В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 66
Текст из файла (страница 66)
В этом интервале множитель (1+ 1 йа + соаг д) может считаться постоянным и равным 2. Поэтому имеем: 2тп„4ое(е 1)г Г 4т, = / 42 (4а) а1пО~И. 9с4 о Введем новую переменную у = оа = 2лаа1пд/2. В предельном слу- чае ла ~ 1, получим окончательно: тгы2о4(е 1)2 18сг Для малого шара (ка «1), заменяя (см.
ответ к задаче 460) е + 2 на 3, имеем: бя„~4ое(е 1)2 27с4 Как видно вз этих результатов, сечения по-разному зависят от частоты ( ю4 и иР) и от размера шара ( ае и а4). 467. Исходим из соотношения <т, = — 1 Ве /(Е х Н*) пггДЙ, о где п = г, о, — сечение поглощения и интегрирование ведется по поверхности сферы большого радиуса, окружакнцей рассеиватель. Формула (1) выражает тот факт, что сечение поглощения пропорционально потоку энергии через поверхность сферы, направленному к центру. Подставляя в (1) выражение для Е из условия задачи и Н = Ео((по х е)еть* + [п х Р(п)] е„ Глава ГШ и используя условие поперечности и ° Г(п) = О, получим: — Ве(Е х Н') п=(пс и)+ — + [Г[г Й 1 зьС~-~> +-[(е.Г)+(пс п)(е Г) — (е п)(по Г)) „+ + — [(е' ° Г*) + (пс п)(е* ° Г*) — (е* п)(по ° Г*)] „.
(2) При интегрировании по углам первое слагаемое даст нуль, а вгорое— полное сечение рассеяния с,. Интегралы от остальных слагаемых могут быть преобразованы с помощью интегрирования по частям: / (по п)(е Г)е4ь(г-л)гз Щ зм — Ф(к х с"" "П,::— =Ы о — ез"'О с08в) О (по ° п)(е Г)<~совтЗ д сов д о Последний интеграл при повторном интегрировании по частям дает члены, пропорциональные 1/г, и поэтому может быть отброшен. Кроме того, нужно отбросить член с осциллирующим множителем ез'ь", так как он дает нулевой вклад в полный поток энергии.
Чтобы убедиться в этом, учтем, что представление о строго монохроматической волне является идеализацией. В действительности, всякая реальная «монохроматическао> волна является суперпозицией гармоник, частоты которых лежат в более или менее узком интервале Ьи. При усреднении множителя 2'"' по любому такому интервалу получим нуль, так как г очень велико. Поэтому (и п)(е Г)ещО ~)г з йЯ Яз [е Г(пс)[ Аналогично вычисшпотся интегралы от других слагаемых.
Члены, содержащие множители (е и) и (е' п), при интегрировании не дадут вклада, вследствие того, что (е по) = О. Подставляя вычисленные интегралы в (1), получим окончательно аз = — 1ш[е ° Г(пс)]. к 427 1 3. длфрахлия Оптическая теорема (3) допускает простую физическую интерпретацию: полное сечение дает меру ослабления первичной волны.
Это ослабление является результатом интерференции падающей волны с той частью рассеянной волны, которая имеет ту же поляризацию и направление распространения, что и падающаа волна. Поэтому полное сечение оказывается связанным с амплитудой рассеянна «вперед». 468. Рассеянная волна создается электрическим и магнитным днпольными моментами, которые индуцируются падающей волной. Амплитуда рассеянна Г(п) (см. предыдущую задачу) определяется по формулам (ХП.17) и (Х1120). Окончательный результат: 4тм(,ул+ ул) 469. оа = бяЬз~'. 470. Сила направлена вдоль волнового вектора падающей волны и имеет величину где 7с — средняя плотность потока энергии в падающей волне и интегри- рование производится по всему телесному унту.
471. Для идеально проводящего шара: а 4 ~о' 96са для лиэлектрического шара: 472. Применяем дифракциониую формулу (УП1.25). В качестве поверхности интегрирования выберем плоскость, в которой находится экран. Тогда на поверхности интегрирования екал' агг и = А —, оЯ„= Ъкг6гсоъ(йых) = 2а — 4г, В~ Вг Глава ГШ где А = сопла. После подстановки этих выражений в (ЛтП1.25) переходим к новой переменной интегрирования р = 1г+ ггг'. 1 сойди'> 1 е'ьа пр(я) = — гйАгг/ тг(т = — гйАсг / Нр, (1) И1гг ./ ЕЯг(й где ,~Д2 + аг + З/~г + гг Интегрированием по частям можно представить (1) в виде ряда по возрастающим отрицательным степеням йр; условие Л « а позволяет отбросить все члены ряда, кроме первого.
Это дает ягегьааг+гг и~ (г) = ио гь / а~~к где ио = Ае — амплитуда падающей волны на границе экрана. ~аг+г Переходя к интенсивности 1 ~ир~г, имеем г 1(а) = 1о („/а2+ гЛ+ т/ага+ г%) В точке, симметричной относительно экрана (сг = г): 1(з) = — ° 1о 4 аз+ гг Таким образом, в симметричной точке за экраном, не слишюм близюй к нему, будет светлое пятно. Этот результат, противоречащий представлению о прямолинейном ходе световых лучей, был теоретически предсказан Пуассоном (1818 г.), который выдвигал его в качестве возражения против теории дифракции Френеля и волновой теории света в целом. Однако эксперименты, выполненные Араго и Френелем, подтверждали наличие пятна, появляющегося вследствие симметрии экрана.
Волны, огибающие его края, приходят в среднюю точку с одинаковыми фазами. Очевидно, таким свойством обладают все точки, лежащие на средней линии: в этих точках интенсивность света будет значительно больше, чем в соседних, не лелспцих на оси з. 429 3 3. Дифракяия 473. Используя принцип Бабине (см. (У1П.31)), получим при с = =аз Ъа: 1=1 вшз 0 2 где 1с — интенсивность первичной волны на краю отверстия. 474. При л,р а, 1 = 41с вшз а 4з ' Интенсивность света на средней линии круглой диафрагмы осциллирует бесконечное число раз, уменьшаясь до нуля при а — оо. Убывание интенсивности по оси связано с тем, что параллельный пучок становится нз-за дифракции на отверстии расходящимся и поток энергии через отверстие с увеличением з распределяется на все ббльшую плопщдь.
475. Пользуясь формулой (УП1.30) для дифракции Фраунгофера, находим ~а.Тг (айа) — ЬЛг (Ьйа)) з г(1 = 1с аз где а — угол дифракции, 1с — интенсивность падающего света. В случае круглого отверстия ,,Щайа) о яо где 1о таз(ио|з — полная интенсивность падающего на отверстие света. 47б. Дифрагированная волна будет описываться функцией поезьв Г где )с' — й = Ч, Ч( и Ч~ — составляющие ц в плоскости экрана и в перпендикулярном направлении.
При интегрировании по плоскости отверстия воспользуемся полярными коордннапнии с началом в центре отверстия и полярной осью вдоль пир Это дает зьВо ир= . ~е ггу, иое Йсоад Г ьп, где через д обозначен угол падения. 43О Глава ГШ С помощью формул (П 3.11) и (П 3.9) получим /11 1ир! Восй 10 2 И з 1г(М яд)! где 1о ~ив~~ко сгжгз — полная интенсивность пздающего на отверстие света. Считая угол дифрвкции а (угол между 1г и 1г/) малым, выразим щ через а, угол падения И и азимутальный угол а' между г) и плоскостью падения: д„=~~/1-~ *В /в /г — ыд ~) й1 =1о та~(1 — в)п Юсова а/) Формула становится несправедливой при скользящем пщГе- (в= -).
477. Применение формулы Кирхгофа в векторной форме (ИП.32) позволяет получить следующие выражения дла поля излучения: Ев=Н = — гйаЬЕсе (, * )(," )(1+саад)в1па, где г), а — углы сферической системы координат с поларной осью, перпендикулярной плоскости отверстия, Й'. = Й в! и г7 сов а, Й,', = Й в)п д вт а— проекции волнового вектора дифрагированной жяны. ™ Угловое распределение излучения: где 1а = — Ес — интенсивность падающеи на отверстие волны. саЬ 2гг 431 4 4. Когерннтнооть и ннаерференчин 478. Если направить оси х, р, 2 вдоль векторов Ео, Но и к соответственно, то поле излучения: зйазЕо е'ьи г,72(йа в1п д) з Ео = На — 2 ' й ( 1, д )(1+саад)сова~ Йа в1пд 11са Ео е'ьи г,72(йав1пд) где 1о = ~ Ь~~ — интенсивность волны, падающей иа отверстие.
8 При д < 1 имеем ,Уд(над) Этот результат был получен в задаче 475 с помощью скаларной дифракционной формулы. 84. Когерентноеть и интерференция 481. Ьй = — — — = ~ — ) . Телесный угол югереитности не Е С2 1 ГЛ~2 В2 2 гз Ы зависит от расстоянив В до источника. 482 ДЛ 362 10 госм 1г Л вЂ” = 6,4 10 зсм 12 — = 71см Ьй 1,3 10 22стерад;,Ы = 12211 2,1 ° 10 всма. 483.
Я = 9,46 1022 км, т.е. в 6,3 ° 102 раз больше, чем расстояние от Земли до Солнца. Отсюда следует, что 12 3,4 ° 102 ем — в 6,3 ° 102 раз больше, чем 12 в предыдущей задаче. Что же касается 11~ нв Лз/22Л 7,1 см н 22й 1,3 ° 10 н~ стерад, то они сохраняют те же значения, что и в предыдущей задаче. Объем югеренгности 21Х нв 8,3 102 смз — в 4 10" раз больше, чем обьем югерентности солнечного излучения на Земле. Характерным является увеличение степени югереитности света по мере его распространения. Это относится толью к поперечной когерентностн. 484. 11 — нв 3 ° 10 см. Так как от оптичесюго генератора идет Л .
в ЬЛ конус лучей с углом раствора Ьд ° Л/11 = 10 в, то прилегающий к генератору обьем югерентности имеет вид конуса, обращенного к генератору 4Зг вершиной. Р = 5 см у генератора, л 11 — - 6000 см у основаииа юнуса когерентности, ЬЪ' = — и ~ — ~ 11 ~-" 28 10 см . 1 11.~'ъ . и з З ~2! 485. — кв200 при Л=1см, Т=27ЗК, ЛхТ 2хйс е шо 10 ~ при Л=5 ° 10 всм, Т=27ЗК, 1 ег,тз ~и0,07 при Л= 5 10 всм, Т= 10000К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
