В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Если шо — частота в той системе, где источник покоится и $'— скорость источшпа относительно приемника света, то приемник зарегистрирует меньшую частоту 1а = «18 ~/1 — — (красное смещение). С Угол сс луча с направлением движения источника в системе его покоя определяется формулой: соасс = — —. Ъ' с' Угол сг близок к 90' только при е' « с. Если Ъ' -+ с, то сг -+ я. 576. а) Л = Ло , .6) Л = Ло. 1~/ 1 4- Ь'/с' 1~ 1 — К/с 577.
ы = сао,,7 =,78 1 — //саед' (1 — дсозд)2 Частоты совпадают, са = шо при д = до, где созда = (1 — т/1 — /32)/13' при этом,7 =,7от/1 — /32. Интенсивности сравниваются,,7 =,78 при д = = 01 < до, совд1 = [1 — (1 — /32)з/4)/13. когда источник света находится далеко от наблюдателя, приближаась к нему,так что д < до, частота «1 > ыо из-за эффекта Доплера («фиолетовое» смещение). Если к тому же д < ды то интенсивность,7 также превышает .7о — движущийся источник вьппяднт более ярким, чем неподвижный. Интенсивность максимальна при д = 0 и составляет,7 =,7о(1+ /3)з/2/~(1 — Д.
При д > до частота ш < шо, и наблюдатель видит «красное» смещение; интенсивность света теперь меньше, чем у неподвижного источника. Зги эффекты особенно заметны при Ъ' ш с, когда ~+Д (1+ Д)З/2 1а„=«18~( «ш и 7 = 7о «78, (1 /3) 1/2 до а1 Я(1 — /3)1/4 « 1, 480 Глава Х так что покраснение света начинается, когда источник находится еще далеко от наблюдателя, приближаясь к нему. Это происходит, начиная с расстояний 1 г(/до. Число фотонов, излучаемых в единицу лабораторного времени в интервале углов О < д < до, есть в. л га В~~ 2 ' Ов 1 гад В (1 — )3 сов Р) г3 о = 2я7о~Л вЂ” Р(1+ созда), а в интервале гуо < г3 < зг /1 - ~'-1+)3 Лз = 2я.7о~/1 — )3з = 2яЯо,/К вЂ” гуз(1 — соадо).
Р Очевидно, что 77г + Фз = 4т,7о,/1 — )3з соответствУет полномУ числУ фотонов, излучаемому в единицу времени по всем направлениам. Ф1 и Жз равны между собой при )3 « 1, когда соя ро ю О. Если же ф приближается к единице, то Мз делается много больше, чем г7з. Таким образом в этом ультрарелятнвистском случае подавляющая часть света излучается в узком конусе г7 < Ео„испытывая при этом фиолетовое смещение.
578. Используя решение предыдущей задачи, получим (1 32)з Х = Хйг > = Хо (1 — г3 соз д) где Хо =,7ойгао — изотропно распределеннаа сила света в системе покоя источника. Полный световой поток Ф = Хг(Х) = 2яХо(1 — Ф) 7 = 4яХо = Фо Х (1 — )3зсоад)з (Фг) о одинаков в системе покоя источника и в лабораторной системе (сравнить с результатом задачи 767).
579. Введем систему У„связанную с зеркалом (Я вЂ” лабораторная система). Обозначим через газ и сглаз углы, образуемые волновыми векторами Кз и Ц падающей и отраженной волн с направлением скорости 17 481 1 1. Лреобразоваиия Лореица зеркала (рис. 97). Частоту до и после отражения будем обозначать юз и юг соответственно. Аналогичные величины в системе В будем обозначать теми же буквами без пприхов.
Будем исходить из известных законов отражения в системе о'. из~ — — юг — — ю' и аг = к — ам откуда сова~э —— — совам Выражая а/ через ш, сов п' через сов а с помощью формул (Х 4) и (Х.14) и решая получившиеся уравнения относительно шг и сов аз, найдем: (1+,зг) соааз — 2Д соаог =— 1 19г 1 — 2Д сов аз + 19г шг =ы1 уг Если Д вЂ” 1, то при нормальном падении на удаляющееся зеркало юг — О, а при нормальном падении на приближающееся зеркало шг — ~ со.
580. щ =юг. Угол падения равен углу отраже581. Изображение создается квантами света, одновременно достигающими фотопластинки. Но эти кванты испускакп'ся точками движущегося тела, вообще говори, неодновременно. Это происходит как вследствие неодинаювости расстояний различных точек тела до фотопластинки, так и из-за того, что события, одновременные в одной системе отсчета, неодновременны в другой.
Поэтому изображение движущегося предмета будет Ряс. 97 не таким, как изображение неподвижного предмета. Кванты, испущенные разными точками ребра А'В' одновременно в системе Я' (куба), достигнут фотопластинки одновременно. Длина изображения АВ будет такой же, как и в случае неподвижного куба, и будет определяться толью тем сокрашением, которое обусловлено расстоянием до предмета и фокусным расстоянием фотоаппарата. Примем эту длину за 1.
У неподвижного куба изображение ребра Е'Е' было бы слито с изображением А'В' (в предельном случае сколь угодно малого телесного угла, когда все лучи параллельны). В случае движущегося куба кванты от ребра Е'Г' достигнут фотопластинки одновременно с квантами от ребра А'В', 482 Глава Х если первые будут испущены раныпе на время Д1 = 1о/с (в системе Я). В это время ребро Е'Г' занимало положение Е',Г( и до испускания света ребром А'В' проделало путь, равный г'1о/с. Следовательно, теперь ребро Е'Г' не будет загорожено ребром АВ, изображения ребер А'Е' и В'Г' будут иметь длину г'/с =,В, а не нуль, как у неподвижного куба, и вся грань А'В'Г'Е' сфотографируется в виде прямоугольника АВГЕ (рис.
98а) с соотношением сторон 1: 19. В С а) Рис. 98 Кванты, создающие изображения ребер А'В' и С'Р', испускаются кубом одновременно в системе Я. В системе У, как следует из преобразований Лоренца (Х.1), кванты с ребра С'В' должны быть испущены раньше, чем с ребра А'В', на время Д1' = 1 у'Л, где 1 — длина ребер В'С' и А'В' в си- С стеме Я. Можно считать, что в системе 5' в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии Дх' = 1о, произошли два события, одно на Д1' позже другого. Расстояние между ними в системе Я определяется с помощью (Х.1): 1 ш Дх = 7(Дх — г Д1~), откуда, подставляя Дх' и Д1', находим 1 = 1о~(1 — Вз — длину ребер ВС и АП в системе Я.
Они испытали обычное лоренцево сокращение. Их 483 $ 1. Лреобразованин Лоренца изображения (с учетом сокращения в фотоаппарате) будут имеп» длины з/à — )3з. Чертеж изображения куба приведен на рис. 98ж Любопытно отмеппь, что такое же изображение даст неподвижный куб, повернутый относительно Ъ' на угол а = агсвш(Ъ"/с). Видимая форма предмета в данном случае не испытывает деформации из-за лоренцева сокращения — предмет только «повернулся» на угол гг. Этот результат, как оказывается (см.
[241, а также следующие задачи), имеет место для любого предмета и любого угла, ! между скоростью и направлением наблюдения. ' а' Нужно только, чтобы предмет был виден под А 1г малым под малым телесным углом. Если бы были справедливы преобразования Галилея, то ребра А'Р' и В'С' не испытали бы лоренцева сокращения, и изображение приняло бы вид„показанный на рис. 98б.
Задняя (по отношению к направлению движения) грань куба по-прежнему была бы сфотшрафирована. Таким образом, видимав форма движущегося предмета подверглась бы искажению. 582. а) 1 = 1о(;/1 — 13зсова' — )3вша'~, 13 = Ъ'/с. Значение а~, при котором функция ~ т(1 — 13з сов гв' — 13 вш а'~ имеет максимум, определяется условием Вйа' = — ф /1 — 13з. При этом 1 = 1о.
таким образом, наибольшая длина 1 равна 1о. Изображение в этом случае эквивалентно изображению неподвижного стержня, ориентированного параллельно фотопластинке. Стержень «повернулся» на угол к — гг,' з/[ — 13з т а) гг' = агсв8( ); в этом случае изображение получится таким, ) как если бы стержень был неподвижен и ориентирован перпендикулярно фотопластинке. б) Если два наблвзлателя, неподвижных в системе Я, одновременно сделают зарубки на плоскости ху в точках М и Ю, мимо которых в данный момент проходят концы стержня, то полученный ими отрезок МФ будет составлять с осью х угол гз = агсв8 484 Глава Х 583. Изображение будет иметь форму круга.
Сфотографируется полусфера, заштрихованная на рис. 99. Она ограничена плоскостью А'В', составляющей угол а = агсЩ д с направлением У (в системе шара). Вопреки естественному интуитивному представлению, движущийся шар не воспринимается наблюдателем как эллипсоид, сплющенный в направлении движения. Лоренцево сокращение оказывается невидимым! Но это, разумеется, не означает, что оно отсутствуст. А а) с х = сов а с С г) Ряс. 100 584.
Видимые положения куба изображены схематически на рис. 100. При )г/с ( сова видна передняя грань А'17 и нижняя грань А'В'. Если в оптической системе фотоаппарата не происходит сокращения размеров предмета, то АВ = 1оЯ ~3з а1пс* АР = 1о 1 —,Осоаа' 1 — Дсоагг 485 1 1. Преобразования Лоренца С помощью зтих формул находим угол гу поворота куба: д= — — а — д, где 188= 7г сова — 13 з1п а;/1 — 13з При И/с = сов а имеем г3 = к/2 — а и видна толью нижняя грань А'В'.
При У/с ) сова видны нижняя и задняя грани, Наконец, прн Ъ'/с — 1 видна только задняя грань, нижняя грань испытала лоренцево сокращение до нуля, г3 = к — а. 585. Пусть в системе отсчета У, связанной со средой, распространяется плоская волна с частотой иг и волновым вектором к'(к' соз а', й' зш а', О), Ф к' .1 Оз.
Фазовая скорость волны о' = о = ~, в системе Вг не зависит от и й угла а', определяющего направление распространения волны. Компоненты 1 поля пропорциональны е '"'*', где 1г,' = (ф, к') . Так как фаза 1ггхз = )г,'хг— инвариант относительно преобразования Лоренца, то кг представляет собой 4-вектор (волновой 4-векгор). Используя (Х.4) и (Х.14), мы можем найти компоненты ггг в системе отсчета В, относительно которой среда движется со скоростью Ч ~) Ох, откуда иг = уго'(1+ )3п сова'), I в1п а т(сов а' + )3/и) ' (2) (3) где 13 = у/с, т = (1 — )3з) 1(з. Из (3) видно, что фазовая скорость в движущейся среде зависит от направления распространения.
Возникает своеобразная аннзотропия, связаннаа с движением среды. 586. Искомую скорость можно найти по формуле (3) предыдущей задачи (а' = О): 486 Глава Х Здесь Л' = 2яс/а»', ы' — частота, наблюдаемая в системе У, относительно которой среда покоится. По формуле (1) предыдущей задачи находим с точностью до членов первого порядка по У/с: и» тА' — = — =1+— Л ы' с с с с гЬ оУ п(Л') п(Л) пг НЛ с и окончательно с .( 1 Л '"(Л)~ п(Л) ~ ог(Л) п(Л) ИЛ,) ' 92. Четырехмерные векторы н тензоры 590. На трехмерный тензор Б ранга А д (гг, д = 1,2,3), два трехмерных вектора Ас, и А с (а = 1, 2, 3), трехмерный скадар Асс. 591.
Аитисимметричный 4-теизор Азь может быль представлен в виде: О -В, -Вг -Вз — В О А — А Вг — Аз О А» Вз Аг -Аг О где А = (Аы Аг, Аз) и В = (Вы Вг, Вз) — трехмерные векторы (точнее,  — полярный, а А — аксиальный вектор). 595. Инвариаитная величина Й»» = — ~(хс + — ((хг + — ~(хг + — Ихз др др д9 др дхс дх дх дхз имеет одинаковый вид яо всех инерциальных системах отсчета; посколь- ку ахв (1 = О, 1, 2, 3) — компоненты 4-вектора, то совокупность величин '=( — — — — ) дх д~» д~» дг» дхо дхг ' дхг ' дхз 487 4 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
