В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Это означает, что сРеда ЯвлаетсЯ гиРотРопной, а потеРи отсУтствУют. Графики зависимости компонент [кть от частоты приведены на рис. 72.' Норкт ии 3400э. 332. М, = г Ссгжме, Ми — — =гСашие, М, = С, зз[ог ' " зз [от где 2[гог = ыо — ы, иго = 7Но ыз = 7Ь. Постоянная С может быть определена из условия Мэ + Мэ + Мэ = Мэ, которое следует из уравнения Ландау- Лифшица: [сзог[ С= — Ме, й а -,/Ь~~ В выражение С входит модуль ~Ьы[, так как М, > О. Компоненты М примут вид: Ми = ~ — ~Мо совог2 = ХЬи, й Ми =~ — Мевшой = ХЬ„, М, = — Ме. !ь[ й ' * й Здесь знак ~ соответствует знаку йи.
Как следует из этих равенств, связь между М и [з нелинейна, коэффициент пропорциональности Х зависит от Ь: 7Мо Х =+ /Ыт+Р |рис. 72 и 73 взкты из книги А. Г. Гуревича [482 Глава И Угол прецессии д (угол между М и (Но) определяется равенством Мя м2 ашд = — = —, Мо Й' м „/м2.~и~.пр фхр~ р л Р, РРР получим М = ~МосоярмРр, Мв = ~Моа1пмррР, Вектор М в згом случае вращается с часготой ра в плоскости, перпендикулярной Но, его компоненты не обращаются в бесконечность. Рвс.
р2 333. М = Мо + пте ' ', где Мо имеет направление Но, а компоненты ш определяются формулами Й вЂ” врара,. 2 рарао Рп* Х 2 2 . Ь* ЭХО 2 2 . Ь Й вЂ” и — 2и ра,. Й вЂ” ра — 22мла„ мрмо Й вЂ” Й ра„ 2 В='Х,, Ьх+ХО 2 2 " Ь„ Йг „,2 222,„, Й2 2 мх гпх = Хо рах ка Й = р(/~о + орг2 оро = 78о 349 а 3. Ферромагнитный резонанс Как видно нз этих формул, наличие потерь (нз„ф 0) приводит к тому, что при резонансе амплитуда ш остается конечной. 334. гав — бе 0~ г +;, гзгь = зр ггг 0 гз1,~ 1з = 1з +з йа(йа — ига) + 2иРгса 1+ 4кХо (йа а)а+~ а а ' юге„(йа + юа) 4згхо (йа ыа)а + 4 гама ' гегео(й~ — ыа) 4згХо (йа а)а+~ а а' 4яХ Хо( 1з.г = и Из.
= Иа= Иа = й = 'уюо+ю — о юо = 7Но, 1з~~ = 1+4аХо ыг юс Но ю 3400 э. 335. г3.Но = —,'. Графики зависимости р'~ и 1зг~ от постоянного поля Но приведены на рис. 73. Зависимость гз', и 1з от Но имеет аналогичный вид. Мнимые части пн и гз" имеют максимУмы пРи Но = Нарез ю ~~. а вещественные части 1з'г, 1з' принимают экстремальные значения при Но ы ~ю,. 7 Кривые, изображенные на рис. 73, имеют такой же характер, как дисперсионные кривые дла е(ы) (см.
рис. 16). Мнимые части компонент тензора 1з~~ н 1з,",, ге~~~' определякзт дисснпапню электромагнитной энергии. Они обращаются в нуль при нг„= О. 350 Глава Р7 Рис. 73 336. Выберем оси координат вдоль главных осей зллипсоида, ось я направим вдоль поля Но. В зтих осях тевзор Нзь имеет диагональный вид. Поэтому уравнение Ландау-Лифппща в проекциях на оси координат запишется так: Мх = — 7[Но+4т(Ж® — Нбб)М,]М„, Мо = 7[Но+ 4я(Н~ ~ — Н~*~)Мх]Мх~ М, = — 4яу(Ф(*) — М®)МхМт. Таким образом, уравнения становятся нелинейиымн.
Предполагая, что отклонения вектора М от равновесного положения (направление оси я) малы, жнем решение в виде М = Мо + гпе (2) где вектор Мо направлен вдоль оси а. Если пренебречь членами с тз, которые войдут в систему (1) после подстановки (2), то система (1) линеаризуется. Приравнивая определитель системы нулю, находим ы = ыь = 'у [Но + 4т(Н~*~ — Нрб) Мо] [Но + 4т(Н~"~ — Нбб) Мо]. ХоР~'*'+ НИО) З Мо 337. ы = ыь + аа„~1+ Хо = Значение ыь приведено в ответе к предыдущей задаче.
351 33. Ферромагнитный резонанс (Х -'Х О'Л 33й Хзь ~1Ха Хг О~ О О О (ось г направлена вдаль Но) Хд = 1 (7~Ма~Но+ (зз'ди~ — Нд'1)Мо~ — зХошшс) Хг = ~(7 Мо(НО+ (дт * — 1Д1 * )Мо~ — зХошш4~ Ь = (шгь — шг) — й ш„[2 + Хо(ЛТ(*1 + Ланда))], Мо = — — шМ Хо = >, Х = — ~7шМо Поскольку в выраженим компонент тензора Х;ь входят размагничивающие факторы, положение резонанса и ширина резонансной линии будут зависеть от формы тела. 339. Система уравнений движения для векторов намагниченности Мд и Мг имеет вид дМд ддг = — 7Мд х (Но — ЛМг), = — 7Мг х (Но — ЛМд).
(1) дй' Ищем решение в виде Мд = Мдо + пдде ' ', Мг = Мго + пдге ' ' (Мдо, Мго — равновесные значения Мм Мг). При решении системы (1) удобно перейти к циклическим компонентам тзь = пд и ~ зпдзи Ц = 1,2). Частоты собственной прецессии: (2) шод = ~Но, шоз = 7Л!Мдо — Мго! Формулы (2) справедливы при условии Л!Мдо — Мго! Ъ Но. Частота шод имеет такую же величину, как и в случае ферромагнеппда без подрешеток. Частота мог зависит от молекулярного поля и обычно сильно превышаег изоь 352 Глава И 9 4. Сверхпроводимость 340.,)в = О, гйт), = О, Е=О, гас Л3в = — сн, 1 гас Н = — зв, 4х с г)1т Н = О. Исклгочая нз этих уравнений з, или Н, получим ~1б.
= бзб" 1 ° (2) 5Н = —,Н, где б = )/ — характеризует глубину проникновения магнитного поля Лс ')( 4я в сверхпроводник (или толщину слоя, в котором сосредоточен сверхпроводящий ток). дН = Н, = О, Н„= Н р~ ~— -~~, г' Гб)' ' 4я дх 1 Но З42. Г. = — (' ~,Н„а = —,". со Сила Г стремится вытолкнуть сверхпроводннк из поля. В этом пролвлаегсл диамагнетнзм сверхпроводника. 24З. Н =Н, = О,Н„=Н сЬ(х/б) сЬ(а/б)' а в — 1 1 г ан„ М = — — ~ [г х,Ц г(х+ — ( х — г(х = 2а2с/ " 8ха Г' ах -а — в а = — ) (Нет — Нс) "х = — — ~1 — — с)г -/' 1 / Ног б ах 8яа г 4я1 а б/' -в 353 4 4. Све»аирсводимоонь Мв имеет знак, противоположный пежо (диамагнетиви).
При б «а магнитный момент М ю — —. Это отвечает средней магнитной воспрнимчиНь 4я' ности зг = — — и проницаемости д = 1+ 4язг = О. 1 4к 344. Н = НΠ—. 1ОЯб) 1О(а(б)' а М» = — /(Н» — НО)гг( = — — ~1 — 2- 1 Г НО г б 1з(а16)з 2лаз 4я 1 аХО(а/б)1' О где 1о, 1г — модифицированные функции Бесселя. 345. Вне шара ( О+ 3) ~ е — ( — О+ з)вш™' где т — постоянная, имеющая смысл магнитного момента. Внутри шара з„= 1(г) вшд, з„= уе = О. Функция ~'„(г, д) удовлетворяет уравнению 47а — з в$п д ' ь» = О 1 гз (см. ответ задачи 47), откуда ,Ь(г, д) = — (ОЬ - — - сЬ - ) .
сА/гг 4тгг ~ б 6 61' Здесь А — настоянная интегрирования. Компоненты Н„и Не магнитного поля внутри шара выражакпся через у (г, д): Н„= — (вЬ- — — сЬ-) совд, 26ОАг г г гз „з~ б б 6) — ° 1(" ) "---"-1-' 354 Глава 17 Постоянные тп и А определяются из условий непрерывности Н„и Нв при т = а. т = — — (1 — 3- соЬ вЂ” + 3 — ), А = — Хтас32 —. ХХоа т б а бз~ Ноа а б аХ' аЫ б При б «а получим т = — о" (ср.
с ответом 281 при д = О), А = О. 2 Ноа При б ~а т =— 30б Хо(т/б) 346 Хо =Да =О,,Ь 2яаб Х1(а/б) ' ,Н„=Н,=О, ,р Хо(тХб) при т<а, 2яса Х, (аХ'б) У 21гса при т>а, Хо, Хг — модифицированные функции Бесселя. — Н„дд+ Л1,а =о, где Я вЂ” поверхность, опирающаяся на контур 1. Если контур 1 целиком лежит за пределами слоя толщиной б, прилегающего к поверхности сверхпроводника, то на нем 3, = О, и мы получим — Н„г(Я = О.
сНодсовд Х 34$ т о Х 347. Проинтегрируем уравнение Максвелла гоФЕ = — — —, в ко- 1 дН с до* тором Е = Л вЂ”, по произвольному замкнутому контуру 1, проходящему дб, до* внутри сверхпроводвика и охватывающему отверстие. Применив теорему Стокса, получим 356 Глаеа тй и1 йй12Фо~ дй12 '(й|, й)1' 4„Рй Д ~ дь ' '(~ с ! с ЗЯ4. 1 сг((й1+йг) С+й1С1 +йгСг) ~ сг((й1(С+С1) — йг(С+Сг)) г+4йгйгСг) г 2й1йг(С1Сг+СС1+ ССг) При отсутствии связи между контурами, т.е. при С = О, ы1 и 212 становятся равными с и с, что соответствует независимым юлебаниям %с в каждом из одиночных контуров. при очень сильной связи (С ~ С1, Сг) остаегся одна частота ы = = —, где Ь' = ', С' = Сг + Сг.
Это соответствует юлебаниям ~/й1С' й1+ йг ' в одиночном юнтуре, в ютором параллельно вюпочены емюсти Сы Сг и индуктивности Ьь Ьг. 355. 2 сг / 1 + 1 + 1 + 1 2 (,ЬС~ ЬСг Ь1С1 Ь2С2) 1 1 й1С1 + йгСг ~ ((й1С1 — йгС2) + 4С1Сгй~12] г 356. ыггг — сг 2С1 Сг(йгйг — Ь1д2) 357. Составляя систему уравнений относительно тоюв и приравнивая нулю определитель системы, получим после некоторых вычислений уравнение четвертого порядка: ы +ии ~ — + — ) — ы (ы +ыг) — йс~ — + — ) +и11ыг =О, (1) 4 .
з/1 11 г 2 г ° Р"'1 се~ 2 г '1Т1 Т2/ 1 ( тг т1 ~ где ы1 =, ыг =, т1 = ЯС1, тг = ВС2. 1 1 г г Коэффициенты этого уравнения комплексны, поэтому частота ы будет также юмплексной: ы = и/+ и 11. В нулевом приближении в уравнении (1) можно отбросить члены с тм тг. Тогда уравнение (1) примет вид ы — ы (ы1 + ыг) + ы1 юг — — О. (2) 3 1.
Квазие»наиионарные явления в линейных нроводнипал 357 Уравнение (2) имеет следующие решения: о11 — — и!1 и 1оз — — 1оз. Таким 1о) 1о) образом, в этом приближении шн = О, и не происходит диссипации энергии 1так как мы считали, что В бесюнечно велню); колебания в каждом юнтуре происходят независимо. В следующем приблюкении ищем ш в вице ш = = юбй +»»»о'+ иоп, где 1оп, »»н1' порядка Цт или выше. В соответствии с этим, пренебрежем всеми членами более высоких порядюв. Подставляя ш в (1), учитывая (2) и приравнивая нулю отдельно вещественную и мнимую части, найдем »1ио = О, 1о1 — — — —, шз — — — —. ! н 1 и 1 (3) 2тз' 2 2т1' Поправка к 1о', содержащая В, появится толью в следукнцем приближении.
ЗЖ иоЬ12 2 2я 1! 21 = »»»»1 +1( — — — 1), 22 = Аз+1( — — — )," шС1 сз ' и»С2 сз 4' с 1 и»» — ~ ПР Т.,С,(1- ~" ) Я вЂ”вЂ” иоЬ 359. е =, где ш1 = о — собственная частота коле, г „' Ъ н»» баний в контуре. При Я = О и ш = 1о1 о становится бесконечно большим. Это свойство рассмотренного двухполюсника используется в радиотехнике (запирающие фильтры). 360.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
