В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 60
Текст из файла (страница 60)
397. Выберем цилиндрическую систему координат, как показано на рнс. 78, При слабом скин-эффекте касательная к стенке трубы компонента магнитного поля на поверхности Я этой стенки должна удовлетворять условию Н2 Н1 = 1 4и. (1) где 1 = аЬЕ = 1„К вЂ” поверхностный ток, ь — поверхностиаа проводимость.
Электрическое поле, которое будет иметь, очевидно, талыш «-компоненту, должно быть непрерывно на той же поверхности Я: г = а+1сова. (3) Векторный потенциал, направление которого совпадает с направлением тока, ищем в виде А1 = — — 1п — +С1тсова+С, 2У 2У' г В1 Аз = — 1п — + — сова с а т (4) Рис. 78 В1 = В2 = В (2) Дальнейшее решение весьма сходно с решением задачи 159 (задача о слабо неконцентрических сферах).
С точностью до членов (1/а) уравнение границы запишется в виде 381 6 2. Вихревые нюни и скин-эффекм Аз = Аз при г = а + 1 сов а. Отсюда, отбрасывая члены порядка (1/а)з, находим 2(.Ф' — У)1 В1 =а С1+ с, С=О. (6) В граничном условии (1) можно заменить Н, на Н . Как лелю проверить, это приведет к ошибке порядка (1/а)з. Поскольку Н = — — 1=('Я = — —— дА ьдА а д ~ д11 имеем на Я: дА1 дАз 4я~ дА д д с де нли„с точностью до (1/а), 2(У' — .Ф) 4я~ ~ 2 И(.р() ИСз1 Оз + 2С1 соа а = — 1 — + а — ~1 соа а.
сз сса еМ с(1 з Отсюда сразу следует У = У'; этот результат связан с тем, что скнн-эффект считается слабым. Для С1 получается дифференциальное уравнение НС~ 2 е((.р() аг аз с ат (7) с Параметр р = — совпадает со значением сопротивления единицы 2каь длины трубы, выраженным в электромагнитных единицах. Решение уравнения (7) лепв получить методом вариации произвольных постоянных. Оно имеет вид ее(т-О ( е(т)1(т)1 <~г (считаем, что при Ф вЂ” — оо ток отсутствовал). где Сз и В1 — функции времени„имеющие первый порядок малости относкгельно (1/а), .У' — имеет нулевой порядок относительно ®а).
При слабом скин-эффекте (а (< Ю) векторный потенциал удовлетворяет условию: 382 Глава ул Сила Г", приложенная к единице длины тока У, может быть вычислена по формуле Б = 1,УН„, где Н„' — магнитное поле на прямой, вдоль которой течет ток У, создаваемое током„текущим в оболочке. Этому полю соответствует векторный потенциал А' = Сзт сов а = Сэр, дА' Н = — — = — Сз. в— др Окончательно — / ел( 0 — [у(т)1(т)] Йт. 2У(г) Г аз аз Йт Рассмотрим некоторые частные случаи. Если ток постоянный (У = = сопят), то ,Гл = — / ел( 0з'(т) Йт.
Мр)~ г сзаз При отклонении тока от оси цилиндра (1 > 0) возникнет сила, прешпствуюшая этому отклонению. Прн медленном движении () ~ р[), интегрируя по частям, найдем В частности„при равномерном перемешении ( = сг тормозяшая сила 2Узо сзазр 2.Ф~(Ф)1(Г) сзаз ГЛАВА УП1 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 91.
Плоские волны в однородной среде. Отражение и преломление волн. Волновые пакеты 399. Амплитуда первой волны Ег = ое, амплитуда вгорой волны Ез = Ье'хею а и Ь вЂ” вещественны; результирующая амплитуда Ео = Ег + Ез = ое, + Ьегхе„. 8 =асова ° е +Ьсов(а — Х) ° ев, Ю = — авшаея — Ьвш(а — у)ев. Определим сдвиг фазы а из условия 8' ° е" = О: оз в 1 +Ь в' (а — т) (а — т)=О, Ь в!п2;С ВК2а = аз+ Ьзсов2т (2) Определив из уравнения (2) угол а, подставим его значение в (1) и найдем 8, Ю .
Введя в плоскости хр новые оси х' )~ е и у' 'В Ю, получим Для выяснения характера поляризации удобно так сдвинуть начало отсчета фазы, чтобы в двух взаимно перпендикулярных направлениях получились колебания, отличающиеся по фазе на я/2. Введем новую амплитуду Ео — — Еое ' = 8'+ ге"' и потребуем, чтобы векторы 8' и 8л были вещественными, причем е" ° 8" = 0 (рис. 79): З84 Глава г7П в этих осях: Еа = Ю'соа(гат — 1с ° г — гт), Е„= 4а а)п(сгŠ— 1с ° г — гт). Е2 Я2 Очевидно, что — ' + —" = 1, т. е ко- 0м 0вэ нец вектора Е описывает эллипс. В общем случае У', ба ~ О.
Ко- лебания по оси х' опережают колебаРис. 79 ния по оси у' на х/2. Если ориентациа осей х', у' такая же как х, у, т.е. х', у', л образуют правую систему координат (этот случай изображен на рнс. 79), то для наблкщателя, к которому движется волна (движение вдоль оси л), вектор Е будет вращаться против часовой стрелки. Такая поляризация называется эллиптической с левым направлением вращения.
Если оси х', у', л образуют левую систему, то направление вращения Е будет противоположным, по часовой стрелке, и волна будет называться эллиптически полярюованной с правым направлением вращения. При а' = ел полярюация круговая, при е' = О или ел = О поляризация линейная. а) б) Рис. 80 400. При эг = О поляризация линейная, плоскость поляризации проходит через биссектрису угла между осями х, у.
При 7г = я поляризация тоже линейная, плоскость поляризации проходит через биссектрису угла 385 $ 1. Плоские волны в однородной среде. между осями (х, — р). При Х = — л поляризация круговая правая (рис. 80а). 2 При Х = т поляризация круговая левая (рис. 806). В остальных случаях по- 2 ляризация эллиптическая, причем при — а < Х < 0 она правая (см — > О, Х 2 аш — > 0 и ориентация осей как на рис. 80а), а при 0 < Х < к — левая Х 2 (рис. 806). 401. При а = Ь поляризация линейная. При а > Ь поляризация эллиптическая левая. При а < Ь вЂ” эллиптическая правая.
Круговая поляризация получается толью при Ь = 0 (левая) или а = 0 (правая). 402. Р = 1 — 4, где ~1зь~ — определитель тензора 1оь Сте~1зн~ [бр(1 н)) пень поляризации Р = 1 при /Хц:,! = О. 404. Введем прямоугольные оси х' )/ а и р' (! Ь. В этих осях комплексная амплзпуда поля будет иметь вид Ео =аен х1Ьеи. где знак «+» отвечает левой эллиптичесюй поляризации, а знак « — »вЂ” праюй.
Интенсивность 1 = аз + Ьг. Фаза выбрана равной нулю для х'-компоненты поля. Выражая теперь орты е, еи, через е, егн получим для компонент Хсь .' Ем =а созгд+Ь а1п д, 1гг = а а(п~д+Ь~соагд, Егг = (Ьг — а ) гйпдсоздтгаЬ = 1гм Верхний знак отвечает левой эллиптической поляризации, нижний — пра- вой. При Ь = 0 поляризация линейна и тензор Х;ь имеет вид соагд зшдсоад') При а = Ь =,/Х/2 поляризация круговая и Хзь=-,','," ,.
38б Глава 1711 405. Амплитуда суммарной волны Е = Ег + Ег = Е(е(г) + е(г)е"'), где Π— сдвиг фаз, меняющийся беспорядочно, (Е(г = 1. Компоненты тен- зора поляризацви по определению (см. (УП1.14)) равны 1» — ЯвЯ~~ — 1(е(1) + е(г)ева),(е(1) + е(г) е-ва)ь При усреднении по времени получим е+"' = О, поэтому тензор поляризации будет иметь вид (1+совгд вшдсоад') 18шдсовд 1 — совгд/ ' Отсюда, используя результат задачи 402, получим Р = ) сов д). Этот же результат можно получить, диагонализуя тензор 1ы.
Приравнивая нулю определитель системы уравнений (()Ш.16), получим„что 1г = = 1+(сояд)~ 1г = 1 — ) сОВд(. Отсюда спать Р = (11 — 1г)/(11+1г) = ! сов д~. Базисные веяторы ег = (свж 2 вш 2) и ег = ( — 81п 2 сов 2) Они вещественны в рассматриваемом случае. Результирующая волна состоит из неполяризовавной части с интенсивностью 1(1 — ~ сов д() и линейно поляризованной вдоль направления ег = = (сО8 —, 81п — ) части с интенсивнОстью 1~ с08 д(: соаг д яп д соя д до(б „)+1~ д~ 2 61П вЂ” С08 — 8)П Результирующая волна полноспю поляризована (но не монохроматнчна) при д = О. При д = т/2 — полная деполяризация. 406. Тензор поляризации 2г 2г 1вь = -1г -1г) 2 2 (ось хг совпадает с направлением поляризации первой волны).
387 З 1. Плоские волны в однородной среде. Степень поляризации ,Я+ 12 11 + 12 Результируюп1ая волна состоит из неполяризованной волны с интенсивностью (12 + 12)(1 — Р) и линейно поляризованной волны. Направление линейной поляризации составляет угол ,/Р,+ 1,' -1, д = вгсся 12 с направлением поляризации первой волны.
Рис. 81 1 — б 407. р = —; при С = О волна не поляризована, при С = 1 — полно- 1+с' стью поляризована. Позтому величина с называется степенью поляризации. Положим Сг = ф~;, где Огг + г122 + Озг = 1. Тогда 11ь = 2(1 — ()бы+ ~ (1+",~ гбть /. йг ' 1О1 в=г Первый член в этом выражении соответствует полностью неполяризованному состоянию, а второй — полностью поляризованному. В случае а) пз = 1, 91 = 92 = О. Сравнивая О О 388 Глава г711 с выражением 1;ь = Хпспь, видим, что в данном случае п1 = 1, пз = О, т.е. теюор 2Д, описывает волну, линейно поляризованную в направлении оси х (волна распространяется в направлении в).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
