В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 47
Текст из файла (страница 47)
149. Введем полярные координаты, выбрав полюс в центре сферы и ось 2 'й Ео. Потенциал можно искать в виде ряда по полиномам Лежандра 'Множитель — в выражении У возникает елвгодара тому что поле Е дипольного мо- 1 l 2 мента р' пропорционально р. При увеличении р на Ир 1н неизменной ориеитшши) знергнв Р взвимодейетвив возргегает на г)У = — Е' пр, откуда У = ( 4У = — -(Е' р) 1ер. е решением о 2 шдачи ! 66).
272 Глава!П (ср. с решением задачи 153). Окончательный результат: 3 2 у1 = — 2 Естсовд при т < а, в1 + 2в2 122 = — Естсовд+ 2 Ееа при т > а, в1 в2 3 совд в1+ 2вг тг Внутри шара получается однородное электрическое поле, напряженность которого Звг >Ее при вг > вы 1= в1 + 2вг <Ео при вг < в1. Вне шара на внешнее однородное поле Ео накладывается поле электрического диполя, момент которого З В1 в1+ 2вг 3 вг-вг 4 +2 7Г В1+ В2 р„= О. Легю понять причину такого распределения зарядов, представив себе каждый малый элемент полярюованного дюлектрика в виде элементарного диполя. 150.
Для диэлектрика с неизменной поляризацией Е = Я~ (см. задачу 104). Для обычного диэлектрика 12кв (2в + 1)(в — 1) 151- Ф= — Ео г+ з (т> Е) где р = ВзЕо, Вз — поляризуемость шара; а = — Еосовд. Зво 4к Это вторичное поле вызвано связанными зарядами на поверхности диэлектрического шара: $ 1. Оеиоеиые иоиятия и методы элеяеросеавиии 27З 152.
Силу Р, приложенную к заряду с,можно найти, помножив ог на напряженность поля, созданную вторым зарядом дз в полости, где находится сп Так как полость мала, поле в ней будет однородным с напряженностью, равной ЗеЕс 38 2е + 1 (2е -1- 1)аз где Ео = — з — однородное попе в окрестности полости. и еа Отскща Е= 'Р, (2е+1)аз Эта сила отличается от той, которая дейспювала бы между такими же зарядами в однородном жидком диэлектрике с тем же значением е (см. задачу 140). Если бы мы аналогично задаче 140 попробовали найти силу, приложенную к плоскости симметрии, то получили бы при учете толью максвелловых натая М 3 ц ч женин значение силы Е~ = —, отличающееся 0 еа д) как от силы Г, приложенной к самому заряду, так и от полной электрической силы натяжений (не учтен стрикцнонный член, имеющий сложный вид в случае твердого тела). Такая же си- — о' ла будет действовать на любую область диэлектрика, охватывающую полость с заключенным (г+я' в ней зарядом.
Часть этой силы при- + (2е+ 1)а ложена к точечному заряду с, другая часть Е' = (2 — 1)ч' + = х — — к связанным зарядам, нане- + + + + (2е+ 1)а~е денным на поверхности полости. Рис. 58 153. Выберем полюс сферической системы координат в центре шара (рис. 58), полярную ось проведем через точечный заряд. Будем искать потенциал в форме ~р(г,д,а) = — „+~~~ (а~ г~+ — )гт (саад)е', (1) г~+~ где гз — расстояние от д~ до точки наблюдения. Ряд, входюций в (1), очевидно, описывает поле зарядов, индуцировавных на шаре. Это поле должно 274 Гласа Ш исчезать на бесконечности, поэтому а~ = О. Вследствие симметрии потенциал не зависит от угла а, поэтому члены с ш ф О также отсутствуют.
Оставшиеся константы Ь! ьз Ью определим из граничных условий. В случае а) потенциал шара у(В,д) = Ъ' = сопас. Воспользуемся разложением для — „, из задачи 96: ч ~д(В,д) = ~ ~~,~, + —,,1Рз(саад) = К Ь В сВ ~ гВз ~'Р~(саад) + г еаза ~а/ щ ~=о (2) Теперь находим плотность зарядов, наведенных на поверхности шара: о(В,д) = — — — ~ = — — — ~ (2(+1) — Р~(сааб). (3) е схР~ еУ Ч В'+з 4к дг ~ =и 4хВ 4к а'+' ~=о В случае б) потенциал г' неизвестен и должен быть выражен через заряд Я шара.
Очевидно, Я = 2 (В,д)В ~шдад = ~Г — —, 2 ° 9В откуда У = — + —. Используя задачу 96, можно записать (2) в виде: Я с еЯ еа' 9 +9+1 63 1 яг егз' (4) Вз 1 а'= а я =Ч вЂ”, гз= В а' Таким образом, потенциал точечного заряда и заряженного шара в области г ) а сводится к потенциалу четырех точечных зарядов, расположенных на оси симметрии: заряда 9 на расстоянии а от начала координат и трех его изображений — зарядов Я и 9' = 9 — в начале координат и заряда — 9' в Вз гармонически сопряженной относительно поверхности шара точке а' = —. Вз[+ 1 Отсюда Ь| = — ~ при ее+' шара ~( й) = ,— „, 9 ( г= О, Ьс = Ъ В вЂ” — „, так по потенциал вне Ь 1. Основные нонян1ия и ме1ноды эееян1росн1он1няи 275 Рис.
60 Рис. 59 Если шар нейтрален, то член с Я отсутствует. Если шар заземлен (Ъ" = = О), то потенциал принимает вид Ч Я 'Р = ЕГ1 ЕГ2' (5) 154. у(М) = — „— —, + Ъ' (рис. 59), где С Л 1 Я 9 =0 —, а= —. а' а' 155. у(М) = — — — „, + — — —,Ъ' (рис. 60), где са 1 аз д'= —, Ь'= —.
Ь' Ь' Заряд на выступе равен 156. 91 = 912 = — — вне шара, 91 = 912 = — — в проводнике, ч Я Е1'1 Е1В1 91 =— 912 = — — — + — — в полости (рнс. б1), где я я ч Е2Г1 ЕЕГ2 Е1Я1 9В2, Кд 2 д= —, а= —. а' а' Заряд — 9' описывает действие зарядов, индуцированных на блихайшей к 9 стороне поверхности шара. Знак этих зарядов, очевидно, пропшополо1кен знаку 9.
Заряд +д' описывает действие зарядов одного с д знака, индуциро- ванных на удаленной от 9 части шара. 276 1лава!П 157. уг(г,д) = а 2 г, Р1(совд) при г ( В; 1 с 1е1 + (1 + 1)ез а1+ с ез — е, 1 Вм+1 Р1(ссвд) Р2( ~ ) Е211 1 Ез ~ 1Е1 1 (1 1 ЦЕ2 1-11 И-1 где г1 — расстояние от 11 до точки наблюдения. Здесь потенциал не мо- Рис. 62 Рис. 61 жет быль представлен простой системой изображений, в отличие от случая проводящего шара. При е1 — оо получим результат задачи 153. и е1 — ез ч 1+ 1 а11'1 е11+ез(1+1) В"+' 1=0 1сз = д,» — Р1(совд) при г > В, 21 + 1 а' Е11 + Е2(1 + 1) 1'1+ где г1 — расстояние от точки наблюдения до заряда 11.
При а = О, Ч 1' Е21 Ч Ч У1 = — + 1 — — — 'Рз = —. Е11 Е1 Е2В Е21 $ Е Осиоеиые иоиятия и методы эееиеросеамиии 277 159. Обозначим поверхности внутренней и внешней сфер соответственно через Яг и Яз и положим потенциал внешней сферы равным нулю.
Удобно решать задачу в сферической системе координат с полярной осью, направленной вдоль линии, соединяющей центры сфер, н с началом координат в центре внутренней сферы(рис. 62). В этих координатах уравнение поверхности Яз запшпется в виде г = а. Чтобы получить уравнение поверхности Яз, заметим, по из треугольника 00'А следует: 1 Ь Из (1) с точностью до членов первого порядка по с находим уравнение поверхности Яз.' Я(д) = Ь+сР ( д), (2) р(г, д) = (Аг + — „) + с(Азг + — з) соя д, (3) где А, и В; определяются из граничных условий: ~р! = сопят, ~р! = О, у — НЯг = — 4яд. 7' д~р Окончательно: ~( ) 3 3( з) Отсюда плотность заряда на внутренней сфере: Зфс о= —— ссе д; 4таз 4т(оз оз) где Р|(соад) = соад.
Член сРг(сои д) = ссозд в (2) описывает отклонение от сферической симметрии, которое обращается в нуль при с -+ О. Естественно искать потенциал в виде разложения по сферическим гармоникам (см. приложение 2), ограничившись первыми двумя членами. При этом второй член, учитывающий отклонение от сферической симметрии, должен быль пропорционален с. Итак, положим 278 Гласа П1 сила, действующая на внутреннюю сферу: сс Ьз — аз 16О ЛС азьзсз (Ь вЂ” а)2(Ь вЂ” а ) 161. При увеличении заряда д на Ио энергия У его взаимодействия с шаром возрастет на йУ = уЧд, где ~р' — потенциал индуцированных на шаре зарядов. Но этот потенциал сам пропорционален 62 З2' = сопаС ° д. Поэтому ,((7 сопзс 2 1 2 2 о Если бы величина <р' не зависела от д (потенциал внешнего пола), то энергия взаимодействия была бы вдвое больше (У = = ~р'о).
Используя (1) и результаты задачи 153, получим ~зд 2е(а2 )12)' откуда цзаЯ .( 12 Л2)2 ' Рис. 63 (), зйз (),, 271з(2аз пз) 2азе(аз — Яз) еаз еаз(аз — дз)2 В случае одноименных зарядов Яд ) О, и сила взаимодействия может обратиться в нуль, а при достаточно больших й или малых расстояниях а— даже стать отрицательной (притяжение). 163. Пробный заряд о должен быть мал по сравнению с зарядами, расположенными на других проводниках и диэлектриках, и не должен находиться слишком близко к местам неоднородности среды, например, к грашшам проводников и диэлектриков, чтобы обратное влияние зарядов, наводимых пробным телом, было мало. Например, прн измерении электрического поля заряженного проводящего шара нужно, чтобы сила электрического $ 1.
Оеноеные нанятая н методы зяеяеросеамнян 279 изображении была мала по сравнению с измеряемой силой — (Я вЂ” заряд Ж а шара, а — расстояние от пробного заряда до центра шара). Зто приводит к условию (см. ответ предыдущей задачи) Н"' Я ( (2а/ — 1) з (а/В)(а/ — 1)з которое выполняется только при не слишюм малых а/В и не слишюм больших 9Я. 164. Изображением электрического диполя р=р(е з1пгг+е,сова) в заземленном шаре явлается система, состоящая из точечного заряда 9 = рВ = —, сов гг и диполя р' = р( — г / ( — е в1п гг+ е, сова), находящихся в точке А' (рис.
63) на расстоянии г' = — „от центра шара. зВ(гз з, +Вз) У=— 2е(гг Вз)з ,гВг Р = — [(2г~ + Вз) сова а + ЗВ~], е(гз — Вз)4 рзВгз вш 2а 2,(,л Вз)з. В предельном случае г — + В получим, полагая г = В+ з,  — > оо, я = сопвс, результаты задачи 148 (диполь у проводящей плосюсти). 165. о = — Р спад, 4яВз где д — угол между р и направлением из центра в точку наблюдения. Ицдуцированные заряды создают в полости однородное поле Е = —. = р Вз 166.
Силы, действующие на неоднородность, могут быть получены дифференцированием величины аьн "е ь» при постошшых Я~ 280 Глава Ш Величина У' отличается от истинной энергии взаимодействия области неоднородности с внешним полем 1Г, определяемой работой, которую надо совершить, чтобы при наличии неоднородности создать поле 1в (ср. с (П1.16)). При нахождении такой энергии нужно учитывать, что моменты ф,„зависят от внешнего поля. В частности, если область неоднородности представляет собой незаряженный проводник или диэлектрик, то истинная энергия взаимодействия неоднородности с внешним полем определяется формулой 1| = — ~~| аьаД~*,„.
(2) Коэффициент — можно получить так же, как это сделано в решении за- 1 дачи 161„учитывая, что в этом случае ф~ пропорциональны а1,|,. При нахождении обобщенных сил с помощью выражения (2) путем дифференцирования по обобщенным юординатам как 1к1, так н аьа следует считать переменными величинами. 167. (Го = |1З|о — рЕс, при этом рг =ус — г.Ео ч|г = — + — з Р=ОЕс+(р ~)Ес Х =рхЕс й р ° г ег вг (вращательный момент вычисляется относительно начала координат), 169. Тело стремится занять такое положение, при котором его потенциальная энергия 1|' = — -р Š— минимальна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
