В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 72
Текст из файла (страница 72)
а) Угол д принимает дискретные значения, определяемые условием Ь пЛ совд 2 ' (1) где и » 1 — целое положительное число. Если при заданном Л возможно значение д = О, которое соответствует и = по (Ь = поЛ/2), то дискретные значения угла дь « 1 определяется формулой (2) б) Добротность Чм учитывающая потери в зеркалах, была найдена в задаче 540. Добротность Яз, связанная с потерямн на излучение, по порядку величины составляет Яз= — при д>д, Яз= — = — прн дсд, (3) ыР ыР Рты з сд сд сз где д — угол дифракцни, определенный в задаче 540. Если Ят < Яз, то полная добротность Я резонатора для тех типов колебаний, У которых вз(д) > Ям будет практически одинаковой и близкой к Яп Если Яг > Яз, то Я будет определяться, в основном, величиной Яз в соответствии с формулами (3).
ГЛАВА Х СПЕЦИАЛЬНАЯТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ $ 1. Преобразовании Лоренца х' — хс + $/(Г' — Гс) 543. х — хо =, У вЂ” Уо =У Уо /à — 5~ à — го+ — (х — хо) с' х — хо = х — хо* «г 54б. Координаты часов, показывающих равное время 8 = Ф' в системах Я и 5<: *= — (1 — ф)а, х' = — — (1 — ЦС. Из этих формул видно, что точка, в которой 4 = г<, движется равномерно в каждой из систем 5 и У. Если ввести систему отсчета, относительно которой эта точка неподвижна, то Я и Я' движутся в противоположные стороны с равными скоростями (~~ = — ~1 — — ~ (~~ представляет собой сг I релятивистскую «половину» сюрости г< в том смысле, что релятивистсюе сложение двух сюростей $о даст У). 547.
В системе Я< продолжительность одного периода Т' = 2(/с; в системе 5 время Тг движения «зайчика» вдоль стержня в направлении относительной сюрости 1' вычисляется из уравнения т,— —,'рД г<Р+гг< время движения в обратном направлении Тг получается заменой У на — гг. Для отношения Т' к Т = Тг + Тг находим г =,<г:ля Т откуда следует (Х.7).
472 Гя ива Х 549. а) Нельзя. 12 час ООмин могут показывать одновременно двое часов в одной из систем отсчета и толью одни часы в другой системе отсчета. б) Показания пространственно совпадающих часов не зависат от выбора системы отсчета: гд = 12 час ООмин+ — = 13час Обман; ~о )о )гз гд = 12часООмин+ — 1 — — = 12час 36мин. $~ сз Показания оставшихся часов В и В' будут зависеть от выбора системы отсчета вследствие относительности одновременности. Рис. 94 С точки зрения наблюдателя на «платформе» (рис.
94а): 1н = 12 час 21,6 мин, 1в = гд = 12 час 36 мин. С точки зрения наблкщателя в «поезде» (рис. 946): 1в = гд = 13 час ООмин, гв = 13 час 14,4мин. в) С точки зрения наблюдателя на «платформе»: гд = 13 час ООмин = гв, гн = 12 час Зб мин, гд = 13 час 14,4мин. С точки зрения наблюдателя в «поезде»: гд =12час216мин, гд =гв =12час36мин, гн =13часООмин. Во всех случаях отстают те часы, показания которых приходится сравнивать с показаниями двух часов в другой системе отсчета. 473 1 1.
Преобразования Лоренца 550. По земным часам: ЬФ = блат. При расчете запасов снаряжения следует брать в основу промежуток времени Ыо = 0,01Ы ее 1 месяц по часам в ракете; Т = тпсз(1 — 1) ы 2,5 ° 10~в квт-ч. 21ооъ1 (Ы) +я/сз Для наблкн1ателя, связанного с первым масппабом (рис. 95а), сначала совпадуг левые юнцы, потом правые; для наблюдателя, сказанного со а) Рнс. 95 вторым масштабом (рис.
95б), — наоборот. С точки зрения наблюдателя, относительно которого масштабы движутся с одинаковой по величине ско- ростью, концы совпадают одновременно. 552. Введем поперечную и продольную компоненты радиуса-вектора г: ,(,г' г1 2 Р / гь — — г — гр =у !! рз гь =г — г1, Применив к г1 и г1 преобразования Лоренца (Х.1), получим ги = у(г~1 +М), гь = г~~ь. Окончательно: г= у(г'+З~Г)+1(1 — 1), 1= у(1'+ ' ). Это количество энергии в 10000 раз превышает годовую выработку злектрознергии во всем мире в настоящее время. 474 Глава Х 553 А = 7~А'+ЧА~~)+( — 1)( ) Ао 7~А~р+А'. Ч) ч'+ 'Ч+ (7 — 1) Ч ((ч' Ч) + Ч ) 554. ч = ч1 + чд , где ч и ч'— 7'11+ г ) сюрости в системах Я и У.
Можно также просто продифференцировать по времени радиус-вектор г, выраженный через г' и $' по формуле, полученной в задаче 552. 558. Угол томасовсюй прецессии определяется соотношением д — $ л';ъ у1 — л' Прис,Ъ'«суголу О. а... - . „.. то ~р — + я/2. 1 — еа сз 559. 1=10 3 2. 1+ ч*/с 560. а) $' = 2 0,9 с = 1,8 с; б) Ъ' = 0,994 с. 561. Относительная скорость двух частиц в системе, связанной с одной из ннх: 1' = з . Отсюда 1+с /сз В ультрарелятивистском случае Юо » гпсл и, следовательно, Если ускорению подвергаются электроны (тсз = 0,5Мэв), то, например, при Юо = 50 Мэв получается выигрыш мощности усюрителя в 200 раз: К = = 10000Мэв.
475 2 1. Преобразоеанил Лоренца 562. Эту задачу, как н задачу 554, можно решить двумя способами. Результат: (у-Ц(4' Ч)Ч (4 . К) ' , 282, зззр'2 ,„28зсз ч с2 Из этих формул видно, что если в одной системе отсчета частица движется с постоянным ускорением»', то в другой системе отсчета усюрение», вообще говоря, зависит от времени (так как в формулы преобразования входит переменная скорость «' частицы). 563. юз = — уе 62 — ~ = — уе [«2+'уз ~ ( О, т.е. (». »)21 ~.
(„.»)21 с с четырехмерное усюрение — пространственноподобный вектор. 564. Пусть 5» — мгновенно сопутствующая частице система. Согласно ответу к задаче 562, «'= у [«+ (« ° «)«]. Отсюда квадрат ускорения «'2= уе[«2+ ] = уа[«2 — («х «) ]. (2) Если сюрость частицы меняется только по величине, то Ф ~~ «и »' = у Ф. Если сюрость частигщ меняется только по направлению, то» .1» и «Ф = = О, так что «'= у Ф.
(4) Результат (2) можно получить и другим, более простым способом, воспользовавшись выражением квадрата четырехмерного ускорения, найденным в предыдущей задаче. Квадрат ыз является 4-инвариантом. Это значит„ что вычисление ыз как в системе Я, так и в системе У должно дать один и тот же результат. Замечая, что скорость частицы»' = О, получим формулу (2). 47б Гяава Х из+со(1 — РоГ' ' 1 + с з(ея + о (1 — б ) '/з)з х($) = — ( В ультрарелятивистском пределе: — (1 — бз) '7з~+хо. о(1) с, х($) сЕ + хо + заФ вЂ” Ро В нерелятивистском пределе: е(1) = оо+оД, х(1) = хо+осе+ -ый . 2 5бб.
Время разгона по часам в неподвижной системе: у Г 1 / й е — 47,5 лет. (ч) / (1 зу 2)з/3 ~. ~ /1 2/ ,'~ о Время разгона по часам в системе, сввзанной с ракетой, ~ 1+ е/с т = —.1п~ ~ = 2,5 года. ~ ~ ~1-! Ьчюбч, Ьср- — бтхч. 1 2сз В этом пределе величину езо ыг = — — б х и. й 2сз можно рассматривать как угловую скорость томасовской прецессии мгно- венно сопутствующей системы относительно лабораторной системы Я. 567.
Формулы (1) описывают преобразование Лоренца с малой относительной скоростью Ьч и поворот на угол Ьу = ~Ьф, причем ось вращения проходит через начало координат и параллельна вектору Ьу. Эгн преобразования вследствие малости дьч и Ьу могут производиться в любой последовательности. Таким образом, мгновенно сопутствующая система является вращающейся. Это вращение представляет собой чисто кинематический релятивистский эффект и называется прецессией Томаса (см. задачу 558). При е « с формулы (2) принимают вид 477 З 1. Преобразоеанил Лоренца 568. В системе Я: сова = ' ' . В системе В|: (в|()кз! (ч| — '\1) (чз — 'К) — 1 (в| х '~) .
(чз х '%Г) с соа а— 569. Угол в системе У стремится к нулю. Дла того чтобы убедиться в зтом, положим 'К = 'Чос, где ('Ко( = 1. Вычислим сова' по формуле, полученной в предыдущей задаче. Воспользовавп|ись формулой (а х Ь) ° (а| х Ъ|) = (а ° а|)(Ъ ° Ъ|) — (а ° Ь|)(а| ° Ъ), получим с — ч| У вЂ” чз У+ — (ч| У)(чз У) с — 1 откуда гг' = О. Это сужение упювого распределения является характерным релятивистским зффектом, проявляющимся во многих велениях. 570. Определение угла аберрации сводится к вычислению двух упюв (рис. 96): угла гг| между направлением луча АС и направлением скорости ч Земли в первом ее положении и угла ггз между направлением ВС луча и направлением скорости т' Земли во втором ее положении (через полгода). Угол аберрации 6 можно определить как 6 = (я.
— ггз) — а| = = к — гг| — ггз. Углы аз и аг вычислим по формулам (Х.15), выразив их через угол д, который наблюдается в системе отсчета, связанной с Солнцем, между лучом ОС света и вектором скорости Земли: 1 зшд еа(я ) 1 зшд 1 с тг| —,У Отсюда находим Фа — = = 1778шд. 2 1+ соя б 478 ~яава Х Заметим, что все три угла между скоростями, изображенные на рис. 96, относятся к разным системам отсчета и что сам рисунок условен (например, изображенные на нем отрезки АС = СО = СВ = с).
Из полученных результатов видно, в частности, что угол аберрации б зависит только от относительной скорости о Земли и Солнца и не зависит от скорости Солнечной системы относительно звезды. О т'=-тВ Рис. 96 571. Если положение Земли на орбите определяется азимутальным углом у, и а = (О, ав, а ) — вектор, проведенный вз точки (д, а) небесной сферы в точку видимого положения звезды на небесной сфере, то ав = — )3 сов д ° вш(а — у), а = —,8 сов(а — <р). Отсюда видно, что видимое положение звезды на небосводе в течение года описывает эллипс с полуосями Д аж д и )З. 572.
Рассмотрим в системе Я пучок внутри телесного угла сИ = = вш дед йк. В системе У этот пучок будет наблюдаться внутри угла д1г = сов д — Я = в1п д' Ид' г(а'. Угол а = а', а сов д' = . Отсюда 1 — дсовд' Вз Нй' = ~Ыд'Ид'й~' = 011. (1 — д сов д) При этом, разумеется, ) гйг = ) гЮ = 4я. 1 1. Преабразаеанил Лоренца 479 ал/ /1/о <И 11/о 1 - /7~ 573. —, = — —, = — ... где /1/о — полное число ЖК' 4к ЖУ 4к (1 — д сое д')' видимых звезд. 574. ш = 7саф+ и ' ) или ы = ы, 1с = 7(1с'+ /1 ус к' + ~"' ) + ( у — 1)(1с' х У) х ~, где и = и, и' = ~, и = ж. 575.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
