В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Прка-Ь»1,6-1,Х(6)-1п ~,Е(6)-1, Л вЂ” Р 266. В обозначениях предыдущей задачи 4к Фз Уз 1 ~ Х(, аз+ Ьз+ 1з !лтсют!'~ +( !.!г,.! 318 Гласа н 267. Я = 4япзЯ. Для соленоида большой, но конечной длины й, пренебрегая краевым эффектом, получим полную индуктивность Е = 4япзЯЬ. 268. Вычисляем магнитную энерппо по формуле 2сз/ В Здесь юг и г(Яз — элементы поверхности соленоида,  — расстояние меягду ними, через 1 ((г = Йз = 1 = п,Ф) обозначена плотность поверхностного тока, которым заменен ток, текущий в обмотке соленоида, п — число витков на единицу длины.
Интеграл удобно вычислять в цилиндрических координатах: И 'а'У' 8х,Ь о о соаойг 2язозпа Ря/~(1 8о ) тз где отброшены все члены порядка Й~ и выше. Отсюда ~~Ь~ Г. = 4язозпзб(~ 8' 1 ЗяЫ 269. Для кругового сечения Ь = 4яХз(Ь вЂ” ьlР— аз). Самоиндукция на единицу длины .У = — для бесконечного соленоида Ь 2яЬ получится, если сделать предельный переход Ь вЂ” оо при заданном числе витюв на единицу длины и = —: Д1, 2яЬ" Я=4япа =4япЯ (ср.
с задачей 267). Если пренебречь членом а/Ь по сравнению с единицей, то получится результат предыдущей задачи: г' = 4язазпзо = 4лпзЯЬ. 319 Постоянное магнитное нояе Для прямоугольного сечения 2 гзЛ1 26+о 2Ь вЂ” о' При Ь » а опять имеем 5~ = 4япзЯ. Если ток течет непосредственно Рис.
70 по оболочке тора, то самоиндукцня уменьшается в ЛГз раз по сравнению с самоиндукцией тора, обмотанного проводом. В соответствии с этим будем иметь: 2 = 41г(6 — 1/Р— оз) для тора круглого сечения и г = 2Л1 2Ь+о 2Ь вЂ” о А =С 1 1я ,з ПРИ Г1 С. О, ПРИ Г1 > О. Векторный потенциал, создаваемый проводом 2, получится при замене в (1) .Ф на —.Ф, о на Ьи гг нага.
Находим магнитную энергию: / (А1я + Аз,) гЫ1 — 1 (А1я + Аз,) газ. (2) 2ясоз .г 2ясбз .г Интегралы, входящие в (2), можно вычислить, использовав формулу (3.765) из справочника (90). Учитывая затем свюь между коэффициентом индук- тивности и магнитной энергией системы, получим окончательно: и" = 1+ 21п —. Лг оЬ для тора прямоугольного сечения.
270. Вычислим магнитную энергию единипьг длины линии по формуле (Ч.16). Векторный потенциал прямого провода с током был получен в задаче 242. Для провода 1 (рис. 70) запишем его в виде зго Гла«а и 271. Полная мапппная энергия тока, протекающего по проводнику, складывается из двух частей: — энергия, запасенная внутри проводника и интегрирование ведется по обьему проводника, — энергия, запасенная в остальном пространстве. Предположим, что можно ввести параметр го, имеющий размерность длины и удовлепюряющий условию (2) а « го « Н, где а — радиус проводника, Н вЂ” радиус кривизны осевой линии провод- вика (который в общем случае меняется от точки к точке).
Тогда на рассто- яниях, меньших го, магнитное поле можно считать совпадаюшим с полем бесконечного прямого провода. В частности, внутри провода: Нг =— 2.рг саз (см. задачу 242). Это позволяет найти «внутреншою» энергию Игг. Ро( Ф 4сз Ф+ — 4- = —.Ф. 4я с (4) Интеграл, через который выражается Игз, можно преобразовать следующим образом: (В ° Н) сИ» = — В ягабчР Ф/ = — 41т(фВ) о г' = — фВ„Ю Для определения «внешней» энергии Игз построим вспомогательную поверхносп Я, опирающуюся на произвольный контур, лежащий на поверхности проводника, и введем скалярный потенциал ф.
Скалярный потенциал будет испытывать на Я скачок З21 Постопнноемагнитное поле (здесь опущен индекс 2 и использовано уравнение 81тВ = О). В последнем интеграле интегрирование должно проводиться по обеим сторонам вспомогательной поверхности Я и по поверхности проводника Я' (см. рис.
71, на котором изображено сечение проводника некоторой плоскостью). Интеграл по бесконечно удаленной поверхности обращается в нуль вследствие конечных размеров проводника с током. Таким образом, Первый из этих интегралов обращается в нуль, так как в силу условна (2) магнитное поле на поверхности Я' совпадает с полем прямолинейного провода и имеет, следовательно, только касательную составляющую.
Длл преобразования других двух интегралов нужно использовать равенспю (4) и условие непрерывности компоненты В„. Получим Игз = Вп ~1~. — и (6) И'=~ Т'. 2сз (7) С помощью формул (1), (3), (7), используя связь между коэффициентом самоиндукции и магнитной энергией системы, получим требуемую формулу для коэффициента самоиндукции: Ь= — +Х. до1 2 (8) На больших расстояниях от провода (т ) га) магнитное поле не зависит от распределения тока по сечению проводника, поэтому можно считать, что ток течет по оси. На малых расстоявиах (а < г < го) это поле совпа- 8' Я' дает с магнитным полем бесконечного круглого цилиндра, и тоже можно считать„что ток течет по оси.
Таким образом, интеграл в формуле (б) представляет собою поток магнитной индукции, сохдаваемой током, текущим Рвс. 71 по оси проводника, через поверхность, которая опирается на замкнутый контур, лежащий на поверхности проводника. Используя выражение потока через коэффициент взаимной индукции (У.22), получим згг Глава 1' 272. Используя результат предыдущей задачи, получим Ь' = 4яГгЬ()п а — 2), где гзс — мапппиая проницаемость срешя, в которой находизся проводник. Полная самоиидукция Ь = 4кЬ(д1п — — 2)з+ -Гго) 8Ь 1 а 4 или, если )зо = гз = 1, Ь = 4яЬ()п — — -~.
8Ь 71 41' 273. Етз = 21 — 2~/а'+Р+2а1п 274. Исполъзуя результаг задачи 273, получим А =8г' — 2/Р+т.~2~2Ф.~-Р~- а+ 1Г'аз+1 а+ тГ2аз+1 3 8У1Уз ~ аз+ 2(з (~~~г+ (г с' Ь~/а2+1 а'+ 1з 275 Е = 2РсЬ+ 8дЬ 1и 2Ь + з/2 2 а(1+ ~Г2) 276. Используя при интегрировании по углам в формуле (У.13) соотношение йзЩь ь= -бзь (см. задачу 32), получим: 1 в случае равномерного объемного распределения заряда, еаз зп = — ог; Ьс в случае равномерного распределения заряда по поверхности, еа гп = — га.
Зс згз Постоянноемагнитное поле г!!т(р йгал! 1Ь) = — 4яр где величина Р = Нс ' йгал)И 1 42 играет роль плотности магнитных зарядов. На границе раздела двух сред должны выполнлтъся условия для касательных компонент поля: У ! длр1 дгрз Н1 = Нз нли т дт дт и для нормальных компонент поля: йэнзп Ц1Н1п = (д1 — дэ)нсп илн д1 — — Из — = 41Гот. Р Р дФ1 дфз Здесь величина гг 4 (д1 л 2)н~ 1 играет роль плотности поверхностного заряда. Заметим, что это выражение для о может быть получено и из формулы для обьемной плотности р путем предельного перехода: 1г„, = !!ш ртЬ. ь с Заменим поверхность раздела тонким слоем толщиной Ь. Тогда бгаг! р будет направлен по нормали к слою и будет равен ', откуда Ь 1 Из И1 Р— 411 Ь оп, 7 = Дшр Ь= (И1 из)НО 1 ь с 4я Если применить эти формулы к шару, радиус которого равен классическому радиусу электрона (2,8 ° 10 ' ст), а магнитный момент равен известному из опыта магнитному моменту электрона (0,9 ° 10 эсэре/гс), то окажется, что линейная скорость с = а«1 101зем/сек на экваторе такого «электрона» превышает скорость света в вакууме.
Это показывает непригодность классических представлений для описания спина электрона. Подробнее об этом см. [111, 6). 278. Вторичное поле Н' удовлепюряет уравнению го! Н' = О, т.е. является потенциальным. Введя скалярный потенциал по формуле Н' = = — бгал! 1Ь, получим для него уравнение, совпадающее с уравнением электростатики в неоднородной среде: 324 Глава в 279. Н = и' Не,Н = и' Но, п>+пз ' и>+пз где Но — поле, создаваемое контуром с током в вакууме, Нп Нз — поля в средах с проницаемосшми и>, дз. 280.
Магнитное поле в среде 1 совпадает с полем, создаваемым в вакууме двумя прямолинейными токами .Фз = р.р и .Фз = .Ф; >лз(>лз >зз) д1 + Рз ток .Ф1 течет по тому же проводу, что и начальный ток .>т; ток .>тз течет вдоль провода, который является зеркальным изображением первого провода относительно плоскости раздела сред. Магнитное поле в среде 2 совпадает с полем, которое создается в ваку2ц>цз уме током .Фз = У, текущим по тому же проводу, что и начальный и, +и.
ток .Ф. 281. Векторы поля удовлепюряют во всем пространстве однородным уравнениям гоФ Н = О, д1т В = О, поэтому можно ввести скалярный потенциал >/> (Н = — йтзл)Ф), который будет удовлепюрять уравнению Лапласа. В результате задача мапппостатвжи сведена к задаче электростатики. Решение имеет вид (см. задачу 149): внутри шара Нм 3 д+2 вне шара Н, =Но+Н„,„> где Н „— поле, создаваемое магнитным днполем с моментом >> 1з пз = азНе ф+2 Поскольку поле внутри шара однородно, намагниченность постоянна: 3(д — Ц 4я з 4я(д+2) 3 Плотность эквивалентного обьемного тока будет поэтому равна нулю: ,)„= сгос М = О.
325 Постоянное магнитное поле Плотность поверхностного тока можно определить по формуле 1„„„= с[п х (Мз — М1)~, которая получается нз (У.З) путем предельного перехода (ср. с выводом граничного условия для Н, из уравнения Максвелла). Подставляя Мз = 0 и М1 = М, найдем: Зс(д — 1) ги,н — — Нс з1пде . 4я(,и + 2) Нз =Но+Ни где Н „— поле магнитного диполя с моментом гп, причем д(ь) озь = „азНсь. д +2 Момент сил, действующих на шар: Х = гп х Но. '-(й)' 1 Ь Но. (д1+дз)з (а)з При п1 » дз поле в полости сильно ослабляетса — происходит магнитная экравнровка.
'- ~й)' (и~+ 2дзН2д +я ) (а)' „,) ~Ь) ри дз » дг поле сильно ослабляется (Н ~ Нс). 284. Н = 1 П Интересно отметить, что такой поверхностный ток можно получить, если заставить вращаться вокруг одного из диаметров сферу, заряженную равномерно по поверхности (см. задачу 253). 282.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
