В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 64
Текст из файла (страница 64)
й* Остальные компоненты двь равны нулю. Как видно из (2), магнитная проницаемость зависит теперь не толью от частоты, но и от волнового вектора. Это связано с тем, что намагниченность в каждой точке зависит от значения магнитного поля не только в этой, но и в соседних точках (член г1~~М в выражении для НЭЕЕ). Эффект зависимости электрической или магнитной проиицаемостей от волнового вектора называется пространственной дисперсией. Зависимость д от 1с играет существенную роль только в случае сильно неоднородных полей (малые длины волн). 447. Ищем совместное решение уравнений Максвелла и уравнения движения вектора намагниченности (1г1.15), имеющее вид плоских моно- хроматических волн: Е = Еоей"' ~г) Н = Но+Ьоейв в "г), М = Мо+пзоей"' "О (1) 5 2. йхосхие еохиы е аииииироииых и гиротроииых средах 411 Выберем ось х в плоскости (и, е,) и обозначим угол между е, и и через О.
Из (4) следует система линейных уравнений относительно компонент гпо.' ,. + (1+,"~,)тои = О, ( пбз 1 + сов о) гло — 1хгпои — — О. хз бз Условие разрешимости этой системы дает искомое дисперсионное уравне- ние (1+,) (1+,, сов'9) - х' = О. (б) ыз = (ыо + ыз)(ос + ыг + ыы вш~д) (6) (здесь ыг = д~)езМо зависит от абсолютной величины волнового вектора). Из условия ы е « сзкз, считая ыс, ыг и ыы сравнимыми по величине, находим, что закон дисперсии (б) справедлив толью при выполнении условия с~ >> 1. Найдем относительную величину Ео и по для волн с законом дисперсии (6).
Используя уравнения Максвелла (2) и условие ~ е << 1, получим хдх Ео ж 4™(1с х пз); Ьо ее 4кп(п ° пз). Таким образом, Яо « Ьо. Рассматриваемые волны представляют собой чисто магнитные колебания вектора намагниченности, при которых электрического поля не возникает. Они называотся спиновыми волнами и определяют многие магнитные, тепловые и электрические свойства ферромагнеппюв. Эго уравнение — третьей степени относительно иР Оаз = Йзхэ, Й не зависит от ы), поэтому в рассматриваемой среде могут распространяться волны трех разных типов, различающиеся законами дисперсии.
Два из этих законов дисперсии были исследованы в задаче 435 (где мы полагали щ = О). Им соответствуют обычные электромагнитные волны, распространяющиеся в гиротролной среде. Для исследования третьего типа волн используем условие х е « 1 (при этом х « с~). Пренебрегая в знаменателях в уравнении (4) хз по сравнению с Сз, получим третий закон дисперсии: 412 ГЛаВа с'Ш 448.
Направим ось у в глубь металла нормально к поверхности, ось а — вдоль постоянного магнитного поля. Поскольку импеданс с, не зависит от угла падения волны, рассмотрим случай нормального падения. Решая уравнения Максвелла и пользуясь определением поверхностного импеданса, получим аг — аз )с с — д, з з 2 2 а=, )с= 53. Рассеяние электромагнитных волн на макросконических телах. Дифракция 450. Удобно ввести цилиндрические координаты с осью з вдоль оси цилиндра и отсчитывать угол а от направления волнового вектора 1с падающей волны. Из соображений симметрии следует, по векторы поля не зависят от з и имеют голые компоненты Е„Н„и Н . Опуская в дальнейшем везде временной множитель е ', воспользуемся для определения отличных от нуля компонент поля волновым уравнением (У1П.б) для Е и уравнением Максвелла (УШ.1).
Первое из них позволяет определить Е„ а второе — выразить Н„и Нс„через Е,: 1 дЕ, Н,= —, йт да' 1 дЕ, с/с дт ' Вторичное псле Е' = Š— Ее, вызванное наличием цилиндра, удовлетворяет уравнению 1д/дЕ'1 1дзЕ' з — — ~т — ~+ — — +Ь Е'=О. тдт1 дт / та дпа (2) Зависимость ~„от частоты носит резонансный характер (см. задачу 331, в которой вычисляются компоненты сссь). Компонента с,вв не обладает резонансными свойствами, так как )св = 1.
449. ~~ = ~ — = — (1 — 1) —,где)с = ссс~,иа,сг =аз~аз, Ььс )( 8ла~ Ел.з и Ььг — циклические компоненты Е и )з (Ььз = ~ — (Ьв ~ сЬа)) . 1 зс2 413 Если полояапь Е' = Н(т) Ф(а) и разделить переменные в уравнении (2), то получим Е'(т, а) = ~~~ Ф (а)Н (т). Чтобы записать решение уравнения Бесселя (3) сразу в удобной для нас форме, обратимся к граничному условию т — оо. Поскольку Е' описывает вторичное поле, создаваемое наводимыми на цилиндре токами, то при т — оо оно будет иметь вид расходящихся цилиндрических волн.
Это означает, что Е' должно быть в этой области функцией вида еа" Е' = АУ(а)— /т (6) Условие (б) будет удовлепюрено, если в качестве решения уравнения (3) выбрать функцию Ханкеля Н( ~(кт) (см. приложение 3), юторая при больших т имеет вид НЯ)(й~) — е ( з 4) (ьт )) 1) т якт Второе линейно независимое решение будет содержать член вида сося~ е '"", описывающий сходящуюся цилиндрическую волну, которой в условиях нашей задачи быть не может.
Поэтому решение уравнения (3) запишем в виде Щ„(т) = Н~ 1(йт). Уравнение (4) имеет решение Ф~(а) = А,„е' " + В~с ' Так как при изменении а на 2л поле не может измениться, число пз должно быть целым. Если считать, что т принимает и отрицательные значения, то в выражении для Ф (а) достаточно оставить только один член, напри- мер, е'~". Окончательно Е'(т, а) примет вид Е'(т,а) = Ео ~ А„,НО1(ят)е' Ф'„', + и Ф~ = О. (4) Через тлз обозначен параметр разделения. Общее решение уравнения (2) запишется в виде суммы по всем допустимым значениям пк 414 Глава ГШ на больших расстояниях (7) переходит в (б), причем 7(сл) = ю7 — -~'А е ( з 4) — т Коэффициенты А ряда (7) нужно определзпь из граничного условия иа поверхности цилиндра Так как он считается идеально проводящим, то Е'+ Ео = О при г = а (8) енм а+ ~~ь А Н1В(йа)е' = О. Пользуясь ортогональностью функций е', получим Цаососа-со а),у + о о4,НП)(ос ) / о откуда с помощью (П 3.11) находим .7 (ка) Н (7са) (10) Полное электрическое поле, таким образом, равно Е(г а) = еевас — б' ~~~ НОО(7сг)ес (11) Н( 1(7са) Компоненты магнитного поля определяются по формулам (1): ВЫ" сова Ч ~ 4 '7~о(йа) Н1" (7СГ) Саа 2- НО)(йа) йг 1 4.7 (йа) ИНЯ1(йт) в Н (7са) Вторичное электрическое поле поперечно во всем пространстве; вторичное магнитное поле становится поперечным иа большом расстоянии от 415 цилиндра, при кг » 1 (волновал зона), когда продольная составляющая Н„ исчезает вследствие наличия лишнего множителя Йг в знаменателе.
Поверхностная плотность тока определяется из граничного условия для касательной составляющей Н: 1(гг) = в',(а) = с Н (а, а). Полный ток: ,Ус(йа)Н~1'1 ()га) 451. В рассматриваемом случае поле двумерно. Поэтому в общей формуле ~Ы, = = (7П1.26) под йЕ нужно понимать интенсивность вторичных Н 7о волн внутри угла Йз, отнесенную к единице длины цилиндра: Н1 = 7г гкх Эффективное дифференциальное сечение рассеяния будет иметь размерность длины. Пользуясь результатами задачи 450, найдем йг, = )у'(а))яда, 1' 2 ~ „,,Т„,(йа)е ( (1) - -ЧЫс ° На) При произвольных ла формула (1) весьма сложна; она существенно упрощается, если ла « 1.
В этом случае в бесконечной сумме для Дгг) достаточно учесть один член с т = О, что дает изотропное распределение вторичного излучения: ягЬ Л (2) 2Й1п (Йа) 41п (/са) Полное сечение получится интегрированием (1) по гЬ. Воспользовавшись ортогонаш постыл функций е'~", получим 4 ~ ~~("о) Х ~ (з1 Н (ла) При йа « 1 (3) переходит в яЛ 21п~(ла) 41б ГЛаВа и'Ш 452. иа у гй н =ли~" ' — Г' г "' ~ и(и(г).г '~ Н,„(йа) 11У Е = Я' в1пае'"г'""+ — ~ 1'", Н( 1(кг)ев — т1' (йа) г — О й2 () Н (ка) ,т' (ка) Е = М~ ~совгтевьгиаиа + ч зги+1 ~ Н(1~ (Йг)евгаа а — Π— Н 1 (йа) где а отсчитывается от направления 1с, а ось цилиндричесюй системы ко- ординат совпадает с осью цилиндра.
аав(а) = а(1 — 2сгегг) йз, гт, = -тг Й а . Жа) З з 8 4 453. йт,' = совз1рйт1 + в1пз р йтг, йт," = 2(йт1+ йтг). 454. Неполяризованную волну рассматриваем как совокупность двух неюгерентных компонент одинаювой интенсивности, у одной из которых вектор Е направлен вдоль оси цилиндра, а у другой — перпендикулврно оси. Сечения рассеяния первом и второй компонент получены в задачах 451 и 452. Степень деполярюации р определвется отношением интенсивностей рассеянных волн (меньшей и большей): р = — ~ = -(йа)в 1п~(ка)(1 — 2созгг)з.
йт1 4 Так как (ка) « 1, то р очень мало, т.е. рассеянные волны почти полностью поляризованы при любом угле рассеяния; при соз а = —, т.е. при а = 60', 1 2' р обращается в нуль. 455. иа У % — ',У 1(Н,„1(йа) — Н,„У (йа) где ( — поверхностный нмпеданс металла; Н = Нг = О, Е = 1 гоФН. 417 ас~'ЗЦ~~ Л' М вЂ” Л т1(Ф 2 456. Ч = с' с Я '" '" '" ',", где ~' — вещественная часть поверхностного нмпеданса. Цилиндрические функции Л, Ф и Н (см.
(1) приложение 3) и их производные берутся в точке ка. Сечение поглощения: При )са ч. 1, т.е. при Л » а, поле в окрестности цилиндра является квазистационарным (проводящий цилиндр в продольном квазистационарном маппггном поле, см. задачу 379). Поэтому, выразив ~' через проводимость ст с помощью (УП1.9) и (УШ.11), получим для Я выражение которое совпадает с найденным в задаче 381 для случая сильного скнн-эффекта, если в нем выразить Я через магнитное поле.
457. При т > а: с„Л' ()са)Л Я'а) — Л ()са)Л' (Иа) Н„, (Ма)Л (кса) — СН,„У()са)Л ()с'а) х Н(с)()ст)ес Л,'„(кта)Н,„()са) — ьЛ (к'а)Н,„Цса) ю~/с)с Здесь 8с — амплитуда падающей волны, ь = ~1ф, )с = ~~, й' = остальные компоненты Е равны нулю. Поле Е вычисляется по формуле Н = . госЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
