В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Углы треугольника характеризуют относительные направления вылета частиц и могут быть найдены по известным рп Рз Рз. в) Границы разрешенной области определяются условиями Р1 + Рз Э Рз) Рз ( Р1 Рз ( Рз Зти условия приводят к области, заштрихованной на рис. 1056. Сверху область ограничена прямой у = (т — тг)з/2т, снизу — гиперболой х = К~ + 2тзв 3 647. Диаграмма Далица имеет вид, изображенный на рис. 1056. а) Т1 ~ - Тз„„~ - Тз~ - 69,8Мэв. 6) Тзаал= ' ж127Мэв, Тала„=Талал= ' 228Мэв. 2т 2т Максимальные импульсы всех трех частиц одинаковы. А О С х А О х Рис.
106 Рис. 107 648. Диаграмма Далица в приближении Я «т приведена на рис. 106. ОВ = Я, В = Я/3, Тлал = 2Я/3 30Мэв. 649. Диаграмма Далица приведена парис. 107. ОВ=Я, Т ю210Мэв. Внутренняя замкнугая кривая дается уравнением 505 $ 1. Энергия и ампулвс 650. б-функцию от 4-вектора нужно понимать как произведение четырех б-функций от его компонент: б(рт — Ра — Ртг — Ртз) = 6(Р— Рт — Рг — рз) = 6Ф вЂ” дт — Вг — дз). (1) Произведя интегрирование по (Ырз) с помощью (1), придем к выраже- Г = 1( Р')( Р')6( дт4я4з — дз), (2) где Юз = пт — дт — дг, д — утоп между рт и рг Представим (т(рг) в виде (Ырг) = Рг гт(рг сй)г, где тИг — элемент телесного угла.
Примем за полную ось направление рт, тогда т(йг = 2к зш дед. Кроме того, Рг т(рг = Юг сЫг как следует из (Х1.3). Преобразуем 6-функцию в (2), использовав формулу (П 1.18): 6( — дз) = 24зб(2ртрг сов д+Ргт+Ргг+нтз г4зг). (3) Поскольку — 1 < созд < 1, то интеграл (2) будет отличен от нуля только при выполнении неравенств Рт+Рг рРз, Рт — Рг ~~рз Рт — Рг ~ 1— Рз но именно эти неравенства определяют границы разрешенной области на диаграмме Далица. С помощью (3) и (П 1.5), выполнив интегрирование по с(д, получим Г= я т =4яг тй~тда. гт дтрт Перейдем теперь к интегрированию по переменным Тг — Тз Ат + 2дг + птз — таг — тп х— у = Тт = нт — тот~ ъ~З Гз которые использовались при построении диаграммы Далица. Преобразовав элемент т(дт 44г, найдем Г = 2тГЗк~ Их с(у, где область интегрирования ограничена внутренней кривой диаграммы (см.
рис. 1050-107). Глава Л7 Последняя формула показывает, что элемент фазового обьема АГ = = 2~/Зхг вЬ Ну пропорционален элементу площади на диаграмме Далица. Энергии Тп Тг и Тз часпщ, образующихся при распаде, можно измерать экспериментально и наносить соответствующие точки на диаграмму Даяица. При этом густота точек будет пропорциональна величине р (см.
условие задачи), юторая, таким образом, может быль найдена из данных эксперимента. 651. Рассмотрим 4-вектор энергии-импульса системы часпщ рь Он сохраняется, т.е. его соответствующие компоненты до и после реакции равны между собой. При значении кинетической энергии То, соответствующем порогу реакции, образовавшиеся частицы покоятся в системе ц.и. (заметим, по в лабораторной системе отсчета часпщы не могут покоиться при пороговом значении То, так как это означало бы нарушение заюна сохранения импульса). Вектор полного 4-нмпульса системы до реакции имеет в лабораторной системе вид: р; = ( с +тгс~ро)~ где ео — полная энергия и ро — полный импульс на пороге.
После же реакции в системе ц. и. 4-импульс равен р'; = (Мс, О). Вследствие инвариантности квадрата 4-вектора и закона сохранения 4-импульббг са, р) = р; '. Запишем последнее равенство в развернутом виде: М сг = — + 2тФо + тгс — рр, г йс г г г сг откуда То = (М вЂ” т1 — тл) (М + т1 + т). 2тг 652. а) Тс = 288Мэв; 6) То = 160Мэв; в) Тс = 763Мэв; 2т„(т+ 2тр)сг г) То = т где тр — масса протона. В частном случае столкновения с протоном т = тр, имеем То = 6трс = 6,63 Гэв. Приближенная формула для пороговой энергии: 2(А+ 2) То= А трс.
При больших А, То ю 2т: сг. 507 4 1. Энергия и импульс 653. То = (1+ "' )Ы. В случае а) имеем по приведенной выше приближенной формуле Ьб = 7о = 2,18мэв (гл = 0). По точной формуле (см. задачу 574) мы получили бы больше на, ю 2т|с' - 0,0012Мэв, где Я = — (М вЂ” тг — т)сг — тепловой эффект реакции. В случае б) приближенны формула дает То = 2Д = 7,90Мэв. Отличие от точной формулы составляет О,ООЗМэв. 654. Уравнение реакции имеет вид: 7+ (частица) — е+ + е + (часпща). Порог можно найти по общей формуле (см. задачу 651): То = био = (т, + 2т — тг)(т1 + 2т+ т1) = 2тс~(1+ ™ 1, 2т1 тг)' где т — масса электрона (или позитрона).
Когда частицы нет, так по тг — О, пороговая энергия То — оо, что и означает невозможность реакции. Последний результат можно также получить, показав невозможность выполнениЯ Равенства й; = Р+;+Р,, где й;, Рео Р; — 4-импУльсы фотона, познтрона и электрона. Возводя обе части равенства в квадрат, будем иметь )2 (б +б )2 ( + )2 Но Кг = О, а инвариантная величина, стоящая в правой части, не равна нулю ни при каких значениях рь, р . Это становится очевидным, если перейти в систему отсчета, в которой ре + р = О. ~г — щэ 4'+ тгся 657.
По закону сохранения 4-импульса Рм +Рг. =Рм+Р22. (о) (о) Чтобы определить угол рассеяния первой частицы, перенесем рм налево и возведем обе части получившегося равенства в квадрат: Рм +Рг, +Рм+ 2рн Рг, — 2Рм рм — 2рг, Рп =Рго (2) (0) 2 (О) 2 2 (0) (О) (0) (О) 2 508 Глава Л7 произведения преобразуются следующим образом (рз~ ~ = О): Р1«Р2«Р1 ' Р2 2~1 ~2 '«ОШ2~ Р21 Р1« — Ш2д1« (О) (О) (О) (О) 1 (О) (О) (О) с (О) (О) 1 (О) 8оА Рм Р1« = Р1 . Р1 — р41 д1 = РОР1 Совд1 — —, - «,--',М:й««.п „, .д,.«« с 81 (ео + ш2сз) — еошзс — ш1с сов д1 2 Аналогично (ЕО + Ш2С )(Ез Ш2С ) созда = с РОР2 7О+ ™п~) (1+ 'уо™~) ~ сов д1('уоз — 1) ™2 — вшз д1 2 1 81 = т1С ( ()) 7О + — ', ) — ( уо — 1) соз д1 2 (ус+ ф) + (уаз — 1) сснздз ~'2— 2 Ш2С, (В+ ф) — (4 — 1) ~'д~ где ЕО 7О = Ш1С2 Из этих формул видно, что при ш1 ) шз возможно рассеяние толыв на углы д1, не превышающие агсаш ~Я (подкоренное выражение в (1) должно быль положительно).
При этом каждому значению д1 отвечают два значения энергии е1. При п11 = шз угол рассеяния д1 не превышает ~ и каждому значе- 2 нию д1 отвечает только одно значение энергии, соответствующее выбору 509 $ 1. Эвергия и ««пульс знака «+» в формуле (1). Знаку « вЂ” » отвечало бы значение ег = тпгсз независимо от угла рассеянна, что, очевидно, не соответствует действительности.
По аналогичной причине в числителе формулы (2) для ез оставлен толью знак «+». При пзт < тз возможно рассеяние на любой угол и каждому значению дт отвечает одно значение ег. Если 0 < дг < 2, то в формуле (1) нужно выбрать знак «+», если й < дт < тг, то нужно выбрать знак « — ». 2 При таком выборе знаков рассеянию налетающей частицы на больший угол соответствует ббльшая потеря энергии, как и должно быть, 659.
41 зв ио 1+ — (1 — соз д) 4'о Мс да — ~1Е 1+ о (1 — совд) Мсв 661 т о "д г= 1+ -( — ) вш дт Т =Т( ) ~1~( — ) — 2г д ~2 д Д вЂ” ) -пг«): т = 4тптптз з Трсоз дз. (тпг + птз)з Правило знаюв сформулировано в решении задачи 658. 663. Угол разлета часпщ зт = дг + дз выражается формулой: (о', + оз), 1 — — з1пд' с 18Х— — о~1 з1п д'+ ()г — о~)(1 — созд') с (ср. с задачей 568).
510 Глава Л7 При пгз = пгг скорости о) —— ог — — Ъ' и 2 ф — —, сб:с = 1'г аш д' В этом случае,~ < 90'. В нерелятнвистском пределе Х вЂ” + 90'. 664. Поступая так же, как при решении задачи 657, получим: ше ~ — — ре соа гэе) — — ро созгуг + — (1 — сов д) ио Лыв где д — угол между направлениями движения первичного и рассеянного фотонов»; дз — угол между направлениями начального движения электрона и движения фотона после рассеяния.
Если электрон до столкновения покоился, то 1+ Ьыа(1 тс 665. Энергия рассеянного кванта максимальна при де =0 = к, дз =О, т.е. при лобовом столкновении с рассеянием кванта назад. При этом йы йые 2»о (огсз)г Мс Из (1) видно, что в ультрарелятивистском случае происходит значительное кужесточение», кванта, Аы » Ьие. Отметим два частных случая. г При Ьмо « гпсг (~ ) формула (1) дает: бс >> Ьм = 45ыо( — ') >> Аме. 8» ~ огсз Если же Лшс » пзсг ~ — ), то Йо приближается к оо. гас ио рос(сов дс — сов 61) + йоо(1 — сов д) 666 б — 8с = Йис .
Обозначения 666. 8 8 — йи . Обо углов те же, что в задаче 664. Поюившийся вначале электрон при столкновении с фотоном всегда увеличивает свою энергию: (Вас) (1 — соя д) гпсг + Ьы(1 — соа д) 511 б 1. Элереяя и импульс Если электрон обладает до рассеяния импульсом Ре » йс/с, то его энергия увеличиваегся при рассеянии, если дс < дм и уменьшается в противном случае.
Максимальное ускорение электрона получится при до = О, д = = дг = я. При этом 8 — 8 =2дм бс + Рос+ аньес Если электрон нерелятивистский, но Рос » Ьыо, то б' — бо = 2уксо(ес/с) « ~ Ьые. Если электрон ультрарелятивистский, то 8 — Юе ~ Ьые и условия ускорения электрона оптимальны. Рис. 108 бб7. з = 4(пгг + цг), 1 = — 2дг(1 — соя д), и = — юг(1+ сов д). — (е — пь — гл ), 1 г г 2пьь а ь ' ( +~»+ ь) /-(е + гль и'а) 2~/е д/ а еь= где Л(х у г) хг + уг + «г 2ху — 2хг — 2уг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
