В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 68
Текст из файла (страница 68)
« 1, экспоненты в формулах (УП1.43) или (И11.45) для сечений близки к единице 1'и ехр~щ ° г) е(е' = ФЕ. Если длина волны Л > Ь, то зто выполняегся при любых углах. При этом мы получим, например, из (7П1.43) ,(ег = гз.УзУз з(п' 0,(П. Эта формула соответствует когерентному томсоновскому рассеянию на всех ФЕ зарядах тела.
Если же, например, длина когерентности меньше межатомного расстояния, но болыпе размера атома, то при д < Л/1 когереитно сложатся только вклады от Е электронов кгома, и в формуле (1) вместо 1'ч'зЯз нужно будет написать ХЯз.
При больших значениях углов величина сечения будет резко убывать из-за быстро осциллирующего множителя ехррЧ ° г~ под интегралом. 440 Глава ГШ 501. Концентрацию электронов в газе можно представить в виде суммы членов, относящихся к отдельным атомам, и(г) = 2, и (г — В ), где В а=1 характеризует мгновенное расположениеа-го атома. Тогда !.' 2 г п(г)ехр[м! г]1Лг[ = ~~~1 ехр[м! ° В ] / п (г')ехр[м! ° г']се' = [Ра(Ч)['[~~ ехр[1Ч Ва]), (!) а где г' = г — В, а Р (с1) — атомный формфактор (У!П.47). Усреднение в (!) должно быть выполнено по всем положениям В . Так как атомы в газе расположены хаотически, то [~ ехр(зг! В„,)[ = № В итоге, для неполяризованного излучения (2) Йт = — гс(1+ соа д)[Ра(д)[ Р!Ий.
Вычисление формфактора при заданной в задаче плотности и (г) выпол- няется элементарно и дает Р И) = 8и .(-'+")' Окончательно: Из экспериментально найденного сечения (2) можно получить модуль форм- фактора. Для нахождениа распределения электронов надо, вообще говоря, знать еще фазу формфактора. 502 <Ь = №'о [Ра(0)[2 2(1+ — ) Ий.
Сечение отличается от сечения рассеяния на изолированных атомах в1п чВ'1 структурным множителем 2(1+ ), зависжцим от взаимного распочл ) ложения атомов в молекуле. 441 6 5. Дифранлил реннменоеьи лучей 50З. и-неи~~а~лес' 1 /(~~ Е" ~) г[ — *,]~. Существенна сравнительная величина 1/Ч и 6. При Ч .х 1/6 исчезает быстРо осцнллиРУющий член с з1п 0(Вс + х).
Тепловое двюкенне Уничтожает структурный эффект при таких передачах. При Ч « 1/6 структурный мноз!в ЧВс житель имеет тот же вид 1+, что и в случае неподвижных ядер. ЧВЧ 505. Направим оси х, у, г вдоль ребер Хц Хг, Хз монокрнсталла. п(г) ехР[1Ч г] ае' = ге(Ч) ~~~ ехР[1Ч ° К] = к , М~ ч у ьг нл -еЛО[К яч. 1)(г. имчг ~)[К Ф~ч. М)- т=о не=о ил=с 1 — ехр[гЧ,аЖ~] 1 — ехр[1ЧзаР1г] 1 — ехр[гЧлаР4з] = ре(Ч) 1 — ехр[гЧ а] 1 — ехр[(Ч„а] 1 — ехр[зЧ,а] где № = Х г/а, Мг = Х г/а, Из = Х з/а — числа элементарных ячеек вдоль ребер Хи Хю Х з, 'очевидно, Ж = ХчгХчгХз. Используя (чП1.45), получим .
г Чеа№ г Ч,абаз зщ 2 з1п ~И. (1) г Чза г Чла ьйп — зш 2 2 гча№ гг 81п о( +с л)]р ( )] 81п 2 Положения главных максимумов определяются условием обращения знаменателей в нуль, откуда следует, что Ч = 2зт /а, Чи = 2хтз/а, Ч, = = 2ят,/а, где т„тю т, — целые числа. Последнйе равенства представляют собой уравнение Лауэ, записанное в проекциях, поскольку компоненты и выражаются формулам н: и = (т /а, т„/а, т,/а). В максимумах сечение ~ю (1+ г 0)]~, (2 )]г (~гл'г~з~ Оно пропорционально квадрату обьема кристалла. Результаты задач 505 — 509 справедливы, только если монокристалл целиком расположен внутри обьема когерентностн (см. 64). Глава у'Ш гг (г о(1 +созгд))Р (с)(гх (оу+ ду)абаз зш .
г дла!Уз 81п х х 4 аш — вш— . г дуа . г Оуа 2 2 дуаЖз зш два 81п— 2 (ду + д„)а з1п дуа!сс (Оу + ду)Ж1а д ая зш 2 яш + 4з1п дуа . (да+да)а 2 2 аа = — (1 + соз д) ~Ез(2яф) ~ сц1. 4ае Угол до связан с д = 2кд соотношением (УП!А4). 5О7. При й » 1/а дифракциониая картина сосредоточена в области малых упюв, поскольку, согласно (УП1.44) и уравнению Лауэ, )сд = 2кд 1/а и д 1/аМ « 1; при этом д « Й.
Введем обозначение: зс = с! — 2ки. В области дифракционного пятна вблизи данного главного максимума величина зс «2кд « Й. Возведем равенство 1с = 1со + 2кд + зс в квадрат и заметим, что Йг = Йог, а г (1) При этом получится (1со + 2я и) ° ус+ звг = О, откуда видно, что при зс «д оказывается зг .1 1со + 2ки, т.е. добавка зс перпендикулярна волновому вектору, отвечающему рассеянию в направлении главного максимума.
Запишем равенство (1со+2ки).зг = О в виде зв, ж — 2к!(д /йо)зс, +(ду/йо)угу], откуда видно, что /и, / «/ж~ (, !лгу/. Благодаря этому в выражении (1) задачи 505 отношение зш в1п . г д,азуз . г х,абаз ° г д а . г зсуа зш 2 зш 2 где зтгз = Ь|/а, Фз = Ьз/а. Положения главных максимумов выражаются условием Лауэ: с! = 2ки, где и = (т,/а,ту/а,т,/а).
В максимумах сечение 44З З 5. Дифраииил ренныеноеыл лучей является значительно более пологой функцией от ле„чем первые два отношения, и может быть заменено значением Л*зз в максимуме (ле, = 0). Сечение принимает вид (д « 1) ° з ле а№ ° г еееа1уз аш аш Ы вЂ” 4тз т2яаУзм2 2 2,И ( — "") (Т) откуда видно, что угловая ширина главного максимума по порядку величины составляет 1/ЙаМ~ и 1/ЙаМз в направлениях х н д соответственно. Записав злемент телесного угла в виде ~И = йх длеи/аз и интегрируя по ле и лги в бесконечных пределах, получим а = 4то~Е~(2яй)~ ( — ч И~МгХз. Сечение по-разному зависит от продольных и поперечных размеров.
При приблизительном равенстве их полное сечение пропорционально Уейз (У— обьем тела), а угловая ширина пропорциональна (Уейз/Уз) г~з = 1/Угйз. 508. 2 Етллн ° 2 ее~а ° 2 млел аш вш — шп— Йг = 32то(1+соа~д))Ра(2яй)(~ е(й, е Р лен)еан+ ийаи+'л"ал ='» "а = йо+2Ж ГЛАВА 1Х ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛАХ 510. В случае Ю-волн: 8, = 8ов1пхгхв1пхту, П1Я 11211 х1 = ~ х2 = ~ 1111п2 = 1~~~ ° а' = Ь' начало координат — в углу прямоугольного сечения, размеры которого по осям х и у равны соответственно а и Ь. В случае Н-волн: м = зевсов(х1х) сов(хзу) с теми же хь хз, однаю одно из чисел п1, пз может теперь принимать значение О.
Из приведенных формул следует, что в поперечных направлениях поле имеет характер стоячих волн. Зависимость постоянной распространения й от ы имеет вид: Поперечные юмпоненты полей выражаются через Ю„З~, с помоп1ью урав- нений Максвелла. 511. Для Е-воли: а = (х12Ь+ з~а), с1схзоб хз = х12+ х22, 1," = Ве~. Эл ееирамаг нингнеге ногебаннн в ограннченньи нгегел Для волн типа Нна. Обозначения те же, что и в предыдушей задаче.
еа 10 0 ггп 0 л л ф Эг ~л Згг ~ 4л ф бл ф бл Чл 7 Рис. 90 при -а < х < а при х < — а й гнА вн 8 = — Ае'*, ДляволнтипаН~, л(пыля ф0): 2сггз~г ( уст о~саЬ 1' 512. Волны электрического типа. а) Четные решения (ен(х) = ен( — х), — Ь;( — х)1: при х) а е =Ае ее Ю = — Ае й -вн 1= 1 ей 8, = Ваших, е = — Всовэгх, ЗСв(х) = ЗРл( — х), 8л(х) = Ж„= ДВ сов гех; (1) Глава И где А = еВ' вш эга; остальные компоненты 8 и эс равны нулю. Парамет- ры эг и я определяются из системы уравнений (эга) + (яа) = — (кгг — 1); сз ва = — эга Сй эга.
1 Я (2) (3) — — мз = — — +аз иеа ыз сз сз (4) от частоты и при заданных параметрах диэлектрического слоя для данного типа волны. Из рис. 90 видно, что при частотах, близких к граничной частоте, при которой появляегся данный тнп волны, я близко к нулю, а к— к м/с. Волна при этих частотах имеет такую же постоянную распространения, как и в вакууме, и поле проникает на большие расстояния от границы слоя. С ростом ы параметр а возрастает, а эг остается ограниченным.
При этом й стремится к с ~/сй, т.е. к тому значению, которое соответствует волне, распространяющейся в неограниченной диэлектрической среде с параметрами е, гг. При достаточно больших м и, следовательно, больших э, поле сосредоточено почти целиком внугри диэлектрического слоя. б) Нечетные решения [8,(х) = — 8,( — х), Зс„(х) = — М„'( — х), 8,(х) = = 8,( — х)]: при х > а Ю =Ае '* Ю, = — Ае '* й х— ЭР Йд А — вя.
я=эс е при -а < х < а 8, = Всоаэгх, Юл = — — Ва1пэгх, й Зс = — — Ваших Ые э хс \ при х < — а 8я = — ~ Ае'* — — — е М' = — ~Ае'* к эс 8, = Ае'*, Эту систему легко репппь графически. Возможные значения эг и э соответствуют точкам пересечения кривых (3) с окружностью радиуса г = — — (рис. 90). При заданных ы, а, е, д имеется конечное число точек пересечения, т.е.
конечное число типов волн, у которых распределение поля описывается формулами (1). В частности, при г < к существует лишь одна волна типа Есо Рассмотрим зависимость постоянной распространения 3иектромагнмнные когебания в ограниченнык тнеатк 447 где А = Ве' сов тга; остальные компоненты о и Мт равны нулю. Парамет- ры в и ж определяются нз системы уравнений: (тто) + (яа) = — (ер — 1), ва = — -ттосФкгто. (6) з ызо 1 з \ е Постоянная распространения Й связана с тт н в соотношениями (4). Из графического анализа легю получить, что при г ( к нечетные 2 электрические волны не могут существовать.
Остальные закономерности качественно те же, что и для четных волн. Волны магнитного типа можно проанализировать таким же путем. 513. Вдоль слоя могут распространяться четные волны электрического типа и нечетные волны магнитного типа с теми же характерисппами (постоянная распространения, юнфигурация полей в области я ) О и др.), что и в предыдущей задаче. 514. Волны электрического типа. Для определения волн этого типа нужно решить уравнение для продольной компоненты электрического поля: — *+ — — *+ — — '+ ~д, = О. дз4, 1д8, 1 дз8, дгз г дг гз да' Уравнение (1) интегрируется путем разделения переменных.
Частные ре- шения имеют вид (2) В,(г,а) = утн(ттт)в1п(тпа+тднт) где 7 — функция Бесселя, ттт — произвольная постоянная. Чтобы поле возвращалось к исходному значению при изменении а на 2тт, нужно считать тп целым числом (тп = О, 1, 2,...). Поперечные юмпоненты элекгричесюго и магнитного полей выражаются через 8, с помощью уравнений Максвелла: т,)' (ттт)яп(пта+ф ), —.т (ттг) соа(тпа+ тр ), гтзг ™ ттпиту ( ) ( +ф Глава И' Возможные значения параметра эг определяются из граничных условий на стенке волновода: а„(„= о, г.)„= о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
