В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Инерционность этого эффекта очень мала: время установления или исчезновения анизотропии — порядка 10 1с сек. (Оно определяется временем установления статистического равновесия в диэлектрике.) Явление Керра широко используется в технике для быстрой модуляции силы света.
314. Считая параметр — = а малым, получим с точностью до члерЕв )сТ нов порядка аг: 3( )( 15 ) — — 1 !у 1 21 ~3~ — — )гзз — — -()г — )5') (1 — — а ) + )У', 3 1 13 ) с(1) 1 + 4 Я)~~ с(2) в(з) 1 + 4яЯДг Обозначения те же, что и в предыдущей задаче. 315. Пусть амшппуда поля 8 увеличится на Ю (1(е, Юю ое,). При этом над молекулой будет совершена работа 1(л( = 2 пе(Р'1(41 ) = 4(Р'~й*+Р ' ~('й) где р; = ДьЕь — компонента дипольного момента системы. Поскольку поглощение энергии отсутствует, зта работа целиком идет на увеличение средней потенциальной энергии молекулы во внешнем поле: 3 2.
Поллоизаиин вещества в неременнаи ноле 341 Поэтому выражение сИ должно быть полным дифференциалом неюторой функции амплитуды поля — энергии системы. Перепишем агГ в виде Видно, что эта величина будет представлять собою полный дифференциал толью в том случае, если 13г« = Я;; тогда 4~к- '«( « ' ' 4с~- '" ' " (4 )' Точно так же можно доказать эрмитовость тензора магнитной поляризуемости для системы, внутри юторой не происходит диссипации энергии.
317. Уравнение движения атомного электрона, связанного с ядром упругой силой, запишется в виде г+шсзг= д[Еое л+ (» хНо)], где шо — частота собственных колебаний. Решая его методом последова- тельных приближений, получим в линейном по Но приближении: г — еŠ—; еш (ЕхН ), т(шоз — шз) тзс(шз шз) Чтобы получить тензор поляризуемости атома, используем запись векторного произведения с помощью антнсимметричного тензора е;ы (см.
задачу 26). Это даст ез . е шНо~ Д« = с« — 1 еа«ь т(шо — шз) тзс(шз шз) В соответствии с общим положением, доказанным в задаче 315, этот тензор является эрмитовым. Вектор гирации (см. задачу 31б) в данном случае имеет вид зшш т'с(ш,' — ш') ' т(шсз — ш') ' где шь = — — ларморова частота. еНо 2тс Глава гл 2 аР е =1— ыр о ыр г 4яезйу =1 —,ы ы(ш ~ 2щ,) — юа м — ые Вектор гнрации равен по величине д=-(е -е ) 1 + 2 и направлен по оси ю Результат предыдущей задачи получается из найденного точного рещениа пРи выполнении УсловиЯ 2о~гаг (< 'Увез — аР~.
319. Тензор ем имеет тыюй же вид, как и в предыдущей задаче. Но ао компоненты е~ и ес определяются следующими выракеннями: 3 ыр 2 шз+ а~(1 у ж2а)ь) мз з о Мр ы + Йа'у з 4ггезИ ы Р т гу еНо у= —, гаг.= — — )О, 2тс Из-за наличия «трения» (гу ф О) в электронном газе происходит диссипация энергии, и тензор ем неэрмнтов. езя а= — Но. 'у=— тз узс Магнитное поле приводит к возникновению тока, перпендикулярного элек- трическому полю (ток Холла).
320. 5 = о Е+ (Е х н), где езйг = ту1 -(е+ — е ) 0 2 1(е+ + е ) 0 2 О а 2. Пав»лазания веатвства в переменном паве Обратная зависимость в том же приближении имеет вид = а2+В(3 х Но)~ где Я = — постоянная Холла. 1 Тензор электропроводности: аы = <тбть — еытаь 321. Обозначим массу, сюрость и заряд электрона через т, г, — е а те же величины, относящиеся к иону, через М, К, +е. Тогда получим следующую систему уравнений движения: птг = — еЕое ™ — е(г х Нс) — т У(г — К), [ МК = еЕое '"~ + е(К х Нс) — тт(К вЂ” г)./ Здесь Но — постоянное и однородное магнитное поле, тт — юэффициент «трения»; сила трения пропорциональна относительной сюрости электронов и ионов, т.е.
разностям (г — К) и (К вЂ” г) для электронов и ионов соответственно. Электричесюе поле Е = Есе ' зависит от времени по гармоническому закону. Ищем решение системы (1) в виде г = гсе ' ' К = Вое (2) Выберем направление Но за ось я и введем циклические юмпоненты векторов го и Во по формулам гоы =Т- (гов ~ (т'ст) гтоы = ~ — (тто ~ тгаэ) ~/2 тг2 Подставим (2) в (1) и сложим получившиеся уравнения: — зю(тига+ МВо) = б[(Во — гс) х На[. Левую часть последнего равенства можно записать в виде — па[(М+ пт)Во+ ти(го — Во)[. Пренебрегая т по сравнению с М, получим (3) Глава 17 еНо Йн= — и в=Но — го. Мс Затем поделим первое нз уравнений (1) на тп, второе на М и вычтем их друг иэ друга Пренебрегал членами — по сравнению с —, — ув по сравнению еЕ еЕ т М ш' М с ув, М (К х Но) по сравнению с Д(г х Нс), обозначив шн = Я и используя (2), получим: ( — 1ш + у ~ клан)вь, ~ ианВоь1 = — Еоь| еЕо, ш ⻠— ~ +зшГвл (4) шз шз еь — 1 У ОО 1 Р + .
+ ынйн) ш(ш+ зт) Компонента е(") имеет такой же вид, как скалярная диэлектрическая проницаемость в отсутствие магнитного поля, полученная в задаче 312; она неограниченно возрастает при ш — О. Компоненты е~ при учете движения ионов содержат в знаменателе лишний член ынПл, им можно пренебречь при — « 1, т.е.
при больших частотах ы. Однмю при малых частотах этот йн член становится существенным; при ш — + О он приводит к тому, что компомв ненты е~ остаются конечными: е~ = 1+ . Благодаря этому в плазме ынПн могут существовать волны весьма малой частоты (мапппогидродинамические волны). Распространение электромагнитных волн в плазме с учетом колебаний положительных ионов рассматривается ниже в задаче 445. 322.
В системе координат, ось хз которой совпадает с выделенным направлением, тенюр 2)ь должен иметь вид т = — т т О Это согласуется с результатами, полученными в задачах 318, 319 и др. Иэ уравнений (3) и (4) находим в. Вектор поляризации Р вычисляетса по формуле Р = Желе '"', где Ж вЂ” число ионов (равное числу электронов) в единице объема. Компоненты тенэора диэлектрической проницаемости запишутся в ви- де 345 53. Ферромагнитный резонанс 324. Поскольку вюаочение поля происходит в момент с = О, то из принципа причинности следует, что Р(г) = О при 8 < О.
Обозначив диэлектрическую восприимчивость через сс = ссс + ссг", получим Р(~) сг(асс)Е(исс)е-сн'с с ас 0 У сс(исс)е-й~'с с(сас (1) -' 'с с Ео Г где Е(ы') — компонента Фурье поля Е(г) = Еоб(8). Умножим (1) на еьм и проинтегрируем по $ от — оо до О. В силу условия Р(с) = О при с < О будем иметь аа о — с(са'сг(ис') е Ц 1 сй = О. 2я „с (2) Используя (П 1.17) и отделяя вещественную и мнимую части, получим откуда следуют соотношения Крамерса-Кронига. 325.
в'(ы) = 1+ 1+ис т 327. гоеЕ = — — —, 1 дВ сдс' госВ = — — + — 3, 1 дВс 4сг. с де с 41тР' =4яр, с(1тВ = О. $ 3. Ферромагнитный резонанс 328. М, = Авш(исо1+ сс), Ми — — Асов(исос+ сс), М, = С, где Фо = 7Но, сс — начальная фаза, А и С вЂ” сюнсганты, связанные условием Мз = Мез, т.е. Аз + Сз = Мез, где Мо — намагниченность насыщения.
Движение вектора намагниченности представляет собою обычную ларморову прецессию, 346 Глава 17 329. Ищем решение уравнения — = — тМ х Нс + (ХоНс — М) в1М ~Ы в виде Мв = т,е ь"', М„= т„е ' ', М, = Мс + т,е ю', где ы— неизвестная частота; ось л направлена вдоль Нс. Проектируя (1) на оси координат и подставляя М, получим систему алгебраических уравнений, условие совместности которой имеет вид шс (а+ка ) 0 Частота ю оказывается комплексной: ы = ыс — ы„; наличие потерь приводит, как обычно, к затухающему движению. Компоненты тв и т„сдвинуты по фазе на к/2.
Вектор М совершает затухающую прецессию вокруг Но. 330. Если выбрать ось о вдоль Н, то полное магнитное поле будет иметь составляющие Ь е ' ', Ьте ' ', Но + Ь,е ' '. Ищем решение уравнения Ландау-Лифшица (УТ.15) в виде М =т,е'' М„=т е 1вв, М =МО+т е $иФ, (Ц где Мв — намагниченность насыщения. Зта форма решения соответствует предположению, что ларморова прецессия прекратилась вследствие затухания и колебания поддерживаются только высокочастотным (вынуждающим) полем. Позтому нужно считать величины тв, тк, т, малыми, порядка не ниже Ь. Подставляя (1) в уравнение Ландау-Лифшица и отбрасывая квадратичные по Ь и т члены, определим компоненты пн юс иаюс 3 тв — Хо з зЬв Хс з зЬв~ ыо ы ыс з Йаыо а~о пзт =Хо з Ьв Хс з Ья~ юо "' ыо Кш видно нз зтих формул, характер зависимости тв и т„от ш при фиксированной ыс = "1Но нли от Но при заданной ы — резонансный: в точке ы = ыо компоненты т н т„неограниченно возрастают, наступает ферромапппный резонанс.
Неограниченное возрастание амплитуды пз связано с приближенным методом решения уравнения Ландау-Лифшица. Точное решение (см. задачу 332) должно обеспечивать постоянство длины ~М~, так квк из уравнения Ландау — Лифшица следует Мз = сопвФ. При решении звдачн методом последовательных приближений с учетом потерь М также остается ограниченным. 347 3 3. Ферраиогниингый резонанс 331. /Х2 — 'Х О~ Хеь = ~тХ Х2 О~, ~ О О О,у' где шо иков Х2 =Хо Х =Хо ' дчь = ~з[4 гз2 О1[ ыо ыо ~ О О д„( И2 1 + 4ггХх~ Иа = 4тХа~ гз[[ Как видно из приведенных формул, Хеь и рц, — эрмитовы тензоры ([зеь = = [4„'е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
