В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Произведем инверсию системы в сфере радиуса В = 2а, центр которой находится в точке касания проводящих сфер (рис. бба, сфера инверсии изображена пунктиром). После инверсии система примет вид плоского конденсатора (рис. 66б, сфера инверсии изображена пунктиром) Я=2а чо / а) б) Рве. 66 с расстоянием 2В между заземленными обкладками. Внутренности сфер соответствует при атом внешняя обласп конденсатора.
В центр инверсии в конденсаторе попадает бесконечно удаленная точка первоначальной системы с потенциалом У. Этому соответствует точечный заряд 9о — — — ВУ в центре инверсии. Поле в инвертированной системе может быть, согласно задаче 210 (е = 1), получено как поле следующей бесконечной системы изображений: точечные заряды ( — 1) "д~ находятся в точках г„' = 2Вп оси г', проходящей через центр инверсии перпендикулярно к обкладкам конденсатора.
Поскольку мы интересуемся емкостью, нужно найти полный заряд первоначальной системы: 9 = 2 ~~~, 9а = 2 ~~~,, = 9о ~~~, = 9о 1и 2 = ВУ 1п 2. 9„'В, ( — 1)" а=1 а=1 а=1 298 Глава Ш При выполнении суммирования мы воспользовались известным разложением в ряд 1п 2 (см. справочник 190), 0.232). Отсюда емкость С = — = 2а!п2. Я Р Для определения потенциала с помощью формул (Ш.32), (Ш.ЗЗ) запишем г и г' в цилиндрических координатах (ось 2 совпадает с осью симметрии Рнс. 67 с В'ю системы, начало координат в точке касания сфер). Тогда 2' В~г| гз гз — — — ', г = гз + 2 и дла потенциала полУчим г1 2 2 2 Член ~ добавлен для того, чтобы ~р(г) обрмцался в нуль при г — ~со. С 299 $ 3. Специальные методы эеептроопогпипи 217.
Угол 11, под которым пересекаются сферические поверхности (будем отсчитывать его вне проводника) выражается формулами: 2к — ~6з — ~г ~, если сг и сз одного знака, Ф= 2к — ~(г + Я, если сг и Сз разных знаюв. Выбрав центр инверсии 0 на линии пересечения сфер, положив радиус инверсии равным 2а и производя инверсию, получим клин с двугранным углом ф и ребром (ась е'), перпендикулярным плоскости симметрии (гг = = О, к) рассматриваемого проводника.
На рис. 67 изображен случай сг > О, сз < О. При инверсии в точке 0 паавитсл заряд да — — — 2о)г. Как лепв мажет быть показано, угад у = сг, если отсчитывать у от той грани клина, в которую переходит сферическая поверхность ~ = (г. При преобразовании инверсии поверхности С = салаг переходят в палуплосюсти гг' = сопвС, причем 4= 7 — гг при О < гг' < к + у, (1) 7 — гг'+ 2к при к+ 7 < гг' < б (если 11 > к+ 7). Расстояния г и г' могут быть выражены через координаты р, ( точки наблюдении М (при зтом нужно использовать соотношения между декартовыми и тороидальными координатами из задачи 68, а также рассмотреть подобные треугольники ОО'М' и 00'М): 2ое г еягь~: а' (2) Используя выражение для потенциала клина, полученное в задаче 206, а так- же формулы (1) и (2), получим после неюторых преобразований следующее выражение для емюсти: С= 9 = й "('") = 'ь о ь,е ьг аЬ— кь Р вЬ1 + а г'1 ( 2 г 9 зЬ— г р сЬ вЂ” — сав— пС сЬ1 — 1 '"У ' зоо Глава Ш 218.
а) С = — (аш д + д); б) С =2В(1 — — ) ав — В, 11 11 ,Д) 13 С интеграл из решения задачи 217 берется подстановкой е = х. 21р. С й1'Ь- 4'). ГЛАВА 1 эг' ПОСТОЯННЫЙ ТОК 220. .Рэ 1гя — е ' 221. Сопротивление катушки гальванометра должно быть равно внешнему сопротивлению В. 222. В= — г при и=2, =3 2 В= — и при п=3, 13 7 В= — г при и=4. 47 22 223. Введем контурные токи, как показано на рнс. 12. Уравнение Кирхгофа для ячейки ВьАаАа.ьтВа+г имеет вид ла+т + Фь-ьт = (2+ — „) Ра Это линейное разностное уравнение второго порядка имеет два линейно независимых решения: еьа и е в, где вЬ вЂ” = -у —. а 1 В ~ 2 2т' "' 12) 'При выводе этого и ниметлелуюлгнл вырюяении полеэно помнить, что формулы гиперболичесяой тригонометрии получаются иэ формул обычной тригонометрии заменами сова ч сна„мпа ч авва.
Использование соображений симметрии позволяет, например, в случае и = 3 ограничиться всего тремя контурными токами. Зог г л Общее решение (1) имеет вид,р» = А'е" + В'е " . В данном случае удобно, перегруппировав члены, записать (1) в форме ,Уь = АсЬ()7 — й)гг, ,Ф„(В + В + г) — Я„г г = О. (4) Подставив в (4) выражения токов .Р„и а„т из (3) и используя (2), получим после сокращения на А уравнение для определения Д: В сЬпсг+ т/ВггаЬ(п+ — )гг сЬ,бгг— В. Ь +,~В Ь( + —,') (б) Значение постоянной А можно получить, составив уравнение Кирхгофа для начальной ячейки линии: Ро(В+ в +г) — Ртг = б Из (б) после некоторых преобразований находим, что (б) и. ьб + Ж Ь(Р+ -') Окончательно получаем для тока на отрезке АьАь+т линии следующее вырюкение: 8 сЬ(Д вЂ” Ь)гг Вг~Ь)3~+ тЛР~Ь(15+ 1) (7) Входящие в (7) постоянные гг и 13 определяются уравнениями (2), (5). При сухой изоляции г — оо, гг — О и (7), как и следует ожидать, принимает вид: гь = б В, + В.
+ (п+ 1)В' (8) где А и Д вЂ” произвольные постоянные. Определим их из граничных усло- вий на концах линии. Рассмотрим последнюю ячейку. Уравнение Кирхгофа для зтой ячейки принимает вид ЗОЗ Постовввый ток Из (7) и (8) находим для отношения э.д.с. ео и е, обеспечивающих один и тот же ток через нагрузку при сухой и сырой изоляции, выражение: В;сЬ1)а+ ЮвЬ(~3+ -)а (9) Юо (В, + В + (н+ 1)В] с)з~Р и+ 1)а Если сопротивление нагрузки В = О„то уравнение (5) упрощается и из него в зтом случае следует, что )3 = и+ —. 2' (10) 224. Если У(х), у(х) — ток и потенциал жилы (относнтельно земли) в сечении с координатой х, то ~р(х) = -р —, от = -р —, ~ Н.Ф ~Ф АУ Р йх ' сЬ' йхз р' = — У. ггб. К сЬ в(х — хо) от(х) = В~ сйвхо+ т/рр'вйвхо где в = —,. Постоанная хо определяется из уравнения Г~ СЬв(хо — а) = —. В яг (2) При В; = Во = О Ю ей в(х — хо) ~/рр' вп ва При использовании формулы (7) нз решения задачи 223 нужно положить Р х а В=РЬ г=й,.
й=а и=а. Если нет утечки, то р' — со, хо — ~ а, в — О и вдоль кабеля ток принимает постоянное значение: К В;+ ра+В Тогда из уравнения (2) решения задачи 223 следует, что гг = з 4х. Величина 12 в зтом Решении свЯзана с Яо соотношением 13 = — е, так что )уа = коз. Йе' Подстановка зтих выражений в уравнения (5) и (7) решения задачи 223 приводит к приведенным вьппе формулам (1) и (2). 226. Хзк Х162 + хам Х1У Х1112+ Х2111 21 =22 = Х1 На границе раздела между пластинками: Ез — Е1 хз(е1 — 1) — Х1(ез — 1) и„— — и— К 4я 4 (Х1лз+ хзь1) ,Рз — Р1 (Язхг — багха)У 4к 4я(Х1)12 + хз)11 ) Величина У больше нуля, если первая пластинка прилегает к положительно заряженной обкладке.
У границы обкладки и первой пластинки: Е1 — Р1 а„= 4я Р1 о= —, 4я' У границы обкладки и второй пластинки: Ез — Рз пм =— 41г Рг и= — —, 4я' 227. 1К,81 х1 1 12 хз' где Д, )32 — углы, образованные раздела в первой и второй среде. Е1Х2%' Х1 62 + хз И 1 егхй' Х1112+ хзл1 Х1 ха У Ьз+ Х261' линией тока с нормалью к поверхности 305 Постояннмй ток О (~ г ( а, яазх ,Ук 1и '- Ь а(г(Ь, яа~х1п а Ь О, г>Ь. Из этой формулы видно, что злектричесюе поле в пространстве между проводниками не направлено по оси ж Наличие отличной от нуля радиальной составляющей электрического поля Е„говорит о том, что на цилиндрических поверхностях проводников имеются поверхностные заряды с плотностями е.Фк О'г =— 4я ~г=, 4 газ )па' Ь еЕ, еУк ггэ =— 4 г ь 4'аэЬ«) й Ь Ъ" — Е„г)г — —— .ак азх а соотношением Дг 1 = сопвС.
Ъ 2 )п Ь а Отношение дэ/У совпадает в данном случае с емкостью на единицу длины цнлнндричесюго юнденсатора в электростатичесюй задаче. Магнитное поле имеет, очевидно, тот же внд, что и поле бесконечно длинного прямого провода с током У. Зто обьясняется тем, что плотность тока в бесконечно толстой оболочке равна нулю, вследствие чего обратный ток не создает магнитного поля. 229. Ео = — )с(хз1э+ хА)йо Ег = )схзйо Ез = )с«1йо где )с— 1д1«о«г1э + «о«э1д + «г«э1о) При к = О плотности аг и аз обращаются в нуль.
Положение сечения, на котором тг = аз = О, не является определенным. Зто сечение может быль смещено, если на провод поместить добавочный постоянный заряд. Заряды дг = 2яаа1 и дз = 2яЬоз = — ды приходяшиесв на единицу длины провода н оболочки (при одном н том же я), связаны с разностью потенциалов между ними в г л ао = .Е 1о — э.д.с. источника. Внутри нето электричесюе поле направлено противоположно току (Ео ( О). Заряды, создающие это электрическое поле, возникают на границах раздела проводников с разными проводимостями и могут быть определены с помощью граничных условий; например, заряд на границе 01 равен ='л аког = — (Ет — Ео). 4 230. Рассмотрим, например, поток энергии через поверхносп 0-го проводника, в ютором действует э.д.с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
