В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 49
Текст из файла (страница 49)
3 15 199. тт(') = — +(е — агс18е) > —, э 3' п(х) =п(г) =, е = ~В) — 1. 1 — и(*) ~с) В частном случае диска: (х) п(*) = п(") = О. 200. (а = отх = уэ — — ггх. Внутри эллипсоида: Вне эллипсоида: ОО Ц. аЬс(е1 — сг) ) < И+а')Вг 1— 2[аг + (е1 — ег)п(х)] ггх = Югх — — — Еоа (х) =-' Ь 1' 2 1 ((+а )Лл' ат„и атх определжотся аналогичными выраженнами, в которых х нужно заменить соответственно на у и г, а на Ь и с. Внутри эллипсоида однородное поле: Е Ео е, Еооеэ Ео,е, 1— В случае е 1 (стержень): „(х) = О, — Еох ( + ст — аг (х)) 289 $ 3. Свецнальвые методы эееетростатвли На больших расстояниях от эллнпсоида: р г ьгг = — Ео ° г+— 3 где р = Я*>Е, 11(*1 = 3( +п~ ~) и т.д.
201. Воспользовавшись формулой (П1.16), получим: аЬс(ег — ег)Е~о(2[ег+(ег — ег)п] вш 6+ [ег+ег+(ег — ег)п] сова Ф) П— 6[ег + ег + п(ег — ег)Цег + (ег — ег)п] дгг аЬс(ег — ег)гЕог(Зп — 1) вш26 дд 6[ег+ег+п(ег — ег)Цег+(ег — ег)п]' где 6 — угол между осью симметрии и полем Ео, п — коэффициент деполяризации относительно оси симметрии эллипсоида (см., например, решение предыдущей задачи).
Из последней формулы видно, что внешнее поле стремится повернул ось симметрии вьпяиугого (п ( 1/3) и сплюснутого (п ) 1/3) эллипсоида в положение, параллельное и перпендикулярное полю соответственно. В случае проводящего эллипсоида, ег — со и аЬс(Зп — 1) Еог я1п 26 Ж= бп(1 — и) 202.
Потенциальную энергию жидкой заряженной келли, имеющей Ь форму эллипсоида вращения с эксцентриситетом е = ~ 1 — — и обьемом, а равным обьему сферы с радиусом В (заряд 9), можно выразить формулой г гз1 1 — е еЯ вЂ” ег/ (воспользоваться выражением для емкости С вьпинутого эллипсоида вращения, приведенным в ответе к задаче (194). Чтобы отвеппь на вопрос об устойчивости зараженной сферической капли, надо выяснить характер зависимости энергии (1) от е при малых е. 290 Глава Ш Разложим У в рид с точностью до е4: У(е) = — + 4яВ гк+ — ~бяВ ст — — ).
Я З Е4т З й 2В 45 'ь 2В) ' Из последней фоРмУлы видно, что если заРЯд капли 9 ( К„р — — ьтг10ЯВзгт, то при малых деформациах каши стремится вернуться в сферичесюе состояние — капля устойчива. При д > ф„р, посюльку возникшая деформация продолжает увеличиваться — капля неустойчива. Процесс юнчаетса расщеплением неустойчивой капли на две нли большее юличество| более мелких устойчивых капель. То, что в конце юнцов получакпся устойчивые капли, видно нз выражения фл. С уменьшением размеров капли критический заряд оь уменьшается пропорционально корню квадратному нз ее объема, в то время как заряд капли 9 уменьшается в среднем пропорционально объему; поэтому при достаточно малых размерах капли условия устойчивости начинают выполняться.
203. у = — — ~ахсФК вЂ” — — ~ = — — згг — ц~ — ахстК вЂ” — 1), Еолт' а а ~ Ео Гьть а л л~ ~' л где Я нужно брать со знаком плюс при л > О и со знаком минус при л < О. На больших расстояниях за отверстием с гз и поле приобретает вид Елозя ьо- прил>О.
Зя~ 3 Таюй характер имеет поле электрического днполя, ось которого совпадает с осью л, а момент р = —. Отсюда видно, что силовые линии, Еоа Зл проходящие через отверстие, замыкаются на обратной стороне металлического экрана. 204. <г — — — тг — ахсаш — + при л — — О, о = — — — вгсаш —,. прил =+О, 4тгз 'х Я вЂ” о~ где гт = Д + аз — расстояние от центра отверстия до точки наблюдения на плоскости. 'Лепв непосредственно проверить, что, например, при расщеплении заряженной капли нв з две равные сферические капли знергиа уменьщвегса в 3 а резв.
291 $ 3. Сиецвальные методы зееетроавотиеи 205. Нужно решить уравнение Ьр = — 4к4б(г — го); б-функция должна быть при зтом записана в цилиндрических координатах: б(г — го) = — „б(г — го) б(а — 7) б(л). 1 Компонента Фурье ~рь(г,а) = — г у(г,а,е)сооИе<й Г потенциала ~р(г,а, е) удовлепюряет уравнению — — ~г — ) + — — — й ~рь = — — б(т — то)б(а — 2) (2) 1д т Ври~ 1В'рь з 44 В,1 аг1 т Ваз то и граничным условиям (см. рис.
11): уь(г,О) = ьоь(г„8) = О, <рь(оо,а) = О. (3) (4) А„1нк(Иг) зш и-'-'~ пРи г ( а, В„К „(Ит)аш~~~ прыг>а. При написании (5) мы учли, что потенциал <рь должен удовлетворять (4) и быть ограниченным при т = 0 (см. приложение 3). Для определения постоянных .4„и В„воспользуемся, во-первых, непрерывностью потенциала при г = то. Это даст 1ое (~то) В„д (6) А К (Иго) д Рассмотрим соответствующее (2) однородное уравнение. Частными его решениями, удовлетворяющими (3), являются произведения В„(г) аш (н = 1,2,3,...), где величина В„(г) равна с точностью до постоянного множителя либо 1ие (Йг), либо Клн(йт).
Будем искать решение неоднод родного уравнения (2) в виде суперпозиции таких частных решений: 292 Глава Ш Во-вторых, потребуем, чтобы потенциал (5) удовлетворял уравнению (2). Подставив (5) в (2), помножнм обе части получившегося равенства на аш "'Яо (пз = 1, 2,...) и проинтегрируем по а от О до )1. Учитывал ортогональность функций а1п ~~~ в указанном промежутке, получим 1дт<(В т Гэ тпэяз~ 89 пиг7 — — ~т — ) — ~Ь + — )В = — — 6(т — то) аш —, (7) т пт пт ятэ рте Р ' где А„,1, (Ьт) при т(о, В (т) = ВпъКтип ()вт) прн т ) а.
д Функция В (т) непрерывна при т = то, но ее первая производная по т испытывает при этом скачок Ь = — Вд~(то + О) — Вш(то О) = кВлзКпиг (кто) кАтЕиис (кто). д д Поэтому вторая произволнал В (т) будет равна В'„',(т) = Ьб(т — то). Подставляя это выражение в (7) и отбрасывая члены, ограниченные при т = то, получим второе уравнение для определения А„, В„: ЬВаКпв (Ьте) — ЗсАпЕпв (Ьто) = — — а1п —. (8) — Вто Ф ' При упрощении выражений для А„и В„полезно воспользоваться формулой К„(х)~1 (х) — К„'(х)1 (х) = —.
207. р(т, сь к) = — — агс18 2ч 1 — — агстй 1 В' 29З $ 3. Скециальиые методы электростатики (-- ) 208. и = сопят г а где г — расстояние до ребра клина. В частном случае клина, находящегося в поле точечного заряда (см. задачу 205), о,акга я1п — Г~ — + -~ л7 /к 11 ф ~~3 2~ сопаС вЂ”вЂ” Г й 1 Отсюда видно, что о — ь О при г — ь О и )У < а", о ь со при г — ь О и )з > я. В частном случае, югда заряд находится у края плосюсти, о ое —. 1 ~/г 209. Поместим заряд о в начале координат, а ось л направим перпендикулярно поверхности пластинки.
Тогда уравнения передней и задней поверхностей ее примут вид е = а и а = а+ с соответственно. Будем искать потенциал в виде Ч» = 0 Ло()егз)е "~*~ е)Ь+ АзЯЛо(йгг)еькейе ( — со < а < и), с а 'еьз = Ве(Ь),То(Игъ)е е(3с+ Вг()е)Яо(йети)еае е)к (о < а < Ь), с с <Рз = Аг(ЮЛо(йт1)е ь сй (Ь < е < со, где Ь= о+с). с Граничные условия на поверхностях пластинки дадут систему четырех алгебраических уравнений дла определения юзффициентов Аы Аз, Вм Вз. 294 Глава Ш Решая эту систему, получим: аз -зал ' 1 — р-е -зьь -зь 1=9 з за ,9; с (2) д)э(1 — )3)е зьь аз -зьс В = ч( Ф) аз -зьс' где )1 = в, 6 = а + с.
в+ 1' Формулы (2) совместно с (1) дают решение нашей задачи. На больших расстояниях за пластинкой (л > 0) поле принимает вид: у(гг, л) + / Т+ з (та+ лз)з/з' (в 1) где гз = /хз з+ уз, р = — с9. где гз = т/~х + у~ (рис. 64). При ~+г, — 0 (вблизи заряда) 29 ф — ь (е+ 1) Я+ зз (ср. с задачей 129).
Потенциал 1а можно представить в виде Рве. 64 Соответствующая система изображений приведена на рис. 666. 211. Можно ввести бисферические координаты так, чтобы поверхности внутренней и внешней обкладок были координатными поверхностями с = ~~ и с = ~з соответственно. Для этого нужно провести ось л через центры обклвдок так, как это показано на рис. 65.
Координаты центров обкладок будут при этом равны лг = а стп сы лз = а стп (з (а — параметр бисферическнх кооолинат). Радиусы обкладок связаны с величинами а, сы ~з 295 $ 3. Сиеииальиые меикады зеееикраоиакииеи уравнениями а = ак акк6, а = аз а)к4з, Ь = ез — ек = а(сткк~з — сукк~к), откуда аз — аз — Ьз 3+Ьз 2 (1) Функция кЬ в пространстве между обкладками конденсатора удовлетворяет уравнению — + —.— ~вшΠ— ) + — — — кЬ = О.
д'Ф 1 д ° дке 1 д ке (2) дез вш о до ~ дк1 ) окпз дккз 4 Производя в уравнении (2) разделение переменных и учитывая, что в нашем случае кЬ не зависит от азимутального угла гк, найдем частные решения экого уравнения, ограниченные при и = О, яз кЬк(с,к1) = 1Акей((+ -)с+ В~ аЬ((+ -)(]У~(совО), где( = 0,1,2,3, ... Ркс.
65 Будем искать кй в виде ряда Щ,о) = 2 фк((,о), Коэффициенты Ак к=о и Вк определяются нз граничных условий ф((з, т~) = О, ЯРк к) = 1г(2с1к6 — 2соап) з = 'ьг~~ е (~йк~'Рк(сощ). к=о 297 $ 3. Саецвольвые методы эееео1ооовомали 214. см = аг(1+ тп+ тпз + тгпг), сзг = — агп(1+ тп), сгг = аг(1+ тп+ т п+ т п ), где тп = —, п = —. аз аг Ь' Ь' 215. Пусть потенциал сфер равен нулю, потенциал на бесконечности равен — У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
