В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Удобно направить юор- 1 2 динатные оси вдоль главных осей теизора Д~ тогда 1|' = — -фООЕ~ + + 11(к) Екз + )ЗООЕз). Отсюда видно, что если 1З(*) > Р(") > д(л) > О, то минимум 1| имеет место, когда Е 1 х; если же Ф*) < )3(к) < В(') < О, то минимум получается при Е 1 л. 170. Ось стержня и плосюсть диска стремятся установиться при вг > кз параллельно направлению поля, а при сг < сз — перпендикулярно. 171. Р = в й 2 и 3' ПРИ Яз < кг пРоисвз — в| з 1(1+1) Гги+' 1 О йп + (1+ 1)вз а"+в ходит притажение, при ез > ег — отталкивание. В случае проводящего шара ег — оо. Суммируя геометрическую прогрессию, найдем энергию 281 $ 1.
Оеноеные ионитии н молоды эееюироотатиии взаимодействия ГГ = — ...откУда у~В 2ез(В~ — а ) 2ез(аз — )тз)з (ср. с задачей 161). Сделаем некоторые замечания к вычислению силы с помощью формулы (Ш.16). Рассмотрим величину У' = — [ (ез — ег)Е ° Ег г))гг. Обьем Ъ" 8л ограничен сферой Я, бесконечно близкой к поверхности диэлектрического шара и находящейся целиюм внутри него. Интеграл, входшций в выражение У', лишь на бесконечно малую величину отличается от потенциальной энергии У взаимодействия точечного заряда с шаром.
Введем вместо напряженностей суммарного поля Е и поля точечного заряда Ег в однородном диэлектрике ез соответствующие потенциалы и вынесем постоянную величину (ез — ег) за знак интеграла. Тогда у' = ) ~у ° ~ггог гйг'. ггпу Применив формулу Грина [ ту~р гучгг г(Ъ' = у — гБ+ [ уЬгог г)Ьг, и восдхг ди пользовавшись тем, что внутри шара Луг = О, найдем для У следующее выражение: ез-ег зг 1 язг+г У= оУ ез ~.г (е + (1+ 1)е Я+3 Оно совпадает с выражением, получающимся нз формулы (2) задачи 166. Отсюда для й' получим приведенное выше значение.
173. о=х — =х и и и и и э,гдеЬ= 4л л[(х~ — К~ — Ь ) +4х~н~~ аэс/а~ — 4Я~ Начало координат находится в центре отрезка, соединяющего оси цилиндров и выбранного за ось х. 282 Глава Ш 175. Если оси х, у, л параллельны главным осам тензора е,ы то е' е ~хз Р 221 ~а(х,у,л) = — = — + — + — . (1) — — .$-.$;я-.(.-у ~,х) Вх,х~ При произвольной ориентации юординатной системы формула (1) запишется в виде х(г) = ~Е ьДЕ 1, ХОХь где ~егь ~ — определитель тензора еоь 17б.
Е=Š— ' ' и. 0 е,„,гав 177. С = 41га ' где л — координата, нормальная к пластинам конденсатора. 178. Если выбрать оси х, 2 в плосюсти ЕО, п, 2 '1' и, то ,~ Ех Е *Ойдо гбб = — = Ех 1 ехх Гб хс где Об дс = —. При этом силовая линия в диэлектрике остается в плоско- ЕО ЕОх сгн ЕО, и. $ 2. Потенциальные и емкостные коэффициенты 188.
Обозначим через д1 заряд первого проводника и через О' заряд на внешней поверхности второго проводника (заряд на внутренней поверхности второго проводника равен — щ, как это следует из электростатической теоремы Гаусса). Система (111.28) принимает вид: ч1 = С11х1 + С12х2, — ч1 + и = 012Ъ1 + с22~2. Сложив эти уравнения, получим (2) ч = (С11 + С12) х1 + (С12 + С22) хз. 283 4 2. Потенвиальные и емкостные коэффицменты оп +сгг = О.
При этом первое нз уравнений (1) принимает вид: »1 — С11(У1 Уг). (4) Из (2), (3) и (4) следует, что С = сп = — с12 = — сгп С = с12+с22 181. в11 = 2 в22 = 2 в12 = в21 С22 сп Сив опсгг — с12 с11сгг — с12 с11сгг — с212 182 511 = — Ягг = — 812 = 821 = —. 1 1 1 С1 ' Сг' 2 СПС12 — С12 сп + сгв+ 2с12' вп — 2вп+ вгв»»» вп — вгв» 184 »1 ' -Ф »2 = -, »3 = -, »4 = вп — вгг 8' 2' 4' вп — вп 8' »3= » За Ьг 188. »,= — », »,= — », 2а а Ь ' Ь (ддг) С1С2 ~ С1У1 С2У22) р (дй')»1»2 е ет 187. »1 = »~ У, » = »У' У'.
У1 — Уо ' Уо — У1 189. Собственная емюсть объединенного проводника: сео = с11 + с22 + 2с12. Взаимная емюсп обьединенного проводника и 1-го проводника системы: Сог = оп+еж. 190. Энергия уменьшается на величину ЬЬУ = (» — »')2 г — Ь 4 Ь Заданием»' определяется поле во всем внешнем пространстве, в частности, потенциал Уг второго проводника. Равенство (2) должно, таким образом, иметь место при любых значениях У1 и фиксированных»', Уг, что может быть, только если 284 Глава Ш 191. С точностью до 1/г, гз(С+аЬ(Ь вЂ” а) ~) 192.
Шарик и проводник приобретают при соприкосновении один и тот же потенциал Кг = 9зп+ Я вЂ” 9)згг = 9зш+ (Я вЂ” 9)згг = $~г, откуда зп — з1г Я згг — згг Ч где зы — потенциальные козффициеиты (иидексы 1 и 2 относятся соответственно к шарику и к проводнику). Обозначим через 9ь заряд проводника после Й-го подсоединения.
Из равенства потенциалов проводника и лирика при соприкосновении следуеп щ,зп + (Я+ оь г — 9ь)зиг = щьзгг + Д вЂ” 9+ 9ь г)згг. Отсюда, используя (1), получим рекурреитиое соотношение, связывающее 9ь г и9ь.' Фс = Я+ — Фс-и Я (2) Последовательное применение формулы (2) с переходом в дальнейшем к пределу Й вЂ” оо дает окончательно: 9 =,1' 9ь = 9~1+ ~~ + Я) + Я) +...1 = 9 3.
Специальные методы злектроетитики 193. Уравиеиие Лапласа принимает вид: — '(Л,— ") =О, Л,= Щ Иб Это уравнение должно быль проинтегрировано с граничными условиями щ = сопз$ при с = О (на поверхности эллипсоида), гг — + О при б — со. 285 $ 3. Сиециольиые методы электростотики Выполняя интегрирование и воспользовавшись для определения постоян- ь т ... =,~+~р*ти -, г -...„.
чим: Отсюда 1 е др~ е г1 др~ 1 гхз рз 22~ 4ядп~ф=с 4я~)г~ дР/е-с 4яаЬс~ 4 Ье 4/ Плотности зарядов на концах полуосей прямо пропорциональны длинам полуосей: оа: ггь: о; = а: Ь: с. 194. При а = Ь > с (сплюснутый эллипсоид): а — сз з/а~ — с~ ~жФ~, С = ~Ж:сз 11 (+с' ' аг В частности, при с = О (диск) С = +'. При а > Ь = с (вьпянугый эллипсоид): Д+а2+ ~/аз Ь2 ь2= 1п, С= ~аз — Ьз ~/~~+аз — з(аз — Ь а+~а — Ь Ь В частности, при Ь « а (стержень): С= —. Я 1п— 2а Ь 195. Будем сначала считать эллипсоид незаряженным: гг = О. Если внешнее однородное поле Ес параллельно оси Ох, то уо = — Есх = ~Ее гзб Глава Ш Знак минус соответствует х > О, знак плюс х < О. Как функция ~ро, так и потенциал у' поля наведенных на эллипсоиде зарядов удовлетворяют уравнению Лапласа, Подставляя ф = уоГ(б) уравнение Лапласа, получим уравнение для определения неизвестной функции Г(б): + — — )п[Щб+ а )) = О.
,(бг,Ц,Ц Это уравнение легко интегрируется. Решение, удовлетворяющее граничным условиям, имеет вид СО в (б+а )Яг ю~, =~. 00 (б о (б+а )%г Если эллипсоид имеет собственный заряд 9, то решение, удовлетворяющее условиям Зг~ = сопаФ и — у — ЫЯ = 4я9 (Я вЂ” замкнутая поверх- дх в=о дв ность, содержащая внутри себя эллипсоид), можно получить по принципу суперпознцин (см.задачу 193): Ф1, = Фа=о + 29 /' В в 196. Потенциал имеет тот же вид, что и в предыдущей задаче. Входящие в выражение потенциала интегралы могут быть выражены через элементарные функции — это имеет место во всех случаях, когда эллипсоид обладает симметрией вращения. В итоге получим: Ф + б/а + е т/1+ б/аг — е ~/1+ б/аг 1 1п — — 2е 1+в 1 — е 287 Ь 3. Скецтальные методы электростатаки где а — большая и Ь вЂ” малая полуось, е = ~1 — — — эксцентриснтет (( г эллипсоида, ось х направлена перпендикулярно плоскости, (см.
задачу 66). Напряженность поля достигает максимального значения в вершине эллипсоида: Е 1 Д< г 2ез(1 ег)-1 Ес Еойс дб ~боЛ=-ьг 1п 1+ е 2 п(к) ' 1 — е гле п(к) — коэффициенты деполяризации (см. задачу 198). В случае сферы е = О и — = 3. В случае очень аытанутого стержня (громоотвод): Е Ео — = — ~1п — — 1), а»Ь, Епь аз г За Е. Ьг ~ Ь поэтому искровой пробой воздуха значительно более вероятен у конца такого громоопюда„чем на других его участках. 197. Поле на произвольных расстояниях от эллипсоида получается как суперпозиция трех полей вида, установленного в задаче 195 (поле Ео разлагаем на составляюпше, параллельные главным осям эллипсоида).
На больших расстояниях от эллипсоида: ~р = ( о+ — ', рк — — Як)Е„рэ — Я1Ею р. = Я)Е.. гз ' Главные значения тензора полярнзуемости эллипсоида: )(к) оЬс „)(в) оЬс )( 1 оЬс Зп( 1 Зп(в) Зп(*) 1 — о~ 1 2 Ь где е = у(1 — — — эксцентриситет эллипсоида. а 288 )лава Ш т1(") = п(*) = —. 2' В случае е ~ 1 (форма„балакал к шару): 11(х) — — — — Ег 3 Б п(") = п(*) = — + — е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
