В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 57
Текст из файла (страница 57)
С=Со, ь=Хо, ля= —,!где~о= 7йо с» с и!рСо збП д=-,'В (иу")=ф.Р~'В ( — ') =-,'; '~,с,~и,~', И = —,1(1+, ',)С,~П,!2. 358 Глаза П7 3 Зб2. С=Со, Х = —,. Сг = —,Со. сз ья ырСо ыо В= — = з сз м„Со Уг +,Уг +.~з = О, — Л = — = Ю) + УзВ ь 4И) сз С (1) где 4(г) — заряд на обкладке коцценсатора, связанный с .Фз соотношени- емУз =4,а (О при 4 (О, б'(1) = ~ ~г р 4>0.
Из (1) получаем уравнение второго для тока .У~. Соотвстствулицее характе- ристичесюе уравнение имеет юрии 2ВС 12ВС/ ' г С' В зависимости от соотношения между В, Ь, С возможны три случая: а) шо > —; находя решение для,У~ методом вариации произвольных 1 2ВС ' постоянных Лаграюка (см.
[94), З 25), получим г .Ф~(г) = — [1 — е зио( — +созшз)~, --й:( — )': г б) < +С, А И) = у [1 — е '~ (2~~ С + с)г а4) ~, где й = — — ьгз; 1 4ВзСз о г в) ыс = — , 'ЯЯ = — [1 — (1+ — )е зис'~. В последних двух случаях переходный процесс является полностью апериодическим, юлеба- ннй не возникает. (~" — ыо)'+ ~~'7' 4 ~ („Я ыз)з+ь,з,з Зб4. Обозначим токи, текущие через индуктивность, конденсатор и батарею, через А, .Фз, .Фз.
На основе заюнов Кирхгофа получим уравнения 359 9 1. Квазиомаииоиариые лалаииа а липайпых проаоопихах 0 при Ф(0, з у2И) — о Вс ри О < Ф ( Т з ~ — т Уо(е йс — е нс ) пРи 1 > Т. 0 при 1<0, л 'г ыз(Ф)оприо<Ф(Т н,п, и '<с-т) По(е ь — е ь ) при т > Т.
367. На вход четырехполюсника нужно подать импульс 0 при Ф < — 'Г, ЬЕе(1+ — + — ) при — Т < $ ( О, ВСт Т Т) ЬЕо(1 — — ) при 0 (1 ( Т, 0 при 1>Т, Уз(т) = Начало отсчета времени выбрано так, по поле между пластинами юнден- сатора досппхет максимума при 1 = О. где ти ар = — 1'. Переходный процесс отсутствует, если тк 1оо = — —. Это игЬ я 3 аз В ыЬ условие имеет простой смысл: в момент включения стационарное значение тока должно быть равно нулю. 369.
При гармонической зависимости тоюв от времени, уравнение Кирхгофа для и-го юнтура запишется так: — — з У»+ — 12 Уп — Уп — з — Уп-~-з) = О. мЬ 1 с 360 Глаеа И! Уравнение (1) представляет собою разностное линейное уравнение с целочисленной независимой переменной и. Оно имеет (ср. с задачей 223) два линейно независимых решениа ащ зги и соя зги, причем частоты собственных колебаний выражаются через параметр ас — 2«!оып 2~ ыо— 2 2 3 х с /Хс (2) Используя граничные условия .ьо = .Фн = О, находим .Рп(1) = Роаюйд„е (4) где к= м.
а' Выражение (4) представляет собою суперпозицию двух волн, бегущих в противоположных направлениях. Величина к играет роль «волнового вектора» колебаний, распространяющихся по цепочке из отдельных дискретных звеньев. Фазовую и групповую скорости этих волн можно вычислить по обычным формулам а«! (5) Поскольку зависимость ы от а нелинейна, е„и ея отличаются друг от друга — имеет место дисперсия. Из (2) находим: 2«!о йа йа е, = — в1п —, ео = ыоасов —. к 2' о 2' (6) Здесь г может принимать любые целочисленные значения (г = 1, 2,...).
Значение г = О соответствует нулевому току в цепи. Однако вследствие периодичности аш —, входящего в (2), число собственных частот системы 2' будет конечно. Чтобы получить весь спектр частот, достаточно менять г в пределах 1 < г < Ж. При этом зг будет меняться в пределах О < и < т, каждому эг будет соответствовать одна собственная частота, а всего частот будет М, как и должно быть в системе Ж связанных контуров. Они будут лежать в интервале О < ы < 2«!о. Для интерпрепщии величины и введем координату р„= ап и-й ячейки (а — «длина» одной ячейки цепи). Тогда (3) вместе с временным мнсякителем можно записать в виде 9 1. Квазистаднонарные данелия е линейных нроеодннмал 361 370.
зчгг = 2 ч/~о "' О 371. Обозначим токи в юнтурах С СаМОИНДУКЦИЕй Ь1 ЧЕРЕЗ Рг, В ЮитУ- рах с самоинлукцией Ьз — через к'. Уравнении Кирхгофа будут иметь вид: Рис. 74 — — ~.рг„+ — (2.Ԅ— .~У вЂ” .кн' 1) = О, от — —.й„+ — (2.рп †.Є†.Фн 1) = О. ог1,9 1 МС Введя частоты отз =, озз =, получим 1 т/ХзС (2озтз — изз).Ф„= оззз(.Ф„' + .Ф„' 1), ( (2ыз — гд')Рн' = о зИ + Рн-1) / (2) Решение зтой системы будем искать в виде .ря = Аее~, .Ф' = Ве' и (3) 'Подробнее о колебаниях атомных пеночек см., например, М.А.Леонтович, Сгатмстическая физика, Гостехнздвт, 1944 с; М. Борн и Хуан Куна, Динамическая теория кристачлическнх решегок, ИЛ, 195а г. Аналогии между элаггрическими и механическими колебаниями рвыматриваотся в книге Л.
Бриллюэна и М. Пароди [19], гл. 3 и 4. Величина 2Я имеет смысл «длины волны» колебаний в дискрепюй цепочке; для длинных волн (Л Лв а) имеем )са « 1, откуда следует, что фазовая и групповая сюрости с„= оя — — озоа и не зависят от 1с — дисперсия отсутству с 1'рафики зависимости пт н сд от 1с приведены на рис. 74. о аг Электрические колебания рассмотренной цепочки аналогичны механиче- гсеа ским колебаниям линейной одноатомной цепочки, которая может служить одномерной моделью кристалла. Индуктивность Х аналогична массе атома, величина 1/С вЂ” юзффициенту жесткости'. Зб2 Глава 771 где А, В, вв — постоянные.
Подставив этн решения в (2), получим Ар г+,г) В„г(1+с — о ) В(2,„г „,г) А г(1+ага) (4) Из равенства нулю определителя этой системы найдем связь между частотой ю и лп =юг+юг+ г г г Чтобы получить весь спектр колебаний, нужно меюпь вв в пределах от О до а. Значения лг, как и в задаче 369, могут быть найдены из граничных условий. Наиболее существенным отличием от случая цепочки с одинаковыми звеньями авляегся то, что каждому значению лв теперь соответствуют две частоты, как следует из формулы (5). Поэтому существуют две ветви О Рнс.
75 колебаний. Обозначим частоты этих колебаний через ы~ и ю, где индексы «+» и « — » соотвезстауют таким же знакам перед корнем в формуле (5). Зависимость частот от гв изображена графически на рис. 75. Колебания с частотой ю аналогичны колебаниям в цепочке с одинаковыми звеньамн. В частности, при малых и (длинные волны) имеем т.е. дисперсия отсутствует. З 1. двазиепгояионорные пввенип в линейных нровоонимах 363 Для ветви го+ при малых ве получим выражение для закона дисперсии вида шв = а+ Ьвез.
При ве — 0 фазовая скорость стремится к бесконечности, а групповая скорость обращается в нуль. Для исследования характера колебаний в обеих ветвях найдем отношение амплитуд тоюв в соседних юнтурах для очень длинных вг (( 1 и самых коротких (вг близю к я) волн. Из равенств (4) имеем при ве ~ 1: для ветви го (А) для ветви гов. г (А) ~~~ в'з + го2 Для ветви го колебания тоюв в соседних юнтурах происходят с одинаввой амплитудой в одной фазе.
Для ветви гов. юлебания в соседних юнтурах противофазны, а амплитуды юлебаний обратно пропорциональны индуктивностям. При вг = я ыв — — ~/2гог, го = ~(2игз. Переходя в формуле (4) к пределу вг -+ л, получим (А) О, (.4) О. Таким образом, в предельном случае ве = и колебания с частотой иг.1. = г 2 = с~ — происходят тольгв в контурах с индуктивностями Ьг, а юлебания ~( Ь,С с частотои иг = с~ — — в юнтурах с индуктивностями Ьз, 1 2 1~ ЬвС Рассмотренные в этой задаче колебания с частотами го и игв являются аналогом акустических и оптических колебаний в линейной атомной цепочю, состоюцей из атомов двух сортов с разными массами (см. литературу, указанную на стр.
35Я). 372. Уп = АЯгп+ВЯзн, зб4 Глава 171 где 171, 112 — корни уравнения (2) Постоянные А, В определяются из граничных условий Уи = О; (.Фо— — .Ф1)22 = У1. Второе условие означает, что между точками а'6' (см. рис. 23) приложено напряжение У1. Используя равенспю д1Е2 = 1 вытекающее из (2),получим окончательно: (г2 = р12 — 1В2 = П1 Ч2 91 (1 21)22 (1 22)21 373. Коэффициент передачи К определяется из результатов предыдущей задачи: Я1 Ч2 (1 — а)юга — (1 — В)4' В знаменателе этого выражения имеются множители д~~ и дз~.
Так как 111 112 = 1, то возможны два случая: а) р71! = 'р72( = 1; б) р11( > 1, р71) < 1. В первом случае дзн и д212 будут по модулю равны единице, Х тоже будет порядка единицы. Во втором случае при 11' » 1 р71~'~ >> 1, а )д212! << 1, поэтому Ч1 Я2 (1 — 72)а1" Интервалы частот, для которых реализуются случаи а) и б), определякпся из уравнения (2) задачи 372. Из него следует, что Если подкоренное выражение отрицательно, то ~71 и оз — два комплексно сопряженных корня, по модулю равных единице, т.е. осуществляется случай а).
При положительном подкоренном выражении, й1 и 112 вещественны и различны, т.е. имеет место случай б). Приравнивая нулю подкоренное выражение, найдем область значений Я1, Яз для случая а): $1. Хвавиетааионарные лавенов в линейных нроводнимах 365 Это соответствует значениям ыг, лежащим между с~(4Сг + Сг) н Х|Сг СгСг(4Хг+Х|) 374. Рассмотрим и-й замкнутый контур искусственной длинной линии (рис. 76). Этот контур можно рассматривать как эквивалентную схему лля отрезка длиной а линии с распределенными параметрами, причем вхХ будет индук- ЬЬ тивностью, а 1С вЂ” емкостью данного отрезка. В случае произвольной зависимости тока в линии от времени уравнение Кирхгофа для этого Х„ контура примет вид: — — ХьХ вЂ” "+ — * — — ' = О, (1) 1 дУа <Ь-цо Яа+ка сг д1 ХЬС ЬС Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
