В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Если поворот производится на нулевой угол (тождественное преобразование), то ~Й( = ~Ц = 1; поскольку элементы матрицы Й являются непрерывными функциями параметров, задающих поворот (напрнмер, углов Эйлера, см. ответ задачи 17), то и при повороте на конечный угол ~Й~ = 1. При отражениях определитель ~Й~ имеет вид ~1 0 0 0 ~1 0 0 0 ~1 1Й! = Знак минус имеют те диагональные элементы определителя, которые соответствуют отраженным осям. Ясно, что ~Й~ = +1 при чепюм числе таках осей и — 1 при нечетном их числе. 24. Из 27 величин есы отличны от нуля только шесть. Остальные имеют хотя бы два одинаковых индекса и в силу антнсиммстрии обращаются в нуль (епь = — ень = О). Отличные от нуля компоненты равны егзз = езгз = еззг = — еззт = — ещз = — егзз = 1.
/ с ггз;гзыггз~есм = — гги гззепз~еьп = — е~гз = ешз Из этих равенств видно, что е;ы преобразуются при поворотах как тензор П1 ранга. При отражениях величины е;ы не меняются, поэтому совокупность их образует аксиальный тензор 1П ранга. Он обладает любопытным свойством: его компоненты во всех координатных системах одинаковы. 25. Запишем тензор Ам в виде таблицы: / 0 Агз — Аз~'1 А» = ~ — Азг 0 Азз Азг — Агз 0 Составим выражение амаззгзме;ы.
Вспомнив определение детермянанта третьего порядка и используя определение е ы, запишем это выражение в виде амгггьсгме;ы = ~Й~ = +1 = е',зз. Переставив теперь слева два индекса, например, 1 и 2, получим З 1. Преоброзованкв векторов и тенэоров 245 Обозначим Агз = Аы Азг = Аг Агг = Аз. Эти три равенства можно записать как А; = -е;мАы, где ещ — совершенно антиснмметричный еди- 1 ничный тевзор 1П ранга, введенный в предыдущей задаче. Но поскольку е;и является тензором П1 ранга, а Аы — тензором П ранга, величины А~ (1 = = 1, 2, 3) образуют вектор.
А; называется вектором, дуальным тензору Апо 26. (А х В); = ещАьВО гоге А = ещ —. А х В и госА можно дА1 дхь рассматривать как антисимметричные теюоры 11 ранга нли как дуальные нм векторы, юмпоненты юторых не меюпот знака при отражениях (псевдовекторы). 28. а) аг(Ь ° с) + (а ° Ь)(а ° с); б) ((а х Ь) х с] ° 1(а' х Ь') х с'). 30.
(а а')(Ъ Ь')(с. с') + (а Ъ')(Ь. с')(с и') + (Ь. а')(с ° Ь')(н с')— — (а с')(с а')(Ъ Ъ') — (а Ъ')(Ь а')(с.с') — (Ъ с')(с Ь')(а а'). 31. Проведем доказательства для вектора и теюора П ранга. а) Так как юмпоненты вектора по условию должны быть олинаковы во всех системах отсчета, то ~Ри любом повороте А,' = ао т.е.
Повернем систему юординат вокруг оси з на угол я. Из формул преобразования компонент вектора при вращениях А', = ац,Аь получим, что А~,=-А*, А~,=-Ак, А~ =А.. (2) Равенства (1) и (2) совместимы только в том случае, если А = Ав — — О. Произведя поворот вокруг оси х на угол я, точно так же докажем, что А, = О, т.е. вектор А = О, если его юмпоненты не зависят от выбора системы отсчета, что и требовалось доказать. б) Любой тензор П ранга можно представить в виде суммы симметричного и антнснмметричного тензоров: 2ва = Яы + Апо Антисиммстрнчный тензор эквивалентен нежпорому псевдовектору (см.
задачу 25) и, в силу доказанного выше свойства вектора, его юмпоненты не зависят от системы отсчета только тогда, югда они равны нулю. Поэтому рассмотрим симметричный теиэор огь Выберем систему юордннат, в которой Ягь имеет диагональный вид Лрдбы. Если ЛРО не равны друг другу, то юмпоненты тензора будут зависеть от выбора осей, т.е. от того, каюй цифрой (1, 2 или 3) обозначена даннаа ось. Только при ЛОО = Л(г1 = Л(з> = Л юмпоненты тензора не будут зависеть от выбора осей. При этом тензор будет иметь вид Лбы, что и требовалось доказать.
Глава 1 32. Исюмые средние значения равны соответствующим интегралам: йз = — з и бй 4п,/ йапь = — папа с(й .. 4н,( (2) Для определения Л свернем' тензор по двум значкам: 1 и;и;=из=1=3Л Л= —. 3' Рассуждая аналогичным обрезом, найдем иаиьтч = О, пчпвпзи = 1б(бзабз + бпбь + бз бвз). 1 (3) 1з112з2 33' 3 ' за'Ъ' за' за ' за'Ъ' — ](а Ъ)(с с!) + (а с)(Ъ ° т1) + (а ° с!)(Ъ с)]. 34. и ° и', (и х и') ° !.
35. и ° 1, и 1, пз (пз х пз). ' Под операпиеа свертывания тензора понимается суммирование тензора по двум одинаковым значкам. Однако вместо прямого вычисления интегралов в этой задаче удобнее применить другой метод, основанный на использовании трансформационных свойств рассматриваемых величин. Очевидно, что величины йе, йзпь и т.д. являются тензорами соответственно 1, П, 1П, 1У рангов.
С другой стороны, из их определения (1) следует, по эти величины должны быть одинаковыми в любой системе отсчета. Поэтому они будут выражатьсн через такие теизоры, юмпоненты которых не зависат от выбора системы отсчета. Рассмотрим с этой точки зрения и;.
Посюльку нет вектора, кроме нулевого, юмпоненты юторого не зависели бы от системы отсчета (см. задачу 31), то йз = О. Тензор йапь должен выражаться через симметричный тензор П ранга, компоненты юторого одинаковы во всех системах отсчета. Таким тензором является толью баь. Поэтому можно написать 247 ф 2. Ведшорный аноднз 92. Векторный анализ Зб ~~э = ~ — е ~в1пд — + — — ~ 1 ига~ д совд д $ дт т/2 дт " дд гвшдда)' зУо = совд —— д в1пд д д, т дд' 37. 41иг=з, госг=о, $7аг)(1 ° г) =1, (1 Ср)г=1. 38.
гос(ш х г) = 2оз. 41. кгаб/р(г) = ~~/р/ дди/р(т)г = 3/р+ г/р/; гоС/р(г)г = О; (1 Сг)и ( ) = 1з + ' „' в '. 42. /р(г) = ~~1. 43. дпт(г ° а)Ъ = а ° Ь, гоС(г ° а)Ь = а х Ь, д1и(а ° г)г = 4(а ° г), гоС(а г)г=ахг, бди(ахг) =О, гоС(ахг) =2а, д1т//р(г)(ахг) =О, гоС/р(г)(а х г) = (2оз+ и/р')а — — „ /р/, 61т/г х (а х г) = — 2(а ° г), г(а г) гоС г х (а х г) = З(г х а). 44. раг1А(г)г = А+ г(г А'), Згаг(А(г) В(г) = г(А' В+А В'), l би /р(г)А(г) = ф(г А)+~„(г А'), гоС/р(т)А(т) = ~„(гхА)+~(гхА/), (1- Ч)/р(г)А(г) 1 ° г(/р/А+,рА ) 45. — ктвд( ~ — ) = гоС~ — ); проекции этого вектора нв базиср р ° и'т ~ р х г'т гв ) — ~,.а ) ные орты е„, ео, е равны соответственно Зрсовд рвшд О.
Векторные линни образуются пересечением двух семейств поверхностей: св = Сы и = Сз вшз д, а также особое решение д = О, и.. 'Здесь н двдее в этом параграфе штрихом обозначено дифференцирование по т. Глава 1 248 47. (ДА)„=ДА„2А„2 д(. дАв) 2 'А-, т т2 т2вшд дд тзв1пд дгг Ав 2 дАу 2совд дАа тзвш'д т' дд тзвш'д дп ' (ДА) ДА Аа + 2 дА + 2совд д в тзв1пгд тзвшп да тгв1пзд дп 4а (д ц) дА в а А„ 2 дА. тз дп А 2дА, (ДА)а = ДА — — + — — ', тз да' (ДА), = ДА,. 49.
] (8гвг1 22 ° гоФ А) 4У = у'(А х йтаб у) аЯ = / у гог А Ж. 50. Здесь, квк и в ряде других случаев, удобно рассмотреть скалярное произведение интеграла на произвольный постоянный вектор с: с ° г(а ° п) вИ = (с ° г)а„аЯ = йт[(с ° г)а] НУ = = (а с) НУ = (а с)У. Посюльку с — произвольный вектор, то отсюда следует, что, ) (а ° п)г сБ = = аУ. Таким же способом получим у(а г)п ИЯ = аУ. 51. у глрд$ = ] йтвб~рНУ, у(п х а)сБ = ['гоСаЫУ, у(п Ъ)аад = ](~7 ° Ь)ааУ = ](Ь ~7)аАУ'+ 1'а(гйтЬ)пУ. 55. Используя метод задачи 50, получим у'<р41 = )'(п х йгабу) вБ, и — орт нормали к поверхности.
56. 1'(8гвг)и х бгвк11) ° ипЯ. 61. в) А+ —; б) А+ В1пей —; в) А+ Ва. 62. в) А+В шт; б) А+Вгв; в) А+В.в. 249 $2. Веаворный анализ 1 (с+а )(г1+а )(ь+а ) г (Ьг — аг)(сг — аг) 1 (б + Ь')(9 + Ьг)(~ + Ь') (сг Ьг)(аг Ьг) 1 (~+ сг)(ц+ сг)(~+ сг) г (аг — сг)(Ьг — сг) Мà — ея — с ~% — сь — с Й вЂ” Ом — е 2Вс ™ 2В„' 2Вс 4 а о 2 = ~(у-~)В,— (В,— )+ +К-б)„ ~В„'~)+(б- 1)В,~В (В,'~)], где В Из формул (1) видно, по каждой тройке значений б, В, ~, соответствуют восемь троек х, у, г.
Убедиться в ортогональности эллипсоидальной системы координат можно, найдя йтаг(б, ягабп, бпи(~ и составив скалярные произведения лгал с. лгал и и т.д., которые оказываются равными нулю. лгал б, дгаб д, бган ь можно найти непосредственно вз уравнений, определяющих б, и, ~, беря градиент от обеих частей каждого из этих уравнений и используя (1). 1 г г [(б+ 'Пп+ ')1г Г(б+ ')(и+ ')~г. с — а 1 1 а — с 1Л:9 Ь 1Л:6 Ь 1=2 В ~ я=2 В ~ з=г1 250 Глава 1 2 1 а з Х [(6+а )(~+а ))з ((с+Ь )(~+Ь )1з ~Е 67. Ьз = Ьз —— аа— сЬ 4' — соз о ' сй (' — сов о ' (сЬ~ — соко)з аз ~дс ( спз — соко дс) + 1 а~ з1пн д~ д1 зшцдд~ с)гС вЂ” созпдН/ з.пзп(с~( — сова) даз)' 68.
Поверхности р = сопев — таранды: (т/ха+уз — ассар)в+ за = ( а ); вЬр поверхности 4 = сопвс — сферические сегменты: (» — агась() + х'+ р~ = ( —,); в!ос а авЬр й, = й, = Ьа спр — совс' сЬр — созс 252 1зава П 73. «р = — 2Ыпт, Е = ~~, где зг — заряд на единигпг длины. Произвольная постоянная в потенциале выбрана так, что «р = О при т = 1. *- «-д':дг«*«««' 74. «р(х,д,з) = — — )п ° -;,/«р* ° «' «Н~~7 75. Введем обозначения 21 =2+а, 22 =за тгд = х +1г +212, С= 2 2 2 22+ тг Из результата предыдущей задачи следует, что С+1 т1 + тг = 2а = сопяь С вЂ” 1 (нуягно учесть, что «1 — 22 = 2а).
Равенство (1) показывает, что зквипотенциальные поверхности представляют собой зллипсоиды вращения, фокусы которых совпадают с концами отрезка. Вз Ег =— зт „з 77. 221(т) = й, Е1 = О (т < В); «рг(т) = т, Е2 = Ез (т ) В). 78. Электрическоеполе в полости однородно: Е = — ярг — -ггр(т — а) = -яра. 4 4 4 3 3 3 79. 9 =4яа(В2 — В1); Е1 =О, згг= 1и — при т<В1, 9 Вг В2 1 1 Ег= г, грг= ~1 — )п — — — ~ при В1 < 1' < Вг,' Ч(т В1) я г т В11 (В2 В1)т В2 В1 В2 Ез «2«з — прн т < В2. Я. Я т т 76. «рг(т) = — ~ —— е/3 ВЬ Рг(т) = Р гг (т < В); (т > В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
