В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Но тогда 1 Тгд е()т должен быль 4-вектором (ср. с задачами 597 и 4). 619. Вычислим изменение Ква' за время Й. При этом придется сравнивать значения Квь на двух близких гиперплоскостях $ = солне и Ф + + а1 = сопев. Учитывая, что иа бесконечности поле отсутствует, можно преобразовать разность интегралов по этим гиперплоскостям в интеграл по замкнутой гиперповерхности 8, образуемой дополнением этих гиперплоскостей бесконечно удаленной боковой гиперповерхностью. Полученный интеграл преобразуется по теореме Остроградского-Гаусса Аеы дд~ = 'ы дй (П вЂ” обьем внутри замкнутой гиперповерхности Я). Преобразуем правую часть последнего выражения: д4еы д дТы дТн = — (хвТы — хьТа) = Ты — Та+ х; — — хь —.
дх~ дх~ * дхю дхс Здесь Т;ь = Ты вследствие симметрии 4-тевзора натяжений. Рассмотрим ~'хе — "' НП = — 1 )'х;Ры.ц дй. Так как мы имеем дело ' дх~ с системой точечных частиц, то хег 31аl = Е херы Ж ' / Ы~~ в правой части последнего выражения стоят координаты частиц и их функции в момент $. Согласно уравнениям движения частиц, -Ры — = —. е М арв ат ат ' Аналогично можно рассмотреть ) хь — пой. Таким образом, интеграп дх~ по ИЙ обращается в — ~(хе — — хь — ) Й и сокращается с такой же арв арс т '<х атт' суммой по частицам.
'ттвв — фуннпионви от проетрвнетвенноподобноа гиперповериноети т = сопва Глава Х Введем антиснмметрнчный по значкам О~ 13 танзер Яадт хдТат — х Тд.. Этот тензор должен быль интерпретировал как плотность пойма момента импульса, по ясно из формулы (1). Компонента Яадт равна количеству щЗ-компоненты полного момента импульса К д, протекающему в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной к оси хт. Подобно тому, как вместо К д мамою ввести псевдовектор момента К, можно ввести также псевдовектор, эквивалентный Я,цу и .
Тогда равенство (1) принимает вид: — — =у Я4~ 1 й / (2) Я= (г хи) — — 1(гхЕ)(п.Е)+(г х Н)(п Н)]. (3) ез+ цз 1 При выводе (3) использовано выражение (Х.29) для компонент Т д. Гасла Л7 626. а) о = 3,42 ° 10 з с; б) о = 0,9999985с; в) 0,81 с; г) 0,9958 с. 628. р = 1 — о~/со Давление имеет одинаковое значение в системе, связанной с телом, и в системе, связанной с газом. В этом можно убедиться как путем прямого вычисления давления в каждой из этих систем отсчета, так и произведя преобразование Лоренца для четырехмерной силы (см.
(Х(.18)). 629. Длина и-й трубки оа с 2и 2и где о„— скорость частицы в и-й трубке. В начале ускорения пзс~ >> неь'л и 5„ч~ — ~ — ' ° ~/и. В ультрарелятивистском пределе Т„>> тсз2, о ю с 1 2е$; 2и т' и Т„ж —. е 2и' Оценим длину ускорителя: — те~ агссоя №1', + гпсз~ 638. Отношение интенсивностей 1 Ь 1 Ь тписз1 — = ехр — ехр ~ — . ] ю2,5 го от (то с — "*Р "(~~И ~ \~ то — Ф/ ,).Р б р р бр мы получили бы для отношения интенсивностей (считая, что скорость мезонов равна с): Ть Ь вЂ” ~е ехр — м 94,4. )'/ о тес 499 $1. Энергия и импульс Наблюдения согласуются с первым результатом (Хь/Хс 2,5) и тем самым дают прямое экспериментальное доказательство существования релятивистского эффекта замедления хода движущихся часов.
631, с д 1 р'81вд' 7 р'сиад'+ У— с 1 а!и д' 7' ..д+-"," 5' 7 =, 8 = 7(8'+ р'Усоед'), У' ' 1 —— г 8 рс 276н соа —. 2 д' 2' 632. Рассмотрим дМ частиц, движущихся в системе У внутри телесного угла с(П'. В системе Я те же оФ частиц будут двигаться внутри телесного угла дй = зш д <И дгэ, образованного векторами скоростей этих частиц в системе Я. Угловое распределение часпщ в системе Я будет описываться функцией Г(д, сг), определяемой нз равенства Е(д, сг) сИ = Е'(д', а') дП' = ЛУ = —.
Ж' Угол д' должен быть выражен через д с помощью формулы: (сов д'+ —,) зд 1 (созд'+ — ) + — ащ д' 2 7 р, р' — импульсы частицы в системах Я и о' соответственно. Приведенной в условии для ультрарелятивистского случая приблюкенной формулой можно пользоваться, если соа — ~ ~/ ~1 — —,~, где е' = с' = р' — — скорость частицы в Я . Энергия в ультрарелятивистском случае ! ф принимает вид: Глава Л7 следующей из решения задачи 631 (о' = р' — — скорость частиц в систеб~ ме У). Учитывая, что гг = а', получим окончательно: з уз[~осад'+ —,) + —,з1п д'~ г(д,а) = г (д'(д),гг] (2) 1+ Е,.зд Э' В случае ультрарелативистских частиц о' = с и угловое распределение в системе Я упрощается (ср.
с задачей 572): ~/3 1 —— Г(д,гг) = г [д'(д),а) (1 — 1оз6) (3) Заметим, по частицы, движущиеся в системе Я под разными углами д, обладают различной энергией, несмотря на то, что в системе У у иих одна и та же энергия. 633. Функция распределения Г" является инвариантной величиной. Это означает, что при переходе к другой системе отсчета У: ~'(г',р',г') = Дг,р,г), где в правой части равенства надо выразить г, р и 1 через пприхованные величины по формулам (Х.4). дМ = Йт12пгпзщ$ 8 = Йг1зя1пз~ч~ — ъ~з~)' $ . 634. Обозначим через п1 и пз числа рассеиваемых и рассеивающих часпщ в единице обьема.
Рассмотрим процесс рассеяния в системе Я. Общее число частиц дМ, рассевнных в интервал телесного угла Ий за время г рассеивающими частицами, заключенными в обьеме К, выражается, согласно определению сечения, формулой: пгв = Йг1зАзпз'г'т, где Аз = п1щ. В системе У можно написать для того же числа ИЖ аналогичное выражение: ИМ = Йг1~з.у~ззп~зЪ"1', где .у~за — — пг~~к~ — ~ф (в этой системе а)л' представляет собой число частиц, рассеиваемых в телесный угол ИЙ', соответствующий й1).
Таким образом, 501 $ 1. Энергия и импульс т~~ чз1 сз (2) так как скалярное произведение двух 4-векторов инвариантно. Учитывал (2) и то, что 4-обьем инвариантен: е"1 = Ъ'У, мы получим окончательно ( т( ° тз) Жги — — г(ггзз )т~~ — чЯ В том частном случае, югда тд ~~ тз т1 — т~з тэ = У Р т, тв сз (см.
задачу 554) и из (3) следует, что сечение инвариантно: Йгзз = г(сдз. Р (4) Этот случай имеет место, например, при преобразовании от лабораторной системы отсчета к системе ц. и. Заметим, что если поток определить формулой Угз = пзе, где В = ет(1 — ' '), то сечение будет инвариантно с при произвольном преобразовании Лоренца (см. (6), 5 28.3). 635. пй'=, ~" „3 п)т'=1,где Р= $. 4в"т~(1 — ~5 сов д) 636. у" = —, откуда 41 = гпсз —, где гп — масса т -мезона. 1+5 у+1 о 1 — В' 2~/~ 638. Посюльку импульс фотона р = —, то (ср. с задачей 631): у 2 ~(1 — )3 сов д) ' 2 Величина и; = 1п" „поэтому совокупность четырех вели- ~~ — в, ~се чнн (и;т;,4пгс) представляет собой 4-вектор (он пропорционален 4-сюростн частицы).
Отсюда следует, что 502 Глава Л'у 6' Н(1 — 13 сов д) Сопоставив следующее отсюда выражение пе =— с углоу(1 — Д соа гг) г вым распределением у-квантов распада, найденным в ответе к задаче 635„ получим распределение вероятностей для энергий фотонов распада: 2~/~~ ' 8г сг т„= 139,58 Мэв. 641 щг гпг + гпг 2 [ — ррг созда], с = 1. г бг г щг+ щг+ 2гпьльг 4à — ег Р т\Р , с = 1. т1 + щг~(~ — ег 643. Т= ' Т= ' с=1" 1= 2 ~ г= а) Т у Т, = 58,5; 6) Т„)Т„= 7,27; в)Т(Т где т — масса исходного ядра, Ы вЂ” энергия его возбуждения, причем тсг Ъ ЬЮ. Из общих формул дла Ты Тг, а также из рассмотренных примеров видно, что ббльшая часть энергии приходится на долю более легкой частицы. ще 6 . = 8 1( — — минимальное значение энергии у-кванта распада у'1+6 (при д = я) 6вщ = 8'~( — — максимальное значение энергии у-кванта )~+8 — ~1-б распада (прн д = О).
Отсюда видно, что спектр у-квантов распада имеет в лабораторной системе отсчета прямоугольную форму, т.е. любые значения энергии в промежутке от 8 и до 8 равновероятны. 503 $ 1. Энергия и импульс Т 1+ Ть+2пьь 2Т, Яп+ = 109,6Мэв; Мпь = 1188,7Мэв (Е+ — н+ к+); Яп+ = 116,1Мэв; Мпь = 1189,3Мэв (Е+ — и+к ). Оба обозначения Мпь находятся в хорошем согласии друг с другом.
Энергия йьг, уносимая квантом, меньше, чем Ь6, на величину энергии (гзе~)з/(2тпсз), уносимой ядром отдачи. В условиях жестюй связи ядра с кристалличесюй решепюй последняя не получает энергии (так как ее масса М ~ гп очень велика) и квант уносит всю энергию, Ььг = Ье. 646.
а) Закон сохранения энергии ограничивает равносторонний треугольник АВС (рис. 105а), высота ВО которого равна энергии распада Я = = пь — пьь — пьз — пьз (с = 1). Расстояние от точки П до основаниа АС равно Тг по построению, расстояния от В до АВ и ВС легю вычисляются и оказываютса равными Тз и Тз соответственно. А 0 С к а) Рис. 105 6) Величины импульсов при заданных массах всех частиц определяются заданием двух энергий, например Тг и Тг (так как Тз = Я вЂ” Тг — Тз), или их двумя линейными юмбинациями х и у. Импульсы частиц, образовавшихся при распаде, авляютса сторонами треугольника (рг + рг + рз = 0 Глава 27 в системе покоя распадающейся часпщы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
