В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Аналогичным образом легко убедиться, что в случае б) пг = 1, пз = = лз = О и волна линейно поляризована в направлении, составляющем 45' с осью х, а в случае в) пз = 1, пг = г1з = О и волна поляризована по кругу. 400. Так как вектор Е поляризован линейно, амплитуду Ео можно выбрать вещественной. Из уравнения сйтЕ = О имеем 1с' Ео = О, 1с" Ео = О, т.е. Ео перпендикулярна к плоскости (1с',1са). Из уравнения гоС Е = — — — следует и дн с дс — Мвг = 1с' х Ео, с Зава = 1с' х Ео т.е.
Жс и Жз перпендикулярны Ео, Мв1 .1. 1с', Зк з .3 1с". Конец вектора Н описывает эллипс в плоскости (1с', 1с") (рис. 81). 409. Обе волны будут поляризованы эллиптически. Одна из главных осей эллипса поляризации лежит в плоскости падения, другая к ней перпендикулярна. Полуоси имеют следующую величину. В отраженной волне: 18(до — дз) вш(дз — до) 1$(до + дз) в1п(дз + до) В преломленной волне: 2 сов до вш дз в1п(до + дз) сов(додэ) 2 сов до в1п дз вш(до + дз) где до — угол падения, дз — угол преломления, Ео — абсолютная величина амплитуды падающей волны.
При до = в — дз (угол Брюстера) отраженная волна поляризована 2 линейно. 11 =1, =1. 410. Неполяризованный (естесгвенный) свет можно рассматривать как некогерентную суперпознцню двух «дополнительным образом» поляризованных волн с одинаковой интенсивностью. Воспользуемся этим и представим падающий пучок в виде суперпозицян двух некогерентных сюмпонент, одна нз которых Е1 поляризована в плоскости падения, а другая Е~с— в перпендикулярной плоссюсги. Интенсивности этих волн одинаковы: 1 1.
Плоское волны е однородной среде. 389 После отражения обе компоненты по-прежнему будут некогерентными. С помощью формул Френеля найдем О1 81П (Во — Вз) 1 2 2 сов (Во + Вг) 1 1еь — — 1 (е2 еь + вш (Во + Вг) сов (Во — В2) совз(Во + Вз) рг = <1, совз(Во — В2) еь и е1 — единичные векторы, указывающие направления поляризации поперечной и продольной компонент; эти векторы лежат в плоскости, перпендикулярной направлению отраженного света. Степень деполяризации падающего света равна 1; при отражении свет поляризуется. Аналогичный расчет дает для преломленного света: р 41сов Вовш В, ь, е,еь г е1е1 18 — 2 (82 Е„+ р =сов Во — В <1. 81п (Во + В2) со8 (ВО В2) 411.
В=, рг=О, рз= (81 — ег) 48182 , ГДЕ 82 И 82 — ДИЭЛЕК- 2(81 + 82) (82 + ее) трические проницаемости первого и второго диэлектрика. 412. Формулы для Е1 2 и Е1 2 применимы только в том случае, если угол скольжеющ ~Ро = 2 — Во )) ф. При ~ро << 1 справедливы формулы Е12 — — Е18, Е12 = Е18. ро - (' до(' ус+ С 'ро+ С Относительная величина ф и ~ро при этом произвольна. Еь2 = ( — 1+ 2СсовВо)Е~.о, Е2 2 = 2С сов ВоЕьо, Е12 = (1 — )Е1о 2ь Е12 = 2~Е1о 390 Глава 17П при 9~о (( 1 дВ« Из условия — = О находим угол а«о, при котором В1 минимален: К! — С рс=Фс=!0 В|~= Я+С Угол Фс является аналогом угла Брюстера, так как значение В~! при Фе = Фс минимально О«ри падении волны на границу диэлектри«о« под упюм Брюстера коэффициент В1~ также минимален и равен нулю). 414. Характер поляризации отраженной волны определяется разностью фаз между продольной и поперечной компонентами.
Используя результаты двух предыдущих задач, получим Ех««в — Ело = е««-'Е«.с, дл =«г; 1 ~!4 — Л' и„ 2Фоьа Е1« = ~,~«е «Е1с «в61 = — г з — «оо, ~!а+с1 Фс !С! р, е~ т.е. 61! = —. к 2' Таким образом, разность фаз б = дг — 61 = Я, отраженная волна в общем случае окажется эллиптически поляризованной, причем одна из осей эллипса будет лежать в плоскости падения. При !Е1«! = !Е««! поляризация будет круговой. При Е1с = О или Ело = О поляризация останетса линейной.
415. С помощью формул Френеля находим в1пдсгйдссов2р а вшдсгйдов1п2рвшд 1 + вш 2р сов 6 1+ вш 2р сов 6 (Л+«/Р)' (,я+ЧУ)' )« ' ~ м / ' Здесь в — диэлектрическая проницаемость среды, из которой падает свет, в' — вещественная часть диэлектрической проницаемости проводящей сре- ды. 413. В« = 1 — 4~'созда. При всех углах падения Вг близок к 1, достигая минимума при дс = О 1нормальное падение); В1 =1— 4«,' 7Г I д прн 970 = — — де» 4~, 2 ( да+~аз В 1 ~ ~«)з „~аз 391 $ 1. Плоское ванны в однородной среде.
417. Сдвиги фаз макну Еб ы Ео и Ебб ы Ео можно определить с помощью формул Френеля: б Д бб, — бб ббвгбб,— ей — = 18 — = (1) 2 созда ' 2 пг созда Условие б) означает, что падающая волна должна быть поляризована в плоскости, составляющей угол я/4 с плоскостью падения. Исследуем, может ли выполюпъся условие а). Из формул (1) получим: б б„ЯРб,- ' 18 — = вшг до (2) Отсюда следует, что при до = агсвшп и до = я/2, б обращается в нуль, а между этими точками принимает максимальное значение.
Обычным способом легко найти, по гй — = . Чтобы ьйб/2 был равен 1 б б = д б, 2 2бб 2/* должны выполюпъся неравенства 1 — пг ) 2п, и ( 0,414. 418. Если вектор Ео нормален к плоскости падения, поперечная и продольная составляющие вектора Пойпинга имеют вид сгйн ,тб с Еи е — гн"* вш2(йбх — бббг) о сгкбб г гьбб, "л1 = — Еее *~1 — сов 2(й'х — бо()). 8ябо Здесь ось г нормальна к границе сред, ось х представляет собою линию пересечения плоскости падения и границы разлеяа, )с~ =)сгвшдоб йн = йг в1пгдо — пг, где бег = фиг — волновой вектор во второй среде, до — угол падения. Из формул (1) видно, что в направлении нормали к границе энергия совершает колебания с частотой 2нб.
Средний (по времени) поток энергии Поскольку бб ф б1, волна поляризована по эллипсу Эллиптическая поляризация перейдет в круговую при выполнении условий: а) б = б1 — бг = Я' б) Е1 о = Еа о 2' 392 Глава 17П во вторую среду равен нулю. Среднее значение 71 не равно нулю: имеется поток энергии вдоль границы раздела. Линии вектора Пойвтинга во второй среде определяются уравнением ! в1п Й'х~ л=р1п (2) где С вЂ” постоянная интегрирования.
Примерный ход этих линий изображен на рис. 82. В первой среде линии у имеют более сложный вид (см. (118)). Рис. 82 419. Из формул Френеля (УШ.19), (УП1.20) получим, что при ро — + т/2 амплитуда прошедшей волны Ег -+ О, а амплитуда отраженной волны Ег — — Ео. Это означает, что плоская монохроматнческая волна не может распространяться вдоль границы раздела диэлектриков. 420. Закон преломления принимает в этом случае комплексную форму: )вгешдо = Йгвшдг, йг = -бФь йг = р ег+1 ы = а+Юг' ьг(8лг 1вг) 2ьг)в ь р соа2а =1 — в1п~ро, р аш2а = вш~ро. Волна, прошедшая в проводящую среду 2, описывается функцией Ег(г в) Егецаввв г — ыв) ип Вг и соя дг являются комплексными величинами.
Положим соя Вг = ре'~, где р и а — вещественные величины, зависящие от до и электрических постоянных среды. Параметры р, а определяютса из системы уравнений: 393 $ 1. Плоские волны в однородной среде. Отделяя вещественную и мнимую части в произведении аггея ° г, получим Йгег г = (кг+ йгн)(хз1прг+ зсседг) = гзр(дс)+х/од вшдо+ зд(до), где Р(до) = р(кг вша+ кг сова), д(Во) = р(йдсоза — йг зша) Таким образом, Е (г З) Е е-кеез(еь~ мпво+ля-ые) Отсюда видно, что направления распространения и затуханий волны не совпадают — волна неоднородна.
Плоскости постоянной амплитуды г = = сопзз параллельны поверхности проводника. Плоскости постоянной фазы определяются уравнением хйг зш Во = зд(Во) = сопзс, из которого следует, что вектор Ц, указывающий направление распространения волны, составляет с осью з угол 1З = агссй (рис. 83). Фазовая 1ч вш Во д(Во) скорость в проводящей среде зависит от угла падения: дг(Во) + й~~ зшг Вс 4И. Для определения коэффициента отражения от плоского слоя нужно найти свазь между ампшпудами отраженной и падающей волн.
Эту связь можно определить двумя способами. По первому способу — с помощью граничных условий. Учитывая, что на границах з = 0 и г = а должны быть непрерывны касательные компоненты векторов Е и Н, и что перед слоем со стороны падающей волны имеются волны, распространяющиеся в обе стороны, а за слоем — только прошедшая волна, распространяющаяся в положительном направлении оси з, получим нз граничных условий: агг + агзе 1= к'о ~ 1+ аггагзе гзтво где Ег — амплитуда отраженной, а Ес — амплитуда падающей волны, 1 — пю 1 — пгз 1 за ы а12= ~ ага= ~ пгь=)/ .~ йг= ~Ляг.
1 +п12 1+ гз $ у зг с ЗО4 Глава ьуп Второй способ решения задачи— рассмотрение многократных отражений волны от границ раздела. Используя формулы Френеля для нормального падения, найдем, что амплитуда волны, однократно отраженной от границы з = О, запишется в виде йс = аюЕо. Амшппуда волны, прошедшей внутрь слоя: 4а = Ф1зЖь где Рис. 83 2 Аг= + Амплитуда волны, вернувшейся в область л < О после в-кратного отраже- ния от границы з = а: ев = Рз1Р1зсвззе (аззпззе ) Полная амплитуда Ез волны, отраженной от плоского слоя, равна сумме всех ев: Е~ = ~ й. = а~зЕо+ )Зз,)3гзаззе-з*"вв ~(аззаззе-з*ьвв)в-'.
в=с в=з С помощью формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получим снова соотношение (1). Коэффициент отражения определяется как Я = —,. Находя мини- ~Е, ~' !Е01' мум В обычным способом, получим, что отражение минимально, если толщина слоя удовлетворяет условию Лз а = а„= п —, 4' (2) а=1,2,3,..., где Лз — длина волны внутри слоя. Амплитуда волны, вышедшей из слоя в область з < О после однократного отражения от границы з = а: йз = 1)ыагзАгЕое 395 З 1. Плоское волны в однородной среде.
Рассмотрим наименьшую толщинУ слоя а = 4, соответствующую Лг минимуму Л. Приравнивая лт нулю, найдем условие отсутствия отражения; ег = ~е1ез. 422. Уравнение, которому удовлетворяет электрическое поле, запишется в виде (см. (УП1.12)): Мы должны найти решение этого уравнения, которое при всех г является ограниченным и при л — ~ос удовлетворяет некоторым условиям, вытекающим нз физического смысла задачи. При з — + — оо решение должно представлять суперпознцню двух волн, падающей и отраженной, т.е. Е(г) — Ае'"" + Ве ннл, (2) где кс = —.
При г — + оо должна оставаться только прошедшая волна: Е(з) — ~ Се'~', где йо = ф~/е. л Произведем в уравнении (1) замену независимой переменной — е = с. Новая переменная меняется в пределах — со < с < 0 при изменении л от — оо до +со. С помощью подстановки Е(с) = с *" 4>(б), получим для новой неизвестной функции 4(() уравнение с(1 — с)ч'и+ (1 — 2йа)(1 — с)ф'+ лсга~гд = О, (4) 2 где лег = ~ Ье. Это уравнение называется гипергеомегрическнм. с Как следует из условия (3), функция Щ) должна стремиться к постоянному пределу при с — О. Решением уравнения (4), ведущим себя указанным образом, является гнпергеометрическая функция (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
