В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Л » В, Ь). с Н вЂ” а~-Ь 534. В квазистационарном приближении (Ло = 2зс/шо » а, Ь) считаем, что электрическое поле целиком сосредоточено между обкладками конденсатора, а магнитное поле — внутри тороидальной камеры. При таких предположениях резонатор эквивалентен обычному колебательному контуру, состоящему из емкости и индуктивности. Емкость конденсатора С = , самоиндукция тора Т = 4я(6 — ~/Ьл — а~) (см. задачу 26Я). (Ь вЂ” а) 44 Собственная частота: с в( (Ь вЂ” а) 1г(Ь вЂ” ~/Р— аз) Высшие типы юлебаний рассмотренного резонатора не могут быль вычислены в квазистационарном приближении, так как для них не выполняется условие Л » а, 6.
535. шо = — с 2Ь вЂ” а 2Ь+ а 2Ь вЂ” а 536. В юаксиалыюм волноводе, закороченном с одной стороны (при х = 0) идеально проводящей перегородкой, устанавливается стоячая поперечная волна с напрюкенностями поля: А шш~ -;,в Н ЬА о~я -1в = — ш —,е, = — —. соа — е В любой плосюсти,перпендикулярной оси волновода, распределение электрического поля таюе же, как в цилиндричесюм юиденсаторе, и можно Элеиниглиагничнные нолебанил в ограниченных телах 463 считать, что оно создается разностью потенциалов г1~р = А1п — з1п— бух а с (2) между центральным стержнем и оболочкой.
Зту разность потенциалов следует приравюпь напряжению на обкладках конденсатора, образованного торцом стержня и верхней крыппвй резонатора: ,5 р~, „=4/С. (3) Здесь С = аз/(4ч1) — емкость конденсатора; 4 — заряд одной из обкладок, который можно выразить через силу тока У, протекающего по стержню (или равный ему по величине и противоположный по направлению ток в оболочке) ст и— — ' = аш1пс Ы а Зто уравнение лепв решается графически.
При ий/с « 1 (это означает„ что Л » 2яЬ вЂ” квазистационарное приближение) получаем с с \ Г. Ф 4~~ 4Н и где 2 — юэффициент самоиндукцни отрезка юаксиальной линии длиной Ь. В этом приближении вычисляется толью одна — низшая — собственная частота (ср. решения предыдущих задач 532-535). При Н = 0 (заюроченный с двух сторон отрезок коаксиального вслновода) имеем ш = — т, т=12, хс Ь (4) Зто означает, чю на длине резонатора должно укладываться целое число полуволн: Ь = — т . Л 2 Вычисляя силу тока по известному магнитному полю (1) и подставляя ее, а также разность потенциалов (2) в формулу (3), найдем трансцендентное уравнение, которому удовлепюряют собственные частоты: 4б4 Глава И' 537.
Поле в резонаторе описывается уравнениями Максвелла (1Г1П.1), (гГ1П.2), причем В = Н, О = Е. Умножим первое из них скалярно на Н„, а второе — на Е„н проинтегрируем по обьему резонатора: И вЂ” Н ° Н г(У = — с Н„° тоФЕИУ, (1) .-/ — Е ° Е„Л" = с Е„° гогНИУ. Считая собственные функции Е„, Н„ортонормированными в соответствии с условием (1Х.З), вычислим интегралы в правых частях равенств (1): г(г " "' Й,г — Н ° Н„г(У = 4ггр„, — 1 Е Е„г(У = 4кг)„. Собственные функции Е„, Н„удовлетворяют уравнениям: гоФЕ„= гй„Н„, тоФН = -гй„Е,1 г гЕ„=й„'Е„, г гн„=й„'Н„, / (3) где 1г„(йг, йз, йз) — соответствующие собственные числа (онн вычислялись в задачах 529, 531). С помощью (3) можно преобразовать интегралы, стоя- щие в правых частях равенств (1), г)1т[Е х гойЕ,) = тогЕ„° тогŠ— Е ° гоггогЕ„= гй„Н„° гойŠ— йзЕ„° Е, (2) поэтому Н„тогЕг(У = — гй„Е„° Ег(У+ — 1г)гт[Е х гогЕ„]г(У = / гй„ / р„— гаг„а„= — — у Н„Н гЖ сь l 4гг 1 (б) = — 4кгй„д„+ Н„[п х Е] г(5, (4) где последний интеграл берется по внутренней поверхности резонатора и и — орт нормали, направленный в глубь проводника.
Ко поле на стенке резонатора удовлепюряет условию (УШ.10), которое можно записать в виде СН =пхЕ. (5) Собственная функция Н„резонатора с идеальной проводимостью имеет на стенке только касательную составляющую, поэтому прн подстановке (5) в интеграл (4) можно заменить Н на Н. В итоге, собирая формулы (1)-(5), получим уравнение Элетнрамагннтные тиебаннн в ограниченных телах 465 Второе уравнение выводится аналогичным путем: (7) Чн аа Рн =О. Исследуем влияние конечной проводимости стенок на и-й тип колебаний идеального резонатора.
Возмущенное поле Н при ~ — 0 должно переходить в невозмущенное поле, т.е. в сумме н=~ р„.н„. должен оставаться один член с ьг = и. Следовательно, амплитуды р„с и' = = и пропорциональны (' и нх подстановка в (6) дает члены порядка (з н выше. Пренебрегая такими членами, заменим Н в (6) на р„Н„и получим уравнение вида (8) Если исключить одну из переменных (р„) с помощью (8), то для другой получится уравнение Величина, стапцая в скобке, комплексна.
Поэтому уравнение (9) описывает гармонический осциллятор, на который действует «сила тре- Р ния» — (4 ~Н„НЯ)9, где ( — действительная часть поверхностного импеданса. Решая последнее уравнение, найдем комплексную добавку Ьм„— 47„ к собственной частоте идеального резонатора. Потери приводят к затуханию собственных колебаний с декрементом (10) 7„= — УН Ю н бк~ н и к сдвигу собственных частот на величину так что измененная собственная частота м„= ю„+ Ьм„.
Связь между добротностью резонатора и декрементом затухания дается формулой (1Х.4). 538. ь)„= ~" о = ~ ~~ ом" . Система потеряет резонансные свойства при достаточно высоких частотах„когда расстояние между соседними собственными частотами станет сравнимым с шириной резонансной кривой, определяемой декрементом затухания т„= ш„/2Ч„. При высоких частотах, как следует из результатов задачи 530, расстояние между соседними собственными частотамн: д)у оз ь,з Приравнивая эту величину декременту у, найдем область частот, для кото- рых система обладает резонансными свойствами: м<10а~а~.
При а ~ 1 см и о = 10ы сек ~ имеем: ы < 3 10'з сея '. 539. Производя разложение Б и Н по собственным функциям идеального резонатора, как это сделано в задаче 537, получим для амшппуд р„ и о„систему уравнений: р» — ыд„+ 2(~ЬП„~.зм = О, »' 1 -ь«й о„— ы„р„= — т'„е (2) где ЬЙ„= Ьы — г1„— комплексный сдвиг собственных частот; (3) 2 БЫК Ищем решение уравнений (1), (2) в виде рсе-ьл й 0ое-й~й (4) Исключив величины д~, получим У рс(мз ЗьчьП» м ) = «у»+2~с~~~ ~П» рс (б) »' Знак «'» у суммы означает, что член с и' = и отсутствует (он перенесен в левую часть равенства). Элеюпрамагнитные юиебаинл в ограниченных телах 467 Решаем систему (5) методом последовательных приближений. В нулевом приближении отбрасываем сумму (~; ) и получаем згниуи (6) Ри = с(ы — 2изЬɄ— ю„) В следующем приближении получим добавку к (6), равную — 2нзлзй и нз~ Она мала, если ю близко к из„, а все остальные собственные частоты из„ удовлетворяют условию )нз — из„) » (Ьй„(.
Выразим знамеиагель (6) через добротность Я„и измененную собственную часппу йз„= из„+ Ьнз„. Имеем: нннз нзЬЙ = нзЬзн — Йн7 ы Ьиз Р и н Р н 2я з что справедливо вблизи резонанса (~нз — нз„~ << нз). Отсюда с(из — йз„+ — ") с(нз - йз„+ — ") Зависимость амплитуд поля ст частоты имеет резонансный характер. при заданном 3 поле при резонансе тем больше, чем выше добротность резонатора: о с 3Аи % рез = разрез = сзн„ (8) Из полученных формул следует также, что проводник с током следует помещать в пучность электрического поля Е„и ориентировать вдоль Е„. При этом величины у„н, следовательно, ро, ц~ будут иметь наибольшее значение. 540.
Если волновое поле с энергией Иг, заполняющее резонатор, отражается от зеркала один раз, то потеря энергии составляет Иг(1 — В). За время з(г теряется энергия «И' = — Иг(1 — В) —, сей Х 4б8 Гиава И где сгй/Ь вЂ” число отражений. По определению добротности (1Х.4) Рлс. 92 где ы — частота рассматриваемых колебаний. Излучение через боковую поверхность вызвано тем, что ограниченный в поперечном направлении пучок света не может быть строго направленным. Он обязательно имеет поперечную составляющую волнового вектора Ьк г, которую можно оценить нз условия Ькг Р 1 (см. задачу 424).
Это приведег к тому, что лучи света, распространяющиеся от одного зеркала к другому, образуют слегка расходящийся пучок с углом раствора 2д = 2йс.г 2с к 0ш' Часть лучей не попадет на второе зеркало (рис. 92), и потеря энергии при одном отражении составит Ига|/В. За время ~й потеря Добротность за счет излучения: Если потери в зеркалах и на излучение малы, они складываются. Полная добротность Я определяется по формуле 1 1 1 + Ю Яг Яз' При указанных в условии задачи значениях параметров: Яз ю4 ° 10з; Яз 4 ° 10з » Яг; ЯщЯз ю4 ° 10з. Элетнрамагнитные тиебанил в ограниченных телах 469 Рнс. 93 541. Если первоначально луч распространялся по нормали к плосюсти одного из зеркал, то после и-го отраженна угол между нормалью и лучом будет равен п,В (рис.
93). За и-е прохождение между зеркалами луч смещается на расстояние прЬ; число отражений Л до выхода луча из резонатора оценивается из соотношения пфЬ Р. н=1 г 2Рт При Л» 1 получим Ж = ( — ), что соответствует времени затухания ~Ы собственного типа юлебаннй т=М вЂ” = — ( — ) Ь 1 2РЬ с с Д Это время можно отождествить с обратным декрементом затухания т: г (2РЬ) Добротность за счет непараллельности зеркал: Чтобы непараллельность зеркал не уменьшила существенным образом добротности резонатора, требуется выполнение условия Яз < Ч, где Я— 470 Глава И добротность резонатора с параллельными зеркалами. Отсюда Для параметров резонатора, приведенных в условии предыдущей задачи, находим Д < 0,0012. 542.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
