В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 58
Текст из файла (страница 58)
76 ГЛЕ О„Г „Н он+но — ЗаРЯДЫ На ВЕРХНИХ ОбКЛаДКаХ ЛЕВОГО Н ПРаВОГО конденсаторов. Дифференцируя (1) по времени и пользуясь соотношеииЯми фв г „= —.Ф„+ .Фо и 1)„,нвл = Ун — У„.~ы полУчим: — геьХ г" + — (2Уа — Фа-1 — Ун.~-1) = О. (2) с д$ Теперь нужно перейти от переменной и к переменной г — координате точки линии с распределенными параметрами. Для этого положим .Ф„(Ф) =.Ф(г,г), У„г(Ф) = У(г — а,1), .ров.г(1) = У(г+ а,1) и вычислим разности: У вЂ” У г- — а — — — а дд 1дгд — дх 2дг дФ 1дгУ г ое — у в.г ав — — а — — — а . а н д 2дг Подставляя эти разности в (2) и замечая, что Ь вЂ” — и С вЂ”вЂ” ЬХ, ЬС индуктивность и емкость на единицу длины, получим уравнение Х дг.й 1 д~.Ф сг дс =Сдав Збб Глава 177 Это — уравнение длинной линии без потерь.
В реальной длинной линии всегда имеются потери как за счет сопротиавения в проводах, так и за счет неидеальной изоляции между проводами. Эквивалентная схема для случая, когда второй фактор не учитывается (т.е. изоляция проводов считается идеальной), приведена на рис. 77. Уравнение длинной линии (телеграфное уравг1гл нение) в этом случае можно получить таким же способом, как было получено (3): — — + — = — —, Ь дз,у д.й 1 дз.у (4) сз дзз Ю Сдзз' ще лг — активное сопротивление проводов на Ряс. 77 единицу длины. 375.
Решая уравнение (3), полученное в предыдущей задаче, найдем где с = — скорость распространения волн в длинной линии, Й = lй = Яг, г = 1, 2, 3..., Ь и С вЂ” индуктивность и емюсть на единицу длины. В полученном спектре длинной линии, в отличие от спектра цепочки с сосредоточенными параметрами, число собственных частот бесконечно.
Это связано с тем, что длинная линия является континуумом с бесконечным числом степеней свободы, тоща как в цепочке число степеней свободы Ф— конечно. В случае идеальной длинной линии характерно также отсугствие дисперсии. 37б. Исходим нз закона Ома в дифференциальной форме: 3 = а(Е+ + Е ), где ń— напряженность поля сторонних сил. Выразим Е через потенциалы: Е = — ~7~р — — — Е = — + (7~р+ — —.
1дА 3 1дА с дг сг с дг Считая проводник тонким, проинтегрируем обе части последнего равенства по контуру, совпадающему с проводником: Е™ гг 'гй+ ~зг г"'+ с дг ' (1) Интеграл, стоящий в левой части равенства (1), представляет собою стороннюю э.д.с. 8~, включенную в цепь; интеграл у' — гй = .Ф В определяет 3 Зб8 Глава )7т' Первый член в этом выражении не зависит от частоты и представляет собой обычную индуктивность'; второй член дает поправку, существенную при высоких частотах. В разложении синуса нужно учесть кубический член, так как интеграл от первого (линейного) члена обращается в нуль.
Сопротивление излучения Н( ) м 2(1 йт 2з 2 за 377. Х(оз) = Л+ и ° и, Н„(оз) = и ( ~~) . Кольцо с током 3 )3' является магнитным диполем. Знергия, излучаемая в единицу времени, дается формулой — ~, где гп — мапппный днпольный момент. 3 сз Значение коэффициента пропорциональности между излученной энер— 3 2азазыа гиен и .Ф равно 2п и и совпаддет с ят(ы). Зс 92. Вихревые токи и екии-эффект з з ~ а)зз)з)б+соазЬ)бl с * ГЯ~~ (ь — ~а() При б чК Ь, Н(х) = Нее б; при б » Ь, Н(х) = Но (ср.
с задачей 247). 379. Так как система симметрична относительно оси цилиндра, а первичное магнитное поле Но однородно, то ясно, что вихревые токи в цилиндре будут течь по окружностям в плоскостях, перпендинулярных его оси. Зги токи создадут такое же магнитное поле, катюе создавалось бы множеспюм отдельных коаксиальных соленоидов. Но поле соленоида во внешнем пространстве равно нулю, а внутри соленоида направлено вдоль его оси.
Таким образом, полное мапппиое поле вне цилиндра совпадет с полем Но, а внутри цилиндра определяется первым уравнением (УП.12), которое ввиду осевой симметрии примет вид — +- — +к Н=О, а(зН 1 т(Н ((тз г т(г 'Праатически дла вычислении самоиндукпии нумно нспользомпь Формулу (УЛ 8), так пм нитетрал у у .
растолитса. Эта расколимость вызвана тем, что проводник считмтел <Й <Й' бесконечно тонким (линейным). 369 Ь 2. Вихрееме моки и скин-эффекм где йз = '+', Н = Н,(г), и граничным условием Н(а) = Но. Решение, конечное при г = О и удовлепюряющее этому граничному условию, выразится через функцию Бесселя нулевого порядка." 1о(йг) ,Хо(йа) Вне цилиндра имеем Н=Нс ирна(г(Ь, Н=О приг>Ь. Плотность тока и электрическое поле внутри цилиндра вычисляются по формуле (УП.11): т'=та =сгЕа= ' Но Е~=Е*=О йс ег(йг) 4я .уо(йа) с Внутри цилиндра имеется только одна компонента электрического ноля Е, из граничного условия на поверхности стержня и из симметрии системы следует, что вне цилиндра поле Е также будет иметь лишь составляющую Е, зависящую только от г. Если выбрать в качестве контура 1 окружность, то контурный интеграл дает 2зтЕ .
При вычислении интеграла по площади используем формулу (П 3.12). Окончательно получим: йсНо г1 (йо) а Е 4яо Хо(йа) Е й Но 71(йо) а Еи — 4я т г (йа) г + — (г — а ), волна<к<6. Но 2 2 + — (Ь вЂ” а), еслиг>6. НО 2 3 2г При отсутствии цилиндра, т.е. если а = О, поле будет равно Еи = Нег (г < Ь)~ Еи = (г > Ь) 1 НЬ 2 2г Для определения электрического поля вне цилиндра воспользуемся уравне- нием Максвелла для гос Е, которое запишем в интегральной форме: З7О Глава 171 Таким образом, добавочное магнитное поле, связанное с наличием цилиндра, равно нулю при г > а, хотя добавочное электрическое поле отлично от нуля. Это связано с тем, что точное уравнение гов Н = — —, справедливое 1аТЗ С дв вне проводника, заменяется приближенным уравнением гоФН = О (в квазистационарном приближении тоюм смещения нренебрегаем).
При точном решении задачи добавочное магнитное поле вне проводника также будет отлично от нуля (см. задачу 452, в которой рассматривается дифракцня плосюй волны на проводящем цилиндре). 380. При малых частотах ()йа( «1 нли 6 » а) . сНо г ЙчаНо у=в 4я бз 2с следовательно, плотность тока линейно зависит от т и пропорциональна При больших частотах ((йа) » 1 или 6 «а) нужно использовать асимптотическую формулу для функции Бесселя, с помощью которой получим сНо Га О+4) З = (4 — 1) — )/-е 4кб 1 г При а — г » 6 плотность тока становится исчезающе малой. Таким образом, при больших частотах ток сюнцентрирован в основном в тонком поверхностном слое. ЗН1 д= '"'~'В,~'"("')1 Ьз- 4 4м™ ~ Хо(ла) ~ с При )йа( «1 (малые частоты): ао (а)4 з (а ввгка ао)з При ~аа( >> Ц (большие частоты): диссипапня энергии при малых частотах пропорциональна ыз, а при боль- ших — ~/м.
37) 2 2. Вихрееме моки и скин-эффекм При ~ка( >> 1 (большие частоты): 4 ~ аь/2~г(тм ~ 4т/2~пи следовательио, при болыпих частотах )1н — О, т.е. потери уменьшаются„ ввиду вытеснения поля из цроводвика. При ~ка( << 1 (малые частоты): у па~ею 3н паше 2 6 2 2 4 12с4 8сз Таким образом, при ш — 4 О ф — 4 О; это связало с тем, что р = 1, т.е. статическая магшпиая поляризуемость равиа нулю. 383. Магиитиый момент, создаваемый вихревыми токами, вследствие симметрии системы будет направлен вдоль виешиего магнитного поля.
Поэтому во внешней области полное магнитное поле Нз можно записать в виде 4г(пз г) 2гп т4 т2 Е' Здесып — иеизвестиый магнитный момент единицы длины цилиндра, совпадающий по направлению с Не, г — радиус-вектор в плоскости, перпеидикуляриой оси цилиндра. Полю Нз соответствует векторный потеициал Аз = 2(т х т) + (Но х г), юторый в проекциях запишется так: Аз, = Аз = ( ~+Кот) ьбпа, А2„=Аз =О (2) (угол ск отсчитывается от направлении Но). Таким образом, во внешней области векюриый потенциал имеет только продольную (отиосительио оси цилиндра) составлвющую, пропорциоиальиую вш щ Условиям непрерывности составляющих поля иа границе можно удовлетворить, если искать векторный потенциал во внутренней области в аналогичном виде: (3) А2е ы А1 = Г(т) в|па, А1„ш А4 = О.
Электрическое поле Е выражается в общем случае через оба потенциала: А и ~р. 372 Глава 777 Наложим, как обычно, на потенциалы дополнительное условие с11тА+ — — = О. в д1с с дс 2Но озНо ~ 2 7з(йо) 1 С= (5) й.7о(йа) ' 2 1. йо 7о(йа) ) ' Из выражения для т следует, что поперечная магнитная поляризуемость цилиндра (6) вдвое больше его продольной поляризуемости (см. задачу 382).
Компоненты магнитного поля внутри цилиндра определяются из (4) и (5): Нзт = = 2Но 1 дА1 7г(йт) сова, Нзл = О. т да йт,7о(йа) (7) дАз 7((йт) Н1 = — — = — 2 Но вш а. дт .7о(йа) Определим еще плотность тока в цилиндре. По формуле 3 = с гос Н 4н получим ,7, = — — в1л а, .7,„= ут = О. сНо 7з(йт) (8) 7о(йо) Из формулы (8) видно, что в каждый момент времени в двух половинах цилиндра О < а < з и з < а < 2з токи текут в противоположных направлениях; полный ток через сечение цилиндра равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
