В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Магнитное поле вблизи поверхности совпадает с полем бесконечно длинного прямого провода Н = —. 2.Ф Вектор Пойнтинга у = с (Ео х Н) (Ко — напряженность злектричесюго 4я пола в О-м проводнике, направленная противоположно току, см., задачу 229), как лепю убедиться, направлен ю проводника по нормали к его поверхности. Величина потока энергии через поверхность этого проводника, следовательно, равна 2ят1о у = .Ф$', где )г = Ео1о — разность потенциалов на концах проводника. Величина,ФЬ' представляет собой разность между работой э.д.с. а,Ф (а = Е„1о) и джоулевыми потерями в единицу времени в самом источнике. Энергия .Ф'гг вьпекает ежесекундно через наружную поверхность источника, течет в окружающем проводники пространстве (в основном вне проводниюв) и втекает внутрь 1-го и 2-го проводников через их поверхности, превращаясь внутри этих проводников в джоулево тепло.
В том, что общее юличество энергии, втекающей в 1-й и 2-й проводники за единицу времени, равно .УЪ'т,,ФЬз, легю убедиться, рассмотрев вектор Пойнтинга так же, как выше. гй 231. Н = 1 —, где элемент гй направлен по нормали к эквипотенциЯх' алькой поверхности с площадью Я; цифрами 1 и 2 обозначены граничные поверхности. 232. в) Н = — 1и-.
1 Ь 2я1х а 233. (- — -) + 1'1 4~гха ~ а Ь/ 2яхг Ь 30У Поставккык ток Р 4х г1ъ 4кх в 4ггх 235 С= к А~<В ' 23б. Я = Е ВаА-кь. 237 Я вЂ” в (вы 2в + ) — 6 с11 + сгз + саз 4ггх сят — высок 23й. л = К' ~ = В1+ лз — 1 = л1+ яз, ,У ггх1 где Яг =, Яз = — сопротиаоения уединенных заземлителей 1 1 2кхаг ' 2кхаа (см. задачу 233).
г Ь 239. Обозначим через ео = уг1 — — эксцентриситет эллипсоидов а вращения (Ь/а — отношение меньшей полуоси к большей). Тогда 1 1 (1 — ег) о — в случае сплюснутого зллипсоида вращения, 1 1 (1 ео) 1+ ео Я = — ° (п — о г 1 — ео (бхз)г) з ео — случае вытянутого эллипсонла вращения. Более выгодной (прн фиксированном объеме У) является сильно вытянутая или, наоборот, очень сплюснутая форма заземлителей. 240. Плотность тока в пространстве между электродами не зависит от х (о(х) — сгазрость частиц в данной точке х). Скоросп свазана с потенциалом Ог(х) формулой (2) (ог = 0 при х = 0). 308 Из (1) и (2) следует, по р = .у. 1- — '", так как )тг 2еу' принимает внд 42Ю вЂ” = — 4ку дха )/ 2е<р' Интегрнруа (3)с граничными условивми — ) йр ~1е ж=о получим э' = — у — М!' 9каа (<аахен трех вторыхв).
уравнение Пуассона (3) =Она~ =до, ГЛАВА Ч ПОСТОЯННОЕ МАХНИТНОЕ ПОЛЕ 241. — при т<а, 2.Фг саз 2,У при а<т<6, О при г>Ь. Н„=Н,=О, 242. Рассмотрим решение задачи методом векторного потенциала. Если направить ось я вдоль оси цилиндра, то прямоугольные компоненты А будут удовлетворять уравнениям: ЛАо — — О, ЬА, = — — з„ 4лдо . ЬАл =О, причем у, = О при т > а, у, = — при т < а. У ла Поскольку в уравнения для А.
и Ао заданный ток т не входит, зти юмпоненты можно считать равными нулю; А, будет зависеть толью от расстояния т до оси е. Интегрируя уравнение для А, и используя условия непрерывности А, и Н на границе г = а и ограниченности Н при т = О, получим: при т < а А,=С вЂ” — ( — "), Ва= г, Н„= — г; (2) при г > а В = —, Н = —. (2') АУ А~ = С вЂ” с ~до + 2И от а), Константа С вЂ” произвольна. З)0 Гласа К 243. При т < а А, =Си В=о; приа<т<Ь при т) Ь 2)з.т 6 2)ьФ Ах = — с) -, + СЗ, На = — „. Остальные компоненты А и В равны нулю. Две любые константы, входящие в А„можно выразить через третью, использовав условия непрерывности векторного потенциала на границах.
а+ 2х ( 2) (х+ -) +к Ось д перпендикулярна полосе и проходит через ее середину. 245. Пластины отталкиваются с силой 4Уз l а 1 аз+ 6зт 7 = — (аагсгб — — -Ып сзаз ( 6 2 6з ) 24б. А = 2' 1п — з = Х1 с (а — х)з -). Кз дА, 8,у ахл Н,= — *= — — —, дп с тЯ' Координаты проводников с током в перпендикулярной к внм плоскости равны (а, 0) для тока +.т и ( — а, 0) для тока —,Ф; тг и тз — расспания от точек (а, 0) и ( — а, 0) до точки наблюдения.
247. а) Между плоскостями Н= хз) в остальном пространстве Н=О; б) между плоскостями Н = О, в остальном пространстве Н = — г'. В обоих 4х. случаях магнитное поле направлено перпендикулярно току и йараплельно токонесущим плоскостям. Постоянное магнитное поле 248. Ни — —, Ни = Н, = 0; ось у нормальна к плоскости, 2,Фа с(6 — а ) проведенной через оси цилиндров. 249. В цилиндрической системе иэординат, ось я которой перпендикулярна плоскости кольца и проходит через его центр, 1 Ап с (Г) ~(ф (е)К((е) ~' с (и)) ' 4* 'А" где К(к) и Е(й) — полные эллиптические интегралы Лежандра, Й~ 4ат (а + «)' + я' Компоненты магнитного полк 2,У х ~ К(й)+ а +аз+ля Е(й)~ ( — г-'-*' аз гз хз н..н .~ н-)'* На оси витка (г = 0) зги выражения переходят в 2каз.р — з зуз.
с(а +х ) 250. В любом сечении такой трубки поток индукции будет один и тот же. Поэтому уравнение поверхности трубки: Ж = В ° 48 = ~(г, х) = сопас, 8 где поверхность интегрированна Я представляет собою круг радиуса г в плоскости, перпендикуларной оси симметрии (центр круга лежит на осн симметрии). Так как Ап не зависит от а, то с помощью теоремы Стокса получим В ~Б= А <0=2кгА (г,я) =сопас.
Линии пересечения этих поверхностей с плоскостями а = сопле и дают искомые линии магнитной индукции. 312 Глава Р 251. Компоненты магнитного поля: Векторный потенциал выражается через напряженность магнитного поля с помощью теоремы Стокса и соотношения Н = тот А: в о »=о"' ~ 252. Н,=~~~~~(совдз+совдз), где (см. рнс.
68): 6 — л смд1 = Я+Ть:*г' совдз = ~/а~+ лз 253. Решим задачу методом векторного потенциала. Плопюсть поверхиоспюго тока, возникающего при вращении сферы, 1 = е — вш д иа 4па Рвс. 68 (полярнаа ось выбрана вдоль векто- ра щ). Векторный потенциал во всех точках, не лежащих на поверхности сферы, удовлетворяет уравнению Лапласа. Как следует из симметрии системы, векторный потенциал можно выбрать так, чтобы была отлична от нуля толью компонента Аа, которая не будет зависеть от угла а. Поэтому уравнение для векторного потенциала запишется: ЬА — Аа =О гзвш д (см.
ответ к задаче 47). Постоянное магнитное поле Посюльку плотность тока зависит от угла д по закону зш д, естественно искать решение уравнения (1) в виде Ан(г,д) = Р(г) яшд. (2) б1тА = О, выполнение которого необходимо, чтобы имело место (1). Определяя Р(г) с помощью уравнения (1) н граничных условий, получим А и Н = го1 А. Напряженность магнитного поля внутри сферы (г < а) Н вЂ” 2 Зс ' при г > а Зг(ш ° г) гь гз' где ш = — иг — магнитный момент системы.
еа' Зс 254. В точках, где з' = О, можно положить Н = — бгад4. Тогда уравнение гас Н = О выполняется при всех ч', а уравнение б1т Н = О дает ЬФ = О. Последнее уравнение должно быль решено при дополнительном условии 1 н.л-4— ,'л, где 1 — любой контур, охватывающий ток .Ф. Вводим цилиндрические юординаты г, а, я и ищем решение в виде Чг = ф(ее). Окончательно получим ф= — — а 2г с Н„= Н, = О.
2бб. а) Чтобы скалярный потенциал 4 магнитного поля был однозначной функцией, выберем некоторую поверхность Я (рис. 6Я), опирающуюся Как будет видно из дальнейшего, Р(г) можно выбрать так, чтобы удовле- творялись уравнение и граничные условия, и зто оправдывает выбор реше- ния (2). Отметим, что векторный потенциал (2) удовлетворяет условию 316 Глава 1' где Хи Хз — вращательные моменты, приложенные к первому и второму токам соответственно.
Следует отмеппь, что Хз ЗЬ вЂ” Хм но Хд + Хз + (г х 1гз) = О. Если магнитные моменты параллельны (изг = тиди, итз = тзи, г = тго, и и го — единичные векторы), то получим Зпзз пзз (2и сов д — го(5 сове д — 1)) сз т4 где д — угол между и и го. 259. Потенциальная функция тока,Фз в поле тока тг: 2.Уз,рз им = 1па+ сопеФ, где а — расспжние между токами. Сила, действующая на единицу длины второго тока: дим 2тз Фг да сза При параллельных токах (тз и .Уз одинакового знака) имеет место притя- жение. 260. Сила Р и вращательный момент Х определяются дифференцированием потенциальной функции: + 4ат сова — 4атсова 261.
Л = а (в1п 1с — 1с сов 1р). 262. Я = 2до+2)з)ив 1 Ь дь Уз Уза 4тз + аз сз 4тз+ аз 2ц)п а' Ь 264. Ьзз = 4к(Ь вЂ” ~/Ь2 — а~); АУз даю 4кАУз( ~/Ь~ — а~~ 3П Постоянное могннтное поле 265. В этой задаче удобно использовать формулу (Ч.23). Вычисляя интеграл так же, как в задаче 89, получим = 4 з! 6((Ь вЂ” к)Х(6) — йЕ(6)], Х(6) =, Е(Ь) = 1 — Ьз а1пз !64лР, 1-!"и е' о 4аЬ (а+ Ь)з+ 1з При 1 » а, 6 параметр Ь мал: Ьз 4аЬ, 2ч а6 1з! 1 ! поэтому можно использовать приближенные формулы для Е и Х (см. спра- вочник [90), 8.113, 8.114): 2( 4 64 )' ( ) 2( 4 64 )' Оставляя в выражении для Езз только члены, пропорциональные Й~, получим в первом неисчезающем приближении Е|з = " " . Последний сФге результат легко получить и из равенства Х !з = —, рассматривая кольца с током как магнитные днполи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
