси молекулы. Очевидно, что индуцврованный дипольный момент каждого из атомов будет направлен вдоль внешнего поля. Обозначив зти моменты соответственно через р' и р", получим для их определения два уравнения р' = ))т(Е+ Е'), рп = )?" (Е+ Еп), где Š— внешнее поле, Е' и Еп — дополнительные поля, вызываемые в центре каждого ю атомов присутствием другого атома.
Поля Е' и Еп можно выразип через дипольные моменты соответствующих атомов„воспользовавшись формулой для напряженности поля, создаваемого диполем с моментом р и учитывая, что все векторы направлены юдоль оси молекулы. ' Мсдеиь, рассмотреннм в иой задаче, оченыруба и позвошмт получить лишь порвдвовую опенку. Точный квантовомеваинчесаий рвсчет дает ллв водорода д = -аоа. 9 а 2 $ 1. Поляризация вещества в постозппом поле 33) Определяя затем р' и ро из системы (1), с помощью формулы р = р'+ ро = = )з(з) Е найдем д(з) 2(аз + 2)З') 1 2(аз + 2)уп) )3' аз(аз+ 29е) ~9' аз(а + 2)у) б) Внешнее поле перпендикулярно оси молекулы.
Аналогичным путем получаем В(з) 9(з) 1 + 1 )у + аз(аз )у ) )у' + аз(аз;у) При )У' = )эп выраженим (з(г) и )э'(~) упрощаются: Средняя поляризуемость д 1(„~()) + д(з)) 2 у 1 + 2 3 3 2~У ~3' 1 — — 1+— 361. а) Диэлектрик в целом будет анизотропным. Главные значения тензора поляризуемости диэлектрика (ср. ('Л.4')): б) В случае беспорядочной ориентации молекул в макроскопическнх обьемах диэлектрика не будет никаких физически выделенных направлений, кроме направления внешнего поля. Поэтому средний дипольный момент молекулы р будет пропорционален действующему на молекулу полю 8: 2 9! 2Д' 1 —— аз указ) 41г А(р(е) 2Д' + з д' Глава $7 ззг С другой стороны, имеем, очевидно: р; = Аьд = Аьдь где усреднение производится по макроскопическому малому обьему.
Из сравнения двух последних формул следует, что 1З = 1З„= Цз = 1Зз., Ц = б ( Р ' ~ й) Таким образом, в=1(в тжтв ). Но сумма диагональных компонент тензора есть инвариант, равный сумме главных значений )3® + р(з) + )З(в) (см. задачу 9). Поэтому 1(91В+„З(з) + З(з)) 3 Коэффициент поляризации диэлектрика а связан с )З обычной формулой ('ЛА'). 302. Если осъ молекулы ориентирована под углом д к направлению внешнего поля Ес, то энергия молекулы запишется в виде И~ = — -р Ес = — -(Асов д+дзвш д)Ес. 1 1 2 ° 2 2 г Число частиц в единице объема, оси которых направлены под углом д относительно Ес, дается формулой Больцмана (т'1.6). В условии нормировки (У1.7) величина Ф должна иметь смысл числа частиц в единице обьема.
Вектор поляризации определяется формулой Р = Жр, где р — усредненный по распределению Больцмана днпольный момент одной молекулы. Поскольку в отсутствие поля молекулы ориентированы хаотически, р будет иметь направление внешнего поля. В соответствии с этим вычисляем величину р по формуле Ев 1 ехр ( — — ) ()З1 сжз д + )Зз вшз д) вш д а6 И~(д) 1 1 в Ф=,~ 1Р1 И'(д) 1 ехр( — ) в!иди о где через р1 обозначена компонента дипольного момента молекулы, параллельная полю. По условию задачи поле — слабое, поэтому достаточно $ 1.
Поеярнлтат вещества в постоянном поле ззз 031 — ЫЕО учитывать только члены, линейные по а = « 1. Использовав 2йТ далее формулы Р = Фр = сеЕо, получим окончательно 3 ~ )[ 15 МТ Как видно из этой формулы, зависимость между Р и Ео получается нелинейной, и се не является коэффициентом пропорциональности, не зависящим от Ео.
Оценим величину поправочного члена пои обычных температурах (Т = ЗООК). Считая д1 — )уз порядка 10 з смз, получим 10в. Таким образом, этот член мал, если Ео « 10зв/см. А — дз Пренебрегая поправочным членом, получим для се прежнее выражение: — 3 (см. задачу 301). 305. Дополнительный потенциал, обусловленный квадрупольной поляризацией диэлектрика, запишется в виде 1 )' дз(1/Я) ~Р=-/' 2 ./ дхедхь Яеь Ж где  — расстояние от точки наблюдении до элемента обьема е(е', а интегрирование ведется по обьему диэлектрика. С другой стороны, потенциал объемных и поверхностных зарядов в общем случае имеет вид ~-/ — и +) — ее+) '.л( — )ее, О) где р' — плотность объемных зарядов, о' — плотность поверхностных заря- дов, т' — мощность двойного слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
