В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 77
Текст из файла (страница 77)
512 Глава Лу Поскольку в системе ц. и. р = — рь„то величина в имеет смысл квадрата полной энергии в этой системе отсчета: (ба + бь) (бл + бв) 660. б = 1 (тг ь+ тг и) 2ть ь ев = — (ть+та — $); с=1. 1 2 2 2ть 0 (в та ™ь)(ть + тс е) + гть(2 ™а тс) . б70. соад ,лггьтьв,лг ьф;Бь в'+ в(22 — т' — ть' — т' — тл) + (т. '— ть)(т' .— тл) ,а~ —.,м;кс,л~„м, е Здесь с = 1, а величина Л определена в ответе к задаче 668. 0,5 — 0,5 Рис. 109 671. Величина в = (8' + й') имеет смысл квадрата полной энергии двух частиц в системе ц.и., поэтому она всегда положительна.
Минимальное значение в и = (т + М)2 соответствует случаю, когда к-мазов (масса т) и протон (масса М) покоатск в системе ц.и. Таким образом, (т+ + М)2 ( в ( 00. 513 $ 1. Энергия а импульс Косинус угла рассеяния д' в системе ц.и. связан с з и г формулой зг + з(21 — 2Мг — тг) + Мг(Мг — тг) сов д'— (1) (з Мг) зг 2з(Мг +,г) + (Мг г)г Поскольку — 1 < сов д' < 1, то, подставляя в зто двойное неравенство сов д' ю (1), найдем допустимые при заданном з значения т. Физическая область запприхована на рис. 108.
Порогу реакции отвечает точка А, причем зл — — (М + т), $л — —— М+т г,з 2М' " 2М(М+ т) 672. Искомые области юображены на рис. 109. б73. Разрешенные области дла первых двух процессов изображены на рис. 110а, для третьего — на рис. 110б. а) Рис. 110 Можно построить одну кинематическую диаграмму для всех трех процессов, рассматривая их как три возможных канала одной реакции, в юто- 514 Глава.а.1 рой участвуют два нуклона и два мезона. Начальные и конечные состояния мезонов и нуклонов в зоассматриваемых каналах различаются энергиями, импульсами и зарядами . Для построения диаграммы (рис. 111) проведем три прямые, на изторых соответственно з = О, Ф = О и и = О, таким образом, чтобы они, пересекаясь, образовывали равносторонний треугольник с высотой Ь = з + + к+ и = то~~ + тпа з+ т~ + па~а (с = 1).
Значениям з = зо = сопзФ будет соответствовать прямая, параллельная оси а = О и отстоящая от нее на расстояние 1зо~. Эта прямая должна проводиться с той же стороны, с которой находится треутольник, если зс > О, и со стороны, противоположной треугольнику, при ао < О. Аналогично строятся линни Ф = сопят и и = сопят. Рис.
111 В результате на плоскости построена косоугольная система координат и любой точке плоскости сопоставлены три числа а, $ и и, положительные или отрицательные. Сумма этих трех величин удовлетворяет нужному условию (Х1.14). Чтобы в этом убедиться, возьмем произвольную точку П и опустим из нее перпеидикуляры на стороны АВ, ВС и АС или их про- А также еиае некоторыми карактериетиками, изучаемыми в кваитовоа теории. 515 я 1. Энергия и импульс должения. Поскольку площадь АВС = площади АВР— (площадь ВСР+ + плошадь АСР), то 1'1К )з гп~ + шь + гп~ + гпа' Но — Р111 = а, — ХИс = Ф, РМ = и, откуда и следует (Х1.14). Рис. 112 Для нашей цели удобно несколько изменить определения а, Ф и и по сравнению с (Х1.13). Пусть а =(ры+рм), 1= (рв;+рм), и = (рви+рад, (2) 3 3 3 где для часпщ, исчезающих в результате реакции, р; = ( — е, — р), а для частиц, рождающихся в реакции, р; = (8, р).
Это правило знаков соответствует тому, что 1 ры = О, как и в случае распада. Припишем индексы а О и Ь мезонам, а с и И вЂ” иуклонами. Тогда для канала в) р; = ( — е„— р ), 516 Глава Лу Ры = ( иь~ Рь)ю Рвь = (6в)рв)~ рвь = (нюра)1 в = фа + иь) = (ав + + 8в) > 4Мг; допустимые значения 1 получаются из условия ~ сов 0'~ < 1. Граница физической области дается уравнением (Мг тг)г в = — 1 — + 2(Мг+ тлг) > 4М 1 и представляет собой гиперболу с асимптотами 1 = О и и = О (рис. 112). В случае канала а) полагаем рвь = ( — ев, — р„), р„= ( — е„— р,), рм = = (8ь~ Рь), раь = (Юв, рл). Физическая обласп ограничена прямой в = О и гиперболой (Мг — тг)г +2(Мг+тг) > (М+ )г которая является второй ветвью гиперболы (3).
Аналогично строится физическая область для канала б). Как видно из изложенного, полученная диаграмма очень похожа на диаграмму Далица для трехчастичного распада (см. задачу 646) Сходспю обусловлено тем, что в обоих случаях в процессе участвуют 4 часпщы, 4-импульсы которых а силу заюна сохранения связаны условием ры + рм + рм + рвх = О. Из 4-нмп~льсов частиц с учетом того, что при заданных массах всех частиц тг = рая и т.д., как нетрудно убедиться, можно составить только 2 независимых инварианта, например в = (ры + + ры)г.
Поэтому для изображения таких процессов требуется двумерное пространство (кинематическая плоскость). 675. Если частица, двигавшаяся с 4-импульсом рс,, испустила в среде фотон с 4-импульсом йь = ( —,1 — ), то законы сохранения энергии аьлг дм и импульса могут быть выражены 4-мерным равенспюм рсь =рь+йп где р; — 4-импульс часпщы после излучения фотона. Перенесем йь налево и возведем обе части получившегося равенства в квадрат.
После элементарных преобразований получим созд = — [1+ ~ (пг — 1)~(1 — )У~, п1г пЛ где Л = — — комптонова длина волны частицы Л = — — длина волны Ь 2вс тс мп фотона, 13 = -". Второй член, равный по порядку величины —, обычно очень с' Л' 517 4 1. Энергия и импульс мал. Если опуспггь этот член, выражающий квантовые поправки (Л пропорциональна д), то выражение (1) сведется к классическому усаовию излучения Вавилова-Черенкова: совд = —. 1 ~ц3' 677.
Обозначив через рш и р; 4-импульсы частицы до и после излучения, через Ц вЂ” «4-импузьс» фотона, напишем закон сохранения энергии и импульса в виде Роз — йз = Рз. Возводя обе части этого равенства в квадрат и отбрасывая член с ~ь, попучим (гп гло)с 2Р ' )г+ с = О, 2 2 2дой где пзо — масса возбужденной часпшы, гп — масса частицы в нормальном Представим разность сз(тс ~— гп~) в виде сз(тле — гп)(пзе + пз) 2лсосгп. Тогда и( )3 д 1 ыо /~ 32 где )3 с' При ыс — ~ О равенство (1) переходит в условие п(ы)13совд = 1 возникновения излучения Вавилова-Черенкова Это излучение не связано, таким образом, с изменением внутреннего соспжния часпшы.
При ыс ф О перепишем (1) в виде ыо „г~~ — Рз ы— (2) 1 — а(ы)13 соа д Формулой (2) описывается эффект Допплера в преломляющей среде (ср. с задачей 516). Она применима, если п(ы),9соад ( 1 и отличаетса от соответствующей формулы, описывающей эффект Допплера в вакууме, только наличием п(ы) в знаменателе. При )3 ч. 1 никаких качественно новых явлений не возникает, но при )3 ш 1 и при наличии дисперсии в среде явление усложняется. В общем случае формула (2) представляет собой нелинейное уравнение относительно ы (а — функция ю!) и может иметь более чем одно решение.
При этом вместо одной смещенной линии, как в обычном эффекте Допплера, в лабораторной системе будет наблюдаться несколько линий (сложный эффект Допплера). 518 Глава Л7 678. Поступая так же, как при решении задачи 677, получим следующие результаты. Излучение частоты ы, сопровождаемое возбуждением частицы, может возникнуть, если скорость е = Дс движения часпщы превосходит пороговое значение с (д — угол между направлением сюрости часпщы п(ы) сов д и направлением импульса фотона). Необходимая для этого энергия заимствуется из кинетической энергии частицы.
Излучение такого типа наблюдается при фиксированном значении ы только в некотором интервале острых углов д внутри черепковского конуса, поверхность которого определяется уравнением п)ассад = 1. Наблюдаемая частота ы связана с углом д и величинами )г, п(ы) формулой ыо /à — р"~ ы = [п(га)дсозд > Ц, п(ы))г' сов д — 1 представляющей собой, как и в случае задачи 582, уравнение относительно ы.
Это уравнение допускает, в общем случае, несколью решений (сложный сверхсветовой эффект Допплера). 679. Обозначим через дг угол между начальным импульсом электрона ро и направлением распространения магюго кванта, а через дг — угол между ро и направлением распространения жесткого кванта. Из закона сохранения 4-импульса (ср. задачу 675) в предположении Ьгаг « до, бме « до следует Ьо 1 с соад1 с + г ооп(ыг) па~1 евп(ыг) с Отсюда видно, что жесткий черенковский квант йог распространяется внутри черенковского конуса, отвечающего мяпюму черенковскому кванту с частотой шн Угол раствора этого конуса при принятой точности определяется условием соя д1 = с(поп(гвг).
Для возникновения жеспаго излучения Вавилова — Черенкова необходимо выполнение неравенства оо > с/п(гаг), как н в случае обычного черенювсюго излучения. Это возможно только прн п(газ) > 1. Следовательно, один из квантов должен быть достаточно мягким. Решая (1) относительно 8мг, получим п(ыг) ~~ — 1 йг)г = бы свй а 2. Двилсение заряженных частиц в электромагнитном лоле 519 2йдсд [о(ыд ) сов дд — 1] (диез/80) + 2(дчддед/80)[а(идд)совдд — 1] + дзз Максимальное значение лида достигается при дд = дз = О. Частные случаи: при Ко « (гпсз)~//зед (йидз)тт 2йидд ~ — ) [п(ыд) — Ц, 80 з д яй вдп — =— 2 ар' з з,з где — = — ' + — ' + — ', и» вЂ” целые числа. аз аз аз ад аз аз 683.
При /ис « 80 (дс)з/260 (одсз/80) з + дз — 2(цс/Юо) Энергия Ьид тормозного кванта принимает дискретные значения при фик- сированных значениях угла д, так как передаваемый импульс Ч = 2яйя дискретен. 92. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле идеи <Ы Р, з(1 з/ з)здз д11 при ч[]Р; ид Йч+ (1 — зз/с ) Гз ддг а) — = Р (1 из/,я)з~ 11 6) т д1и Р (1 з/ з)дзз д11 при ч1Р; прн ео» (гпсл) /нидд (ддидз)знх ~ 60. Из последнего выражения видно, что жесткий черенковский квант может уносить большудо часть первоначальной энергии ультрарелятивистского электрона.
681. Угол рассеяния принимает дискретные значения, определяемые уравнением 520 в) гп « =Р. «й Величины ~ и ™ иногда называют продольной (1 а~ з)з/з (1 „з~ з)ьуз и поперечной массами соответственно. 685. Р = -Р'+ 1 — -Л, Р' = уР— (у — 1) где у= 1 2м(1 — 13~) 688. ф(а) =— 1п г, где )э' = — ", г — расстояние от точки наблюдения до провода. 689 Р 2ем Решить задачу можно разными способами: а) непосредственно вычислить электромагнитную силу, действующую на движущийся точечный заряд со стороны линейного заряда и тока (учесть лоренцово сокращение!); б) определить силу в той системе отсчета, в которой магнитное поле отсутствует и воспользоваться формулами преобразования 4-силы; в) воспользоваться конвекционным потенциалом яЭ, полученным в задаче 668, 690.
Г = е ~1 — — ~ —, где г — расстояние электрона от оси пучка, ел 1 2.Ф; з! сг' У„= ~" ~ р(г)г пг — ток через круг радиуса г, ~/1 — оэ с о = (1+ — ) ~1+ — ) у — — скорость электронов (см. глс 2тле~ задачу 591). На поверхностный электрон действует сила оз1 2.Ф Р = е(1 — — ~ — где а — радиус пучка. я) оа' $ 2. Двикенние зараченных частик в электромагнитном иоле 521 691. Ускорение наружного электрона нормально к оси пучка и к скорости электрона, поэтому в лабораторной системе отсчета имеем (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
