В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 43
Текст из файла (страница 43)
задачу 871). Корректное описание плазмы в случае быстропеременных полей производится с помощью уравнений Максвелла и кинетического уравнения Больцмана, рассмотрение которого, однаю, выходит за рамки этой книги. 860в. Вязкая несжимаемая проводящая жидкость движется между двумя неподвижными параллельными плоскосщми в направлении оси з под действием постоянного градиента давления — = сопаФ. Проводимость ~фЭ ал жидкости <т, коэффициент вязкости гь расстояние между плоскостями 2а„ Перпендикулярно плоскостям в направлении оси к приложено постоянное и однородное внешнее магнитное поле Но.
Вычислить зависимость скорости жидкости от х и добавочное магнитное поле, возникающее в движущейся жидкости. Проанализировать результат для больших и малых значений По. 5 2. Коллективные двизкенгт в плазме 239 и полное число Х часпщ одного знака, приходацихся на единицу длины столба плазмы. Вязкостью пренебречь, рассмотреть стационарное состояние плазмы с зг = О. 863. Как должен быть распределен ток по сечению плазменного столба (см. условие предыдущей задачи), чтобы давление плазмы было постоянным по сечению? 864.
Плазма испускается изотропно во все стороны с поверхности шара радиуса а, вращающегося вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью П. Скорость плазмы о постоянна по величине и направлена по радиусу. Вблизи поверхности шара существует магнитное поле, матеров в системе, вращающейся вместе с шаром, имеет значение Н(а,д,гз) = = Но(д, а), где а отсчитывается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Плотность энергии плазмы велика по сравнению с плотностью энергии магнитного поля, так что влиянием поля на движение плазмы можно пренебречь. Предполагая магнитное поле вмороженным в плазму, найти его зависимость от координат и времени в области г ) а в неподвижной системе отсчета'.
865. Найти вид силовых линий межпланетного магнитного поля в модели Паркера, рассмотренной в предыдущей задаче. Определить величину магнитного поля и угол 8 между силовой линией и радиальным направлением на орбите Земли, задавшись следующими значениями параметров: радиус Солнца а = 0,7 10 а= км; среднее магнитное поле на поверхности Солнца Но ев 1 э; радиус орбиты Земли го 1,5 ° 10з км; угловая скорость вращения Солнца П = 2,7 ° 10 вред/сек; скорость солнечнопз ветра п = = 300 км/сек. 866. На плазменный цилиндр действует однородное магнитное поле Н, направленное вдоль оси цилиьшра, и радиальное электрическое поле Е.
Вычислить ту часть энергии системы, которая связана с электрическим полем, приняв во внимание электрический дрейф плазмы. С помощью полученного выражения для энергии определить поперечную диэлектрическую проницаемость е1 плазмы, находящейся в магнитном поле. 867. Квазинейтральная плазма находится между плоскостями х = = хгь Пусть в некоторый момент времени произошло разделение зарядов, в результате которого все электроны оказались в плоскости х = гг, а все ионы — в плоскости х = — сь Из-за электростатических сил заряды станут совершать колебания. Пренебрегая столкновениями частил.
найти частоту ы этих колебаний, если средняя концентрация часпщ одного знака равна щ ' Модель, рассматриваемая в этой задаче, использовалась Паркером лля описания мыкпланегного магнитного поля, создммемого потоками солнечной плазмы (солнечным ветром). 868. Найти глубину проникновения электромагнипюго поля в плазму при разных частошх. Для этого рассмотреть нормальное падение электромагнитной волны на плоскую границу плазмы, вычислить коэффициент отражения В и поперечное электрическое поле в плазме Е(г, $). Диэлектрическую проницаемость взять в виде (Х1г'.13).
869*. Найти диэлектрическую проницаемость бессголкновительной плазмы с учетом теплового движения электронов. Для этого проинтегрировать уравнение движения электрона во внешнем поле Е = Ео ехр(1(1г ° г— — мг)), вычислить плотность тока, создаваемого одной часпгцей, и произвести усреднение по начальному равновесному распределению координат и скоростей, считая его максвелловским. Ограничиться линейным приближением по напряженности электрического поля Е, движения ионов не учитывать. Заданы средняя концентрация электронов и и температура плазмы Т (температура измеряется в энергетических единицах). 870.
Диэлектрическая проницаемость плазмы для продольного поля при учете теплового движения частиц имеет вид где из1 = Т(т, второй член в скобках мал по сравнению с единицей. Вы- числить фазовую и групповую скорости продольных плазменных волн. 871. В момент 1 = 0 в плазме нарушилась нейтральность заряда, в результате чего возник обьемный заряд с плотностью р(г, 0). а) Вычислить плотность р(г, г) для 1 ) О, использовав значение диэлектрической проницаемости плазмы (ХЖ13).
б) Как изменится качественно результат, если учесть тепловое движение частиц плазмы? Проделать конкретный расчет для е1, приведенной в условии предыаущей задачи, выбрав р(г,О) = ро — ехр~ — ~я ) 1, гле до =аспас, ко =сопзе. ЛИТЕРАТУРА Джексон Дж. (52], Лонгмайр К. (74), Франк-Каменецкий Д. А. (109), Нортроп Т. (82), Вопросы теории плазмы (28), Силин В. П., Рухадзе А. А.
(91), Альвен Г., Фельтхаммар К. Г. (2). ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ГЛАВА 1 ВЕКТОРНОЕИТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 9 1. Векторыая и тензорыая алгебра. Преобразоваыия векторов и тензоров 1. ожд = и. и' = создсозд'+ е1пдашд'сов(гг — гг'). 3. Так как 6; (г = 1, 2, 3) — компоненты векп>ра, то при повороте системы юордннат Ь; ,= гг;ьЬь Подставив Ь'; в равенство а",6; '=!пч и сравнив с аьЬь = шт, получим аь = ггсьа'„т.е. аь преобразуются при поворотах как компоненты вектора. Поскольку инвариант (скаяяр) при отражениях не меняет знака, компоненты а; и Ь;, либо одновременно должны менять знак (полярные векторы либо не менять его (псевдовекторы). 10. (ах Ъ)с =1(а ь6+г — а+гЬ г), (ах Ъ)ьг = Ы(асЬег — аьгЬе), 11. Теизор, обратный данному, удовлепюряст соотношениям -1 с'асы = Ьи Это — алгебраические уравнения относительно юмлонент е,~,г обратного теизора.
Их решения имеют вид гьы с. гь ц (2) где Ьы — алгебраичесюе дополнение злемента еи в определителе ~е~. Из формулы (2) следует, что для существованиа обратного теизора необходимо, чтобы ~е) ~ О. Учитывая известное свойство определителя Ьыеы = би ф, 242 Глава 1 убеждаемся, что обратный теизор удовлетворяет, наряду с (1), также условиям зва вн = еп.
(3) Если за — симметричный тензор, заданный в главных осях: зва = з(йба (здесь суммировать по 1 не нужно), то 1 в 14. Тм образуют теизор П ранга. Рис. 47 Рис. 46 15. При преобразовании е; -+ е'; по формулам е'; = ааею козффициенты аа = е'; еь имеют смысл проекций новых ортов на старые. Выполняя проектирование (рис.
46, 47), получим следуюшие матрицы преобразования: при переходе от декартовых координат к сферическим, /з1пдсоза юпдьйпа совд ) а = ~создсова создала — зшд); — з1па сова О /в1пд сов а сов д сова — вша~1 а ' = ~з1пдзша совдвша сова ); совд — юпд О при переходе от декартовых координат к цилиндрическом, / сов а в1п а О'1 (соя а — вш а О'1 а= — зша сова О~; а г = зша сова О~. О О 1 О О 1 З 1. Преоброзоеаиив векторое и теизоров 243 д= О -1 О в случае поворота, е' сова вша О'1 д(а) = ~ — в!па сова О) . О О 1 Направление отсчета угла а и направление оси в удовлетворяют правилу правого винта.
17. Воспользовавшись результатами предыдущей задачи, получим д(а!даз) = д(аз)д(д)д(а!) = / сова)соваз — совВв!паз в)паз; в!па)соваз+совВсова)ыпаз; в!пВтпаз'! =1 -сова! в!паз-соево!па! соваз; -в!па! в!паз+совВсова! с«воз; Ипвсоааз) Ыпа)в1пв — в!пвозваз !в!ад ~/2 --В - В)е («*- ) 1 2 — (! + сов В)ец«з+«в); 1 2 вв!пВ (,, ъ/2 --(! — оив)е)(»' «в); 2 — — в1пВе !«з в Л (! + сове)е-)(«1.!.«3) 1 2 О(адваз) = — — Ип Ве з )Г2 19. Так как матрица поворота на нулевой угол (тождественное преобразование) равна 1, то при повороте на малый угол !в(ь ~ << 1. Для доказательства соотношения в(в = — еы воспользуемся инвариантностью гз = = б(вх(хь относительно вращений.
Посюлъку х'; = агьхв = х! + в(вхв, то с точностью до малых величин первого порядка имеем г'з = гз + 2егьх;хв. г Из инварианп!ости г следует, что вахвхв = О при произвольных хвп а зто возможно толью при ва = — ввь Введем вектор б(р с юмпонентами би)( = 1 = -е!ыеы. Тогда г' = г + Юу х г, откуда видно, что Ю~р представляет собой вектор малого уота поворота, направление юторого указывает ось вращения, а величина — угол поворота. 16. Обозначив через д матрицу, связывающую компоненты вектора в системах Я' и 5 (А'; = дгьАв), имеем: в случае отражения, Гиава 1 22.
Доказательство одинаково для любого числа измерений. Пусть матрица коэффициентов преобразования Й, а ее определитель ~Й~. В силу ортогональности матрицы Й имеют место пз равенств а;ьспь = бп. Замечая, что в левых частях этих равенств стоят элементы определителя, равного произведению двух определителей )Й(, получим !Й( )Й~ = ~1) = 1 или ~Й~ = 1. Отсюда следует, что (Й) = ~1. Докажем, что при поворотах ~Й~ = +1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
