В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Выберем цилиндрическую систему координат, ось г которой совпадает с осью цилищ~ра (рис. 52). Вместо условия ((в~ = сопят на поверхности Я цилиндра удобнее ис- М пользовать вытекающее из него усло- а~~ вне ~~ =О. В результате дифферен- да ~л цирования получим гг(хг Вз+ хгз — 2Нхз сова Вз + хг з— 2Вхз соа а Рас. 52 Освободимся от знаменателей и приравняем по отдельности члены с сова и без него. В результате получим, что при ггз = мг эквипотенциальной поверхностью будет любая цилиндрическая поверхность, ось которой параллельна заряженным нитям и лежит с ними в одной плоскости, а радиус УдовлетвоРЯет Условию Вз = х1хз. ПРи х( = О сУществУет Рещение гвз = О.
Этот случай соответствует цилиндрическим эквипотенциальным поверхностям в поле одной нити. 263 Лоскктккое электрическое каке в вакууме 118. Воспользуемся рис. 53 Радиус В искомой сферы и положение ее центра определяются уравнениями 22 42 2 22 2' 2 В = 2222, 2 Потенциал на поверхности этой сферы равен нулю. — ог — Ог ~гР ч~ т ч~р+ч~ г = — 4Я44(г) + -„— ~г~ г ) = = — 4к46(г) + Таким образом, имеется точечный заряд 4 в начале координат н сферическн симметрично распределенный объемный заряд с плотностью р = —, ) рог = — д. Рнс. 53 2 оо 2г 2 И1. У = 3 "г'р(г) ггк' = — ео ) ге 4яг(г = — ~.
ка~ о 123. У = ~'~, Г = ~'~. И4 В алка 125. У = ~ ~ х'хэ гй' о'2 чгчз )' (' аЫ 41 4к~аЬ с о сэ+аэ+Ьэ — 2аЬсов(аг — аэ) где интегрирование выполняется по всем элементам обоих колец г(12 и Жз, сгэ и сгз — углы, указывающие расположение элементов. Интегрируя по г(сгз ИО. Точечный заряд еа в начале координат, окруженный объемным 2г зарядом с плотностью р(г) = — — е '.
Такой внд имеет распределение ео каэ заряда в атоме водорода (ср. с задачей 83) Глава 11 и делая замену аг = гг — 2а, получим У = — К(й), аьй '~/й 2йг — = — — К(й) г (й) (й) И(йг) 1 — йг г 1, р Вю1, сов, д л(ц = 1Л:тглш,ь — а о зллиптический интеграл второго рода. Окончательно, д дгсйз 4к(аЬ)зу ЕЯ 1 — йг Зст(Р ° г) ОР ОР х 1 ГВ 13' Гз в1а д1 внт дг сову — 2 сов д1 сов дг 127. и = ргрг ~( р ) 1 л(г р ) у угол между плоскостями (г р1) н (г,рг), 81пд18, дг .у 2 д1совдг Г = ЗР1Рг Сила максимальна при д1 = дг = у = О, т.е. при параллельных диполях.
128. 11гг = 1 Р(г )уг(г)ггпу' = 2 аьвХг 1ь„(д',ск)сЬ" = г — К(й) = 1 ,/Рт7,'+ос у я:щР; о — полный зллиптнческий интеграл первого рода. При вычислении силы Р = — — = — — — нужно воспользоваться аи Игай д дйдо формулой Гллвл Ш ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ И ДИЭЛЕКТРИКОВ 91. Основные понятия н методы электростатнкн 2 о 2Е1 Яг 2Ез ЯЕ 129. у1 = ссз = -„13, = — „и,= г е,+е 1.з е,+е тз 21г сг 13О Ф1 =уз=уз = ез аз + езаз + езаз 13 = е1121 + е2а2 + езегз т ОЕ1 сг1 = 21газ(е1 + ез) ЯЕ2 Оз = 2заз(е1+ ез) ч( — 1) СГ1св = 1 2заз(е1 + ез) Я(ез — 1) а2св = 21га (е1+ ез) 132. С= [(' ) +1] "с .
131. Граничным условиям (сл = солят на поверхности проводника и ~р = О при е -+ оо) можно удовлетворить потенциалом вида 12 = —; по- С. стоянная С определяется из условия у .0„сзо = 4яа, С = . Отсюда 2 Е1+ЕЗ находим распределение поверхностнйх зарядов: 2бб Глава Ш Ч е1 1 Я ез 1 я г1 11 авсв — З' ~ аьсв — З' г ассв — ( )~ 4хаз сз 4хбз ез 4хсз ~аз ез! где г1 — заряд внутренней обкладки юнденсатора. Полный связанный заряд в юнденсаторе равен нулю. 135.
Емюсть юнденсатора еоЗ 4хо)п2' Поверхностная плотность смзанных зарядов асв = -а(1 — — ~ при х = 0 со У асв = а(1 — — ) при х = о. 1 2соУ ао ао(х + а) (а = еЪЯ4з.а 1п 2) — заряд обкладки при х = 0). ~о~ 8х 8хс1з .0з 1 — = -Уо 8хе и'= — =Уо юг еЕз — = сУо 8х (е'~) 2 8х =е Уо а) б) Уо= (жидкий диэлектрик), (твердый диэлектрик); (жидкий диэлектрик), в) (твердый диэлектрик). Связанные заряды находятся в местах неоднородности диэлектрика т.е. на сферах радиусов а, Ь, с: 1 1. Основные понятия и методы элентроетатини 267 137.
а) Е= Ь[еай1 — (е — 1)йях]з говорят о втягивании дизлектрика в конденсатор (координата х стремится уменьшиться). 138. Сравним давление в точках А и В жидкости (рис. 54). В точке В давление равно атмосферному р . Давление в точке А можно найти двумя способами. С одной стороны, по формуле (1П.25), рл = р + —,~— е ( -= =-) здесь р = ро, Е = — ).
С другой стороны, ря отличается от давления ь'1 8 у поверхности жидкости в конденсаторе, определяемого формулой (Ш.23), Рис. 55 Рис. 54 на величину гидростатического давления гдп, ря = тдл + т — —— Е ое 8и дг — Е + р, . Сравнивая, получим 8и Ь= — Е. е 1 з 8кдт 139. Теизормаксвеллова натяжения Т' направлен так, что злектричеЕз скос поле Е делит пополам угол мезкду и и Т'„(рис. 55). ~Т,',~ = м = е ри обойорие ац ощад Ср ц о ое а е ет"= 8'"Й имеет всегда характер «отрицательного давления» — оно направлено вдоль нормали и к плошлдке.
248 Глава Ш 140. а) Введем цилиндрические координаты, как показано на рис. 5ба. На плоскости ху поле имеет радиальное направление, его величина Е = . Для вычисления силы Г, действующей на один из заря- 2ег в(г~ + аз/4)ззз дов, например, на левый, нужно просуммировать напряжения, приложенные к элементам 4Я этой плоскости со стороны, обращенной к другому заряду: е 2 Тл аЯ = — ~ Ез г($ = — — ° " 4Я, 8Я 2Я (гз + аз/4)зез если воспользоваться максвелловым тензором натяжений. Отсюда Р,= Т,Б= — — еЧ ~ 1 з гз2ят йг Ч 2я / ез(гз + аз/4)з еаз' о Именно такое значение обычно принимается для силы„действующей между зарядами в однородном диэлектрике.
Однако, если провести то же самое вычисление с полным тевзором натяжений, то сила будет равна Гл + ЬР„ Е, а) Рис. 5б где Гьгл = йзе за зг — "в полУчаетсЯ за счет стРикционного члена. Но в те- дт ории, учитывающей электрострикционные натяжения, нужно также учиты- $ Е Осноеные нонявая и меводы эяеюнросвавияи 269 2'и ~БЕ = — и* Я з Рассмотрение стрикционных натюкений опять не дало бы ничего нового из-за гидростатической компенсации. 141. уо = где д — ускорение сипы тяжести. + о (ег -ея) о е1т1 е1(е, +е ) „з' 2 Ч 'т' ~Р2 е1 + ез 142.
При е >0 при з(0 143. осв = (ез — 1) — — (ег — 1) — ] = е ' 4л ~ де дг 1 я=с 2лтз е|(е1+ ез) где ° =тЗт~Р~"= ) =,=и), При ез — оо получаем случай точечного заряда 9, находящегося в днЧа электрике еы у границы с плоским проводником. При этом т„ 2лт~е1 вать явление втягивания жидкости в поле и связанное с этим повышение гидростатичесюго давления в жидюсти на величину Ьр = — —, согласЕ где 8л дт' но (Ш.25). Результирующая гндростатическая сила ЬР,„=— Ятде езаз дт = — Ьг,. Полная сила взаимодействия зарядов Р, + Ьг', + Ьгв = — —, еа совпадает с той силой, юторая получается без учета стрнкционных сил и представляет собой, таким образом, результирующую электрических и механических снл. 6) Те же результаты получаются, если рассматривать действие натяжений на поверхности малой сферы радиуса В с центром в той точке, где находится заряд 9, испытывающий действие силы (рис.
566). Введем сферические координаты и рассмотрим максвелловы натяжения Т' = е ) Еń— и 1 2 о — — Езет~), где Е = Ег + Ез, Ег = е„— поле заРЯда, испьпывающего действие сипы, Ез = ~, (ее ею д — е„саад) — поле второго заряда, которое еа' можно рассматривать как однородное, так как расстояние между зарядами а» Л. Просуммировав натюкения, приложенные к поверхности сферы, получим 270 7 лаев Ш 14Е р Е1 Ез Ч1 + Ч1Ч2 е1(е1 + ез) 4а 2(е1 + ез)а Ез — Е1 Ч2 Ч1 42 е2(е1 + ез) 4аз 2(е1 + ез)а' Неравенство сил, действующих на заряды Чз и Чз обьясняется тем, что зти заряды сами по себе не образуют замкнутую механическую систему; имеются еще связанные заряды на границе раздела диэлектриков. Векторная сумма снл, приложенных к этой границе и к зарядам Ч1 н Чз, равна нулю, как и должно быть.
146. Если полохапь в металле Ч1 = О, то в диэлектрике Ч2 = Ч/ег1— — Ч/егз (см. рис. 10: заряд Ч в точке А, заряд — Ч в точке В; ез = е, ез = оо). Член — Ч/егз, обусловленный наведенным зарядом проводника и связанными зарядами диэлектрика, имеет такой вид, как если бы он описывал поле точечного заряда — Ч/е, находящегося в точке с координатой е = — а. Заряд — Ч/е называется изображением заряда Ч/е относительно плоскости е = 0 (множитель 1/е учитывает влияние диэлектрика). 2 Я'— 4азе Ча а= — —, 2зтз ' где г — радиус-вектор в плоскости з = О.
Эта предельная плотность на самом деле представляет собой сумму плотностей связанного заряда на границе диэлектрика и свободного заряда на поверхности проводника. Ч Е' — Е2 4а е1(е1 + е2) При е1>ез заряд отщлкивается от границы диэлектриков, при е1<ез— притягивается. Заряд, находившийся вначале в среде с большим е, отталкиваясь от границы, стремится уйти на бесконечность. Заряд, находившийся сначала в среде с меньшим е, притягивается к границе, пересекает ее и затем, будучи уже в другой среде, отталкиваясь от границы удаляется на бесконечность.
(Сказанное будет справедливо только в том случае, если пренебречь силой чтения, действующей на заряд со стороны среды.) Приведенное значение силы Е можно получить разными способами: а) рассматривая взаимодействие двух точечных зарядов Ч' и Ч"; б) вычисляя силу, действующую на точечный заряд со стороны вязанных зарядов, наход1плихся на границе раздела диэлектриков; в) с помощью тензора натяжений Максвелла. В последнем случае удобно рассмотреть натяжения, приложенные либо к плоскости раздела диэлектриюв, либо к поверхности малой сферы, окружающей заряд.
1 1. Основные нонявня н меводы элеюнроевовнлн 271 147. Поле внутри двугранного угла создается системами зарядов, изображенными на рис. 57. Рис. 57 148. Пусть диполь находится в точке (О, О, л). Если проекции диполь- ного момента р на оси х, у, 2 равны раша, О, рсова, то проекции его изображения р' на те же оси будут — раша, О, р сова. (р ° р') гз — 3(р ° р) (р' ° г) рз 2егз 1622е р (1+ 2 ) )г,г Зрз р яп а 1бяае ' 1бязе При любой ориентации р диполь прнппивается к плоскости. Вращательный момент 1ч) стремится установить диполь вдоль положительного или отрицательного направления оси г (а = О,тг). Момент Ж = О также и при а = н, но это положение равновесия неустойчиво.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
