В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 67
Текст из файла (страница 67)
486. б = 5 ° 10гв Т = 1,4 ° 10гз К 487. Г(т) = )' 1(и) сов итдш. о 488. Г(т) = 21 совьют. Ьит 489. Разность хода для света от одного нз независимых излучателей, находпцегося в точке (х,у'), есть вг — вг а: (см. рис. 26), Р хх'+ уу' если учесть, что поперечные размеры источника много больше, чем Р = = ~/Р+ Уг. Поле в точках гг(0, О), гг(0, О) создаетсл всеми излУчателлмн источнюа: и(гг,г) = ~~ь и;(Ф), и(гг,т) = ~~~ иг(Ф)ехр[ — 1 ' *й], ,хх, '+ уу,' 433 4 4. Догеренмноань и инаерСоерениин где и;(г, с), и;(г, т) — амплитуды поля 1-го излучателя на первом и втором отверстиях в момент времени т.
Корреляционная функция Г(г» гз,О) = и*(гт, с)и(гз, с) = иэ(т)ис(1) ехр[ — И ' „']+~' изЯитЯ ехр[ — И ' ']. с сФу Второй член в Г пропаитет из-за неюгерентности независимых излучателей. Первый же член представляет собои усредненную интенсивность излучения от отдельных излучателей с учетом разности хода вс — вз. Перейдя от суммирования к интегрированию, получим О 1(х',у)ехр[ — сй УУ ] Ыс(у' О 1(х', у') ~~ с(у' где интегрирование выполняется по поперечному сечению источника. 490. а) В(11) = ] у(.0, 0) [ = сов дым; б) В(13) = (2Л/х1У)11 Л— 491. а) р = аЯ = '1В = 1,47 х Гба км; 21зо б) Н = а11 = 1,22 ~ = 6,28 х 10а км; 1то диаметр звезды Бетельгейзе приблизительно в 450 раз больше диаметра Солнца и, следовательно, больше, чем диаметры орбит не толью Земли, но и Марса! 492.
От первого источника идет плоская волна ит = Ат ехр[с1стг] = = [Ат[ехр[1(1стг+ ас)], фаза ат и амплитуда А» которой менжотся случайным образом„причем Ат = О, а [Ас]з имеет постоянное ненулевое значение. От второго источника идет волна из = Аз ехр[11сзг], обладающая аналогичными свойствами.
Обе эти волны поступают в фотоэлементы Рт и Рз. Неусредненньсй сигнал от фотоэлемента Рт был бы пропорционален 1(г»1) = [ит(г»с)+из(гт,с)[з = = ]Аз [г + [Аз[э + АтАз ехР[1(1ст — 1сз) . т ] + А*,Аг ехР[ — 1(1ст — 1сз) . г]. (1) 434 Глава ГШ Сигнал (1) испытывает случайные флуктуации за счет флуктуаций фаз А1 и Аз на частотах, значительно меньших, чем частота волн иы ищ пришедших от источников. Эти флуктуации, тем не менее, не регистрируются и наблюдается усредненная интенсивность. При включении только одного детектора усредненная интенсивность Е(гг,1) = (Аг(~+ )Аг(з = Е(гг, г) не зависит от )г1 — кз (фазы А1 и Аз флуктунруют независимо, так что АдА* = АдАз — — 0). Пусть теперь сигналы от фотоэлементов Рг н Рз поступают сначала в умножитель, в ютором интенсивности Е(гг, 1) и Е(гз, 8) перед регистрацией перемножаются.
Набпюдаемый на выходе сигнал будет пропорционален Е(гг,1)Е(гз,1) = (!Ад/з+ /Аз/з) + 2!Аг/з/Аз!з сов(()сд — 1сз) (гд — гз)). Он зависит от кг — 1сз и, следовательно, от углового расстояния между удаленными источниками. Меняя расстояние гг — гз межгпг детекторами и наблюдая ослабления и усиления сигнала, можно найти зто угловое расстояние. 493.
Ьгл = Я(п — 1)х, где координата х отсчитывается от преломля2я Л ющего ребра перпендикулярно ему. Если любым способом осуществить на плоскости хр фазовый сдвиг Ьгр сс х, то такая плоскость будет поворачивать фронт плоской волны в сторону ббльших х, т.е. действовать так же, как призма. 494. Фазовый сдвиг на расстоянии х от оси линзы в случае собирающей линзы есть г тх ЕЛ ' где Š— фокусное рассгоание, определяемое равенспюм 1 ( )(1 1) У Егг Ег2 В случае рассеивающей линзы яхз Е1д =+ —.
ЕЛ 435 4 4. Когеренщность и нннерференянн 495. Распределение интенсивности света на фотопластинке имеет вид Х(х) = [Аг ехр[йхд~] + Аз ехр[йхдз] [з = Хг + 2 ~/Х1 Хз соз йдх, где дз = д+дг, |с = 2Я/Л, Хг = [Аг [э, Хз = ]Аз [а, юоРднната х отсчитывается вдоль фотопластинки, как показано на рис.
29. Распределение почернения на проявленной фотопластинке определяется распределением интенсивности Х(х). Пропускание Т(х) пропорционально [Х(х)] тХз, где т — юэффициент юитрастности фотоэмульсии, и является периодичесюй функцией х с периодом Л/д. Оно может быть записано в виде Т(х) = а + 6 соя йдх (а и Ь вЂ” постоянные), если оставить только две низшие гармоники.
Проявленную фотопластинку можно рассматривать как дифракционную решетку, которая разбивает падающую плоскую волну на плоские пучки, направления д распространения которых определяются соотношением — вша = Л д = пЛ, и = О, х1, х2,... Главными являются центральный пучок нулевого порядка и два пучка первого порядка в направлениях д = хд. Заметны, что эти три основных пучка можно получить, умножив падающую вину Ао ехр[йг] на пропускание Т(х). Прн этом получим волновое поле за фотопластинюй вида Асаехр[айх] + Ао — ехр[И(я+ дх)] + Ао — екр[й(х — дх)], 6 Ь где первый член описывает неотклоненный центральный пучок, второй— пучок первого порядка, отклоненный на +д, третий — пучок первого порядка, отклоненный на — д. 49б.
Опорное поле на пластинке имеет вид иг = Ас ехр[ — з',Ух], 2к(п — 1)а Р= Л Мы не пишем здесь и далее общего множитела ехр[1(йя — мФ)]. Поле, ди- фрагировавшее на отверстии: иг = А(х)екр[з~~ ]. ХЛ Суммарное поле и(х) = из+из, 4Зб Глава ГШ а интенсивность Е(х) = [и(х)[з = Аз+ Аз(х) + 2АсА(х) сов(бх -1- ™). Распределение интенсивности содержит информацию о фазе дифрагировавшей волны только благодаря наличию опорного пучка.
497. Пропускание Т(х) проявленной фотоэмульсии Аз(х) А(х) я ха Т(*) /1(*)/ ~ - А, (1 Г, .~- 2 (д ~- ) ] Е'Л ) — А т з(Азо — — Аз(х) — уАоА(х)соз(1Ух+ Ях ) ~, если использовать условие Ао » А(х). Последнее соотношение можно переписать в виде Т(х) ос 2Аз — ~Аз(х) — уАоА(х)ехр[1(фх+ ~~ )~— ,ЕЛ вЂ” уАоА(х) ехр[ — з(фУх+ — *)~. (1) Это равенство называется формулой голограммы Габора. При освещении голограммы плоской монохроматической световой волной Ао ехр[з(кх — юФ)] за голограммой возникает волновое поле, представляющее собой результат дифракции на голограмме.
Это поле можно получить (ср. решение задачи 495) просто путем умножения первичного волнового поля Ас ехр[1(йз — ьл)] на пропускание Т(х), выражаемое формулой Габора (1). При этом получится поле вида и (2Аг 7Аз(х)) ехр[1(йз — иг)]— — уАоА(х) ехр[1(йа — мФ)] ехр[1(1)х — )]— Е'Л вЂ” уАоА(х) акр[1(кх — ьп)] ехр~ — фх+ — *)]. (2) Е'Л Первый член в (2) соответствует неравномерному дифракционному (из-за Аз(х)) ослаблению падающей волны. Угол дифракции мап, так 437 9 4.
йогеренмность и ннаерферениил как А(х) — плавно меняющаяся функция по сравнению с участвующими экспонентами. Второй член действует как комбинация призмы, епглоняющей пучок вверх, и рассеивающей линзы с фокусным расстоянием ~ (см. задачи 493, 494). Третий член действует как комбинация призмы, отклоняющей пучок вниз и собирающей линзы. В итоге при пропускании плоской оиеиный аблениый) пучок Действительное изображение Мнимое изображение Рис. 88 монохромвтической волны через голограмму восстанавливаются первона- чальные волновые фронты (рис. 88): плоскаа волна н сферический фронт от отверстия. Последний воссоздается два раза: в виде волны от действи- тельного и от мнимого изображений.
498. ехР[зй'в! Т(х) ос [2Аоз — 27А~ ~1+ сов и Рх)] ехР(И'г)— Лг' — 7АоА(ехр[з ~ (х — Р)з] + ехр[з ~ (х+ Р)з] ) ехр(з(рх+ й'л))— — 7АоА[ехр[ — з я (х — Р)з] +ехр[ — з ~ (х+Р)з] ~ ехр[ — з()Ух — (с'л)). Л7' Л7' 4ЗЗ Глава г7п Второй и трепй члены, как и в задаче 497, описывают пале, отклоненное вверх и вниз и сфокусированное в две пары точек. Однако фокусные расстояния соответствующих рассеивающей и собирающей линз другие, а именно опеки ый чек ействитеяьнсе изображение Рис. 89 Линейное увеличение выражается формулой 2~Ъ У+Я Л'9 2П Р Л ~' где р — расстояние от источника волн Л' до голограммы, а о — расстояние изображения от голограммы (рис.
89). Чтобы достичь увеличения, надо использовать при восстановлении длину волны Л' > Л, а источник помещать да конечном расстоянии р от голограммы. 439 $ 5. Днфраняин реннменоеьп лучей 499. Распределение интенсивности на голограмме может быть передано без существенных искажений, если пространственный период дифракциониой картины больше, чем е(, (см. решение задачи 496). Эгвм условием ограничивается максимальный размер голограммы в направлении х 2хен„2Л//д. Этот размер играет роль диаметра линзы в теории разрешающей способности Рэлея (ср.
с задачей 426). Применяя критерий Рэлея для минимального размера е предмета, юторый может быль разрешен, мы получим Л ЛУ о' 8 20 2хеел 2' Здесь д — половина угла раствора конуса лучей, идущего от голограммы к изображению. $ й. Дифрикнин ренттеновых лучей 500. Прежде всего необходимо, чтобы выполнялось неравенство ы ~ ~ ы . Однако этого недостаточно. Рассмотрим сначала случай, коша длина 1 когерентности велика по сравнению с размерами Ь тела. Тогда при достаточно малых углах рассеяния д < Л/Х произведение дл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
