В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 62
Текст из файла (страница 62)
справочник [90), 7.200, 7.251): а)3 а(а+ 1))3(,9+ 1) 7 ° П 7(7+ 1) ° 2! 39б Глава 17уу Поэтому решение уравнения (4) запишем в вице ф = СР [ — г(й+ йо)а, — 1(й — йо)а, 1 — 21йо, — е ]. (5) Г(у)Г()3 — а) Г(у)Г(а — уУ) Г(8)Г(т — ) Г(гв)Г(у — 13) С помощью этой формулы убеждаемся, что условие (2) выполнено. Коэффициент отражения В— гУ з Г(2вйоа)Г[1 — г(й+ йо)а]Г[ — 1(й+ йо)а] (Т) А Г( — 21йоо)Г[1 — 1(й — йо)а]Г[ — 1(й — йо)а] Для упрощения полученного выражения используем формулы Г(2(йоа) Г(21йоа) = 1 и Г(л)Г(1 — л) = Г( — 2йоо) Г*(21йоа) в1п ял Оюнчательно получим вйз яо(й — й,) вЬ~ яо(й+ йо) (8) При малых а (йа « 1) В переходит в известное вырвкение, справедливое при скачюобразном изменении ш Я= (й — йо)' (й + йо)' С ростом а В монотонно убывает.
При больших йа убывание происходит по экспоненцнальному закону: и е-4ваоа йо » 1 Чтобы найти вид функции вй при с -+ — оо, воспользуемся асимптотнческим представлением гнпергеометрической функции, которое легю получить нз [90] (формула 7.232, 2): 397 З 1. Плоские волны в однородной среде. 423. При нормальном падении волны на неоднородный слой, злектрическое поле зависит только от г и удовлетворяет уравнению с(2Е 1сг 12 2 = — е(1с,г)Е = О. Обозначим лис = гм тогда е = 1 — г .
Введением переменной б = 4ле № 1 — (21 — г) уравнение (1) приводится к виду' =(",')' с'гт / (2) дбг Решение уравнения (2) проще всего получить с помощью преобразования Фурье. Разложим Е(с) в интеграл Фурье: ЕЯ = Е(и)еы" т(и, Е(и) = — ЕЯе и" Щ. Подставляя разложение ЕЯ в (2), получаем относительно амплитуды Е(и) дифференциальное уравнение первого порядка: ЮЕ(и') Ыи + айЕ(и) = О.
В результате преобразования Фурье мы получили вместо уравнения второго порядка более простое уравнение первого порядка. Уравнение (3) легко интегрируется, его решение Е(и) = А'е Перехода к Е(Р), имеем вша) А' 1 '~т ~ ы ' Таим же уравнением в квантовой мсканнке описывается движение частнпы в олнароднам силовом пале. 398 ГЛаеа сШ нз -с( — -ец) Представляя е з ' в виде суммы синуса и косинуса, и замечая, что а в силу нечетности подывтегральной функции интеграл от ап~ —" — би) ~з равен нулю, получим: Е(б) = — сов(~ — би) Аи.
с С4) Ф(б) = — ' 1 соз(— " + б ) А с называется функцией Эйри' (она может быть выражена через функции Бесселя с индексом — ). Таким образом, окончательно 1 3 ' Е(б) = АФ( — с). Константа А должна определяться из условия на границе слоя. Исследуем поведение Е(б) при больших ~(~. Пользуясь асимптотическими формулами для Ф(б) (см. [11]), получаем при больших положительных значениях б; А , (2б у + ) Здесь поле имеет осциллируюппай хаРактеР. При больших по абсолютной величине Отрицательных значениях (: А -з16м' 2ф1Уа 'Эта фунижа пощюбно нсспсцоаана В.А.
Фоюм (см. В.А. Ф о н, Таблицы фуннцнн Эарн, 1946 с). Поле экспоненциально затухает. Причина этого состоит в том, по отрицательным ( соответствуют отрицательные значения диэлектрической постоЯнной е. Но пРи е ( 0 волновой вектоР 1с = бтУе становитсЯ чисто мнимым, по и ведет к затуханшо. Однако затухание в данном случае связано не с переходом электромагнитной энергии в тепло (так как диэлектрическая проницаемость вещественна — потери отсутствуют), а с отражением волны От слОя с Отрицательным е. 399 З 1.
Плоские воины в однородной среде. 424. Ф(х,0) = А(х,0)еаыв, где х'аь' А(х, О) = ао~Я~Ысе 4 Амплитуда волнового пакета А(х, О) имеет форму кривой Гаусса. Она становится исчезающе малой, если ~хай~ >> 1. Отсюда следует, что ширина пакета в обычном пространстве связана с его «ширинойв в пространстве (с соотношением Ьх ° Ьй н~ 1. Это соотношение имеет универсальный характер и справедливо как для электромагнитных волн, так и для волн любой другой природы. Оно играет особую роль для волн вероятности в квантовой механике, приводя к соотношению неопределенностей для координаты и импульса микрочастицы.
425. Ф(0,8) = А(0,$)е ™1, где в'а ' А(0,8) = ао~/яЬме в; Ы. Ьм = 1. 426. Ьх и = А, где б — половина угла конуса раствора лучей, 2тв1ад' проведенных из обьектива микроскопа к рассматриваемому обьекту. 421. Волновой импульс, посылаемый радиолокатором, имеет ширину Ьх, связанную с поперечным разбросом волновых векторов йз соотношением Ьх йз > 1. С другои стороны, очевидно, — св —.
Из этих двух Ьх К. й соопюшеннй находим неточность в определении положения обьекта: 428. Волновой пакет описывается функцией / з Ф(г,с) = 4тао~ —.уз (р9)ейвв' ив~1, 2рз где,Уз (х) = )( тх ( в1" * — сов х) — функция Бесселя, р = ~г — ивс~. Группо- 3 вая сюрость ив —— — м — вектор с компонентами —, —, —. Амплитуда дм дм дм дм дк дн ' дйв' дй, ' волнового пакега теперь заметно отлична от нуля только в пространственной (сферически симметричной) области рд < 1. Пакет ограничен по всем трем измерениям.
4бО Глава в7П Как видно из выражения для Ф(г,в), форма пакета со временем не меняетса. Это обусловлено линейным законом дисперсии, который строго справедлив для электромагнитных волн толью в вакууме. При учете следующих членов разложения ы по Й имеет место изменение («расплывание») формы пакета. Пакет движется как целое с групповой скоростью тв. 429.
Представив зависимость м(к) в виде ы = ыо+ ид(й — йо)+ яй — йо)г, получим (в-ввВ) ~ +цаох-ывй у(х, в) = ао я е 4~«.Май — о~( Характер зависимости этой комплексной амплитуды от х и г проще исследовать, образовав квадрат модуля (именно он определяет интенсивность волны): а(в — ввФ) ко ~А(х в)~г о е г(а'+д'в') /Рт(во' Из этого выражения видно, что интенсивность волны как функция х при фиксированном г имеет вид кривой Гаусса, но ее ширина 1 растет со временем: 2(,„г + бгвг) 1 а высота убывает за счет множителя (ггг + дггг) Волновой пакет расплывается. Расплывание происходит симметричным образом (в сторону г = +со и в сторону — оо) и, разумеется, не связано с поглощением энергии, так как й вещественно.
Отсутствие диссипации видно и из того, что интеграл ) )А(х,г))гИх = ./ т аог не зависит от 'у 2о времени, т.е. «полная интенсивность» сохраняегса. Причиной расплывания являетса неодинаювость скоростей распространения (фазовых) о, = ж отй дельных плоских волн, входящих в суперпозицию: вследствие дисперсии отношение — зависит от Й. й 5 2. Плоские воины в аннютропных и гиротропных средах 401 430. Прим « ыо [дзмз ю2ю2 (1 )<с,; (1 )<с, ~/66 62 еоыв ' ~/ес 2 еоиг4 где ео = 6(0). Прим »ыо ы2 Ш2 о„— с(1+ ) >с, се — с(1 — ) <с.
В последнем случае о„се ев сз. Вблизи резонансной частоты (ы св ыо) понятие групповой скорости теряет смысл. 431. Как следует из результатов, полученных в задачах 428, 429, функция, описывающая волновой пакет, имеет вид Е(х С) = Ео(х И)сан,*-ыео Здесь амплитуда Ео(х, 1) менястсв значительно медленнее, чем ечаон оо (периоды изменения этих функций относятся как ЬЙ/Йо). Пренебрегая изменением Ео по сравнению с ехр1(кох — ыоФ), имеем из уравнении Максвелла Н(х, Ф) = — Е(х, С) = — Ео(ХДеч"~ Плотность потока энергии, усредненная по периоду 2Х/мс изменения высокочастотной составляющей, равна 'у(х,е) = 8 /Ве(Е х Н )/ = — дЕо(х,с)ЕО(хД.
Из соотношения 7 = оР находим скорость переноса энергии: О= с Йа = — = ев. — ( ~Лй) 4УС Й~ $ 2. Плоские волны в анизотропных н гиротропных средах 432. совек =, Фйо = — ФЯО. (.„-.,).~,1 В 62 совз В+ 62 61П2 В ~! Глава ГШ 433. Для того чтобы граничные условия для векторов поля выполнялись в любой точке поверхности раздела, необходимо равенспю касательных к границе раздела компонент волнового вектора у падающей, отраженной и обеих преломленных волн.
Для обыкновенной волны зто дает 81П дз = ф~р. йо 8(пдо = й1 ьйп дз, Направление луча (вектора Пойнтинга) в обыкновенной волне совпадает с направлением волнового вектора и составляет, следовательно, угол дз с нормалью к границе. В случае необыкновенной волны имеем ко81пдо = гг281пдз = йо 8ШО2 (см. (УП1.23)). Отсюда находим 8 ~~ 81пз до аюзд," = ахеуЦ+ (81 — ех) 81п до Угол да между лучом н оптической осью (совпадающей с нормалью к поверхности раздела), согласно результатам предыдущей задачи, определяется условием ех да з(С зщ до тбда = — сбд" = ° 2 81(81ф — 81п дс) Угол отражения от кристалла, как и от изотропной среды, равен углу паде:д =д.
434. Обыкновенньгй луч лежит в плоскости падения и составляет с нормалью к поверхности угол Оз. вшдз = ~82 п81пдо. Волновой вектор кз необыкновенной волны лежит в плоскости падения и составляет с нормалью угол дз: ' ядав ех 81п дс 2 81П ел 8112+ (ех — 81) 81п досо8 й 5 2. Плоские воины в аиизоеронных и гиротронных средах 403 Направление луча в необыкновенной волне не лежит в плоскости падения. Луч расположен в одной плоскости с 1сз и оптической осью и составляет с последней угол д, причем (рис.
70): е1 еш оо сое сх 435. Подставляя в уравнения Максвелла (УП1.1нт111.4) выражения полей Е и Н в виде паоскнх волн, получим уравнение, определяющее Рис. 84 амплитуды и волновые векторы волн, которые могут распространяться в данной среде: 1с х (1с х Но) = — ~ ДНо. (1) Введем угол о между волновым вектором 1с и осью х и запишем (1) в проекциях на оси координат. Приравнивая нулю определитель системы, получим бюсаадратное уравнение относительно )с. Его решение дает: ,озед,иеш о+ (2дз /1с1) ~ lсз (2) 2сз (1сс~д1 — 1) еш'О+ 1 Глава рШ д~ — да' — д~д~! )л = В каждом направлении могут распространяться две волны с разными фазовыми скоростями она = м, зависящими от угла д. Направлений, для лвд которых этн фазовые скорости становились бы одинаковыми, не существует, так как радикал в (2) не принимает нулевых значений ни при каких а. Если в формуле (2) положить д, = О, то она будет определять фазовые скорости волн, которые могут распространяться в негнротропном, но анизотропном магнитном кристалле: з м2 3 м2 вд-ге!! )вг врл"- )вз з з сз ' сз )лв созз0+ дл е)пад Первая из этих волн (обыкновенная) имеет скорость ст ф~щ ' не зависящую от направления распространения.
Скорость второй волны (необыкновенной) зависит от угла между осью симметрии кристалла и направлением распространения. При распространении волны вдоль оси симметрии (а = 0) обе скорости совпадают, две волны вырождаются в одну. 436. В любом направлении могут распространяться две волны с фазовыми скоростями оьа =, рвпз определяется формулой (2) предыдущей йвл' задачи, в которой нужно заменить магнитные величины соответствующими электрическими. 437. Плоская волна, распространяющаяся вдоль постоянного магнитного поля, распадается на две волны с правой и левой круговыми полярир Ф р лр ррл прр р р а рр р р лю одна из волн (со скоростью о = с 1 будет чисто поперечной (Е 1. $с, треф~~ / Н 1 1с).
Она аналогична волнам, распространяющимся в изотропной среде со скалярными параметрами е, д = прр Во второй волне (со скоростью о = = с 1 вектор Е будет направлен вдоль постоянного магнитного в(И,-И.)~ поля„а вектор Н будет иметь составляющую в направлении распространения. Таким образом, волна с произвольной поляризацией расщепится на две линейно поляризованные волны. з 2. Плоские волны в атаотронных и гиротронных средах 405 Все результаты, полученные в этой задаче, сохраняют силу и для случая, югда е является эрмитовым тензором, а 1л — скаляром.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
