В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 45
Текст из файла (страница 45)
253 Постокнное электрическое тме в вакууме Прн Вз — Вг = В и фиксированном значении заряда д, получаем поле сферы, равномерно заряженной по поверхности. 88 Иг — И/ — Ит — )и э сост Зчэ чэ ч' чэВ, В, 5В' 2В' Вэ — В~ (В В,)э В1 ветственно для распределений зарядов, указанных в задачах 7б, 77 и 79. и оо Из сравнения вкладов в энергию Иг, выражаемых интегралами ) и ) о и видно, *по ббльшая часть энергии поля локализована вне распределения заряда (83% в случае шара, заряженного по объему).
81. р(г) = и) р(т')т'зйл+4я ) р(т')г'й'; о т Е(г) 4кт у р(гг)га лг~ „э о 83. Поле электронного облака в атоме: зт,, зт уе(г)= — „~1 — е ")+ ое ео / — — 1 ео — —. зк 2 2Г Е "[1 ( ° +1)е-а]+— ' ",-а Потенциал полного электрического поля в атоме ео 84. Напряженность поля максимальна на поверхности ядра: Ь'„,„= — = 6,4 ° 10 — вlсм. Еео гэ о Вз ' Аз/3 88. Воспользоваться тем, что плотносп сг поверхностно распределенного заряда может быть записана в виде р(г,д,сэ) = а(д,сэ)4(т — а). ао 254 Гяава П 87.
з,= 'г(,/В~+.Ф ф), Ее=Ез=О, Е,= — ~~ — ), где з — координата точки наблюдения, отсчитываемая от плоскости диска. Рис. 48 88. Если полояапельно заряженное полукольцо занимает область х > О Вз+ зз в плоскости ху, то прн х, р «получаем, разлагая подыитегральную В фущщию в щпеграле У и <И в ряд 4оВх У= 3 „~Вг+ зр откуда 4дВ 12дВхз ~Я =— з 3 Ез — — О, з к(Вз+ зз)8 „~Вз + згР 255 Постокнное электрическое тме в вакууме Прн г ".ь В получается поле электрнчесюго диполя„момент юторого направлен по оси х и равен — 9В. 4 89. Вследствие симметрии системы потенциал >р не будет зависеть от азвмугального угла сг, поэтому можно без нарушения общности провести плосюсть хг через точку наблюдения.
Тогда (рнс. 48) тш = >р(т,д) = 2эгВ о где ег = —. о 2кВ ' Произведя подстановку сэ' = и — 2)э' и введя обозначение йг 4тВошд > сР 2йэг К(й) >»:>' и'Э Ж Ьл р(т,д) = 90. а) оэ = о , где г — расстояние от плоскости юльца до точки ,гяз+к ' пабло ения. б) >р = —. Я в) Обозначив через т' расстояние от точки наблюдения до нити кольна, получим при т' « В: 1 — й гм —, К(й) =1п —, и >р(г) = — 2эс)пт +сопос> г т'г 8В > 4Вг' как и должно быть в случае линейного заряда. 91.
>Рг = — оотсоад (г' < В), 4к' 3 4к о'оВ 4к ооВ д (т > В) 3 тэ Внутри сферы — однородное электрическое поле с напряженно4к>тр 4нооВ стью Ьы = — —. Вне сферы — поле дипола с моментом 3 257 Постовнное экекн!ринеское нове в вакууме 94 23в — т 2 2 2(~ ) 94. а) !р 9а = 2да тв тэ Зоо в1п дсовав!ва б) !рю 95 бсо тв(с!и д) з 15совв д — 9сов д 95. а) !р св = <уа т~ т~ 15ооЬсекх 15доЬсв1и д сов д кто а сов а б) !р~ тт .4 ! 95. !р(т,д,ге) =д~ ~ —,! гЪ'!' (дс,с!с)У! (д,а) при т(то,' ! у(т,д с!) =9~ 21» 1 — !+г)'! (до,а0%тв(д !2) при ! ) то.
Е ов(Зев — тз) + 62(ЗВ2 — тз) + св(Зев — тз) 97. !р(х,у,в) св о+9 В случае зллипсоида вращения (а = Ь) д сз — аг Рз (соа д) 5 тз В случае шара (а = Ь = с) 98. В сферических координатах с наварной осью вдоль оси симметрии системы и полюсом в центре колец у(т д) = — 2 дв(а — 6 ) Р2(сов д) Это — потенциал линейного квадрупола, у которого заряды -9 паха~Газ — Ь датся на расстоянии от центрального заряда 29. 2 99. Вычислим мультипольные моменты: 9 = — (р' ~7)б(г)Л1 = — (р' п)б(г)!69 = О. 258 Глава П так как б(г) = О всюду, кроме г = О; р = — х (р' ~у)б(г)ИУ= — у хар'„— НУ= 1 р,',— б(г)ИУ. р у дб(г) Г Р дха „у "о„„у "о*„ Последнее преобразование состояло в интегрировании по частям. По повторяюшемуся индексу и подразумеваегся суммирование.
Возникший при этом поверхностный интеграл обращается в нуль, так как б(г) = О при г ф О. По определеншо б-функции , дх Ра — Р— Р' баа — Р алх„а а Все мультипольные моменты более выРис. 49 союго порядка пропорциональны юмпо- нентам г при г = О и поэтому обрашаются в нуль. Рассмотрим, например, юмпонеиты квадрупольного момента. Действительно, , дб(г) Г, дх хд (злад = хахдР <Л~ = / б(г)ра (Л' = р~ хд+Р2зха = О. "ах„ / "В„ 100. После и-кратного интегрирования по частям получим 101. Проще всего, воспользовавшись формулой р = са~(32'~ — г~) гл (см.
ответ к задаче 94), выразить в ней 2' через х, у, з (рис. 49). Получим аз ~р = ~ [3(хз1пусоз)З+рзш узш~З+зсоз "у)2 — гз[ = .3 = — [3(создсоз у+з1пдзш усов(гл — )З))2 — Ц. оа' 3 259 Постоянное электрическое ноле в вакууме Тот же результат можно получить, воспользовавшись тем, что совокупность компонент квадрупольного момента представляет собой тензор 11 ранга В системе осей х', у', в' компоненты квадрупольного момента Я', = Я'„= Я',и = Я', = Я'„, = О, Я'„= 20аз. Матрица коэффициентов преобразования имеет вид /совусов д — вш11 вшусов)3'1 а = сов увш)1 сов,У вшувш)1 — вшу О сову С помоп1ью этой матрицы вычисляем компоненты ф,д в системе хув по формулам / Оов = ~' аотарвЯ- в т,б а затем используем формулу (П.8).
102. у = ~ ((рз — хз) в1п2)у+ 2ху сов 2д = 134овс з 4 вшз д д в1п 2(а — д). 2т~ 103. у = ~ (Зв1пздвш2а — Зсов2д — 1). 4т 104. По принципу суперпознции можно написать р(г) = Нт' = ~Р ° 8ты~', <Л~'. ,/ (г — г'(з,/ )г — г'( Преобразуя это выражение с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, получим что у(г) = ) ", оЯ, где Я вЂ” внутренняя поверхность попарив (г — г') зованного шара, а Р„= Р сов д. Используа результаты задачи 91, найдем: х1 = — сов д (т < В), 4кРт 3 4ЯР11Я д ( а) Зт' 260 Гяава П 105.
~р(г) = — 2х1пг+ 2 ~', " оо+ ь=г ог" где м = ) р(г') НЯ" — полный заряд единицы длины распределения, А„= = 1' р(г') г'" соз па' сБ' и В„= ) р(г') г'" аш по' ИЯ' — двумерные мультипольные моменты и-го порядка. Из зтих формул, в частности, следует, что потенциал диполя в двумерном случае имеет вид ~р = —, где р = ) р(г')г' оУ вЂ” дипольный момент „г распределения на единицу длины, г — радиус-вектор в плоскости яу. 106. у(г,а) = — 2м)пг+ ~„й( — „~) соап(а — ао) при (г > го), я=1 у(г,а) = — 2х)пт+ ~" о~Ц соац(а — ас) при (т (гр).
я=1 а) Рлс. 50 107. у(г) в — „сова =— 2о2рг где р — дипольный момент на единицу длины, г — радиус-вектор в плоскости ху (г » а), ось л направлена вдоль одного из линейных зарядов. 261 Лоскктккое электрическое коке в вакууме 108. На оси симметрии диска (ось з направлена от отрицательной стороны диска к положительной): гр(з) = тП = 2эгт(1 — ) ~; Е =Е„=О, Е,= ~ ~(оз + зз)з(г' 109.
а) В цилиндрических координатах: Е 2т а г ~ Е,=Е,=О; б)гр=2т(л — а), Е = — -„— = — „; Е„=Е =О. 1 о!о 2т. Поле Е совпадает с магнитным полем прямолинейного тока .к = тс. 110. Уравнение силовых линий (з + а) ((з + а) + г ) ~(з — о)((з — а) +т~) 11з = С, где С вЂ” постоянная. На рис. 50а изображена картина силовых линий для случая разноименных зарядов. В случае одноименных зарядов в поле имеется нейтральная точка г = О, г = = О (рис. 50б).
111. Целесообразно перейти к сферическим координатам. Устремляя а к нулю, разлагая в ряд и отбрасывая члены порядка аз и выше, получим г = Сзш г). иг.,-о~/ю'и .югс— Не следует забывать, что в случае квалруполя конечных размеров, полученная формула пригодна только для больших расстояний (рис. 51). Ркс. 5! Ф+ ч/2(ч/2 — 1)ло ч/2(ч/2 — 1) л 2б2 Глава В 115. Рассмотрим силовую трубку„полученную вращением некоторой силовой линии вокруг оси г. Применив электростатическую теорему Гаусса к объему, ограниченному боковой поверхностью этой трубки и двумя плоскостями г = сопвг, не содержащему внутри себя зарядов, найдем, что поток через любое нормальное к оси сечение трубки Ф(г) = 2 '(1,й((г) (см.
задачу 113) не зависит от г (при изменении г между гь и гь.~1). Здесь й;(г) = = 2к(х1 — сова,) — телесный угол, под которым видна отрицательная сторона такого сечения из точки гь где находится заряд ()(; а, — угол между направлением оси г и радиусом-вектором точки контура нормального сечения с координатами (г, г). Знак «+» нужно брать прн г > г;, знак « — » при г < г;. Если при изменении г нормальное сечение трубки перейдет через заряд (7ь то Ф(г) скачком изменится на ~4к(1ь, однако при этом не изменится 2 ();севан Выразив сова, через г, г; и г, получим искомое уравнение семейства силовых линий: 117.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
