В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 81
Текст из файла (страница 81)
735. Направим ось х вдоль амплитуды момента осциллятора, опережающего по фазе, а в качестве плоскости хд выберем плоскость, в которой лежат моменты обоих осцилляторов. Обозначив через д, а полярные углы орта и, указывающего направление распространенна волны, получим: Глава Л74 Рассмотрим некоторые частные случаи. При д = 90' поляризация линейная; плоскость поляризации перпендикулярна плоскости яу. При д = О, я поляризация эллиптическая, причем отношение полуосей эллипса равно тй —; в частности, при 1о = й и 27 = О, я поляризация круговая. Лепв 2' 2 исследуются также случаи 42 = — — ~ — — + я.
Во всех этих случаях поля- У 22 я У 2' 2 2' 2 рнзация, вообще говоря, эллиптическая. При 42 = —, — + з в направлениях, 2' 2 определаемых условием Сй — = ) соад(, 'Р поляризация получается круговой. а) Ркс. 121 При 42 = ~— ~ '— " направления с круговой поляризации определяются 2 2 уравнением ссй — = ( сов д1. У 2 2 2 4 2З З 22 З 7З7 ю е а м 11+соз227)е + е а ы з)пззоа, ]Ц 2е а ы е,.
8ясвгз 4ясз з ' З з Последний результат можно получить либо учитывая, что теряемый излучающей системой в единицу времени момент импульса — = — — р х р 4К <11 эз (см. задачу 730) равен вращательному моменту Х, приложенному к экрану, либо непосредственно по формуле Х Х = — гх угад. тьа $ 1. Вектор Герца и раглоокение ло льультилаллм 738. Н = ц (ЕО СОВд+ лса)сь(вк — нь'Ьа) сгг Е = в1а12( — е совд+(ег)ев(ае '+"1, где ш 4л азМ 3 2 4 2 4П ш ю вш 1о 2гаг~ ~4 вш 739. — = — вшг д совг д, сИ 9 ыяпоа (И 800к св у 3 о'С'1Ц~оа' 000 св 740' Е з" Н 0 741.
Разлагая вектор Герца Е(г, 4) иа моиохромвтические компоненты и используа разложение (П 3.20), получим: Е„(г,1) = — „ р(1') (1) где ~ ~ с' Ед(г'т) г 44(т ) + 2 44(т )' д Е„,(г,Ф) = + с [/ ш(ь')й'~ х и. (3) Эти формулы справедливы при г » а, где а — размер системы. Произвольиая постояииая, возиикакицая при вычислении интеграла, входящего в (3), ие сказывается иа величине напряженностей поля. 742. Поле магнитного диполя: и х ш(Ф') и х ш(Ф') Е (г1)= — -А = + с сгг Сгг Зи(ш и) — ш Зи(пт и) — ш и х (и х ш) Нт г,ь = гоь~т + + г сг сг Поле электрического диполя получится из пола магнитного диполя путем замеиы тп — ь р, Нт -ь Ее, Ет — ь — Ее. Глава Л71 743.
— = — 4(рз(1 — ьйпздсоз242)+т~зш~д+шрзшдзш42); 4а 4 4ясл 4 1 = — в(рз + тз). Здесь использована система координат, ось х которой направлена вдоль р, а ось я — вдоль т. Дипольные моменты в обоих случаях имеют значения Р— ро совьют, ш = шо вша~ос~ где ро = В4(, шо = яЯ~еомо/с„до — максимальный заряд одной нз обкладок конденсатора, определяемый условием возбуждения системы, Ы вЂ” ширина зазора,  — радиус проволочного кольца в случае а) или цилиндрической оболочки в случае 6). Усреднив интенсивности излучения по периоду колебания, получим — = — (Р~о(1 — зшз д созз ш) + шз 21пз д), 1 = — з (Ро + ш~о) 744.
Днпольные моменты системы равны нулю, электрический квадрупольный момент имеет одну отличную от нуля компоненту Ялл (если направить ось з вдоль Рю) Вследствие этого вектор Я будет параллелен оси з и равен Я(г') = = Яо соз д соз ~А'е, при соответствующем выборе начала отсчета времени, здесь Яо = 2роа. Удобно проводить вычисления в комплексной форме, воспользовавшись выражением (2) из решения задачи 741 и спроектировав 2 на оси сферической системы заордвиат.
Отделив вещественную часть, получим в результате: Яозш2д г(вз Зй~ 4 1г гз1 [( Зк~ ~ — — — ) з1п(шт — Ь ) — — соз(ыз — )гг)~, г2 Яо(3 соя д — 1) / 3 )42 т 2 [( ) Зк ~~ — — — ~~ соз(ыФ вЂ” йг) — — зш(шз — Ь )), 1 .4 .2 1 „з [( — — — ) соз(аМ вЂ” Ь ) + ~ — — — ) з4п(ыс — Ь )~, 2 В 2 В зшздсоззд 1= 32ясз 60сз где Яо = 2роа.
З 1. Вектор Герца и розлоокение ло мультинолеи 745. Выберем координатную систему, как показано на рис. 122. Распределение тока в антенне выражается формулой А л =.Ковшей(б+ 2)~е где й = — = —. ш иъя с Электрический дипольиый момент единицы длины антенны Р= — '.Ф, согласно (ХП.9). Элемент Иб антенны можно рассматривахь как электрический дипольный осциллятор с моментом ор = Р~К. Поскольку выполняется неравенспю Щ «Л, то создаваемое элементом ~К в точке А мапппное поле можно вычислить по формулам (ХП.17) и 1ХП20): ИНо1гоД = — — еаз1пдР~1 — б) дб, с-'г Рис.
122 где г = го — (созд. Так как мы интересуемся только полем в волновой зоне, то величину з'а которая мало меняется в области г» 1, можно вывести из-под знака инте- грала. Таким образом рз Соз (™Г соз д) при тп нечетном, 2кс зшз д ыпз (+'" соя д) при гл четном. 2кс зшз д Н„=нр =б, з Н иоз1пд р ебьга-аь) ььеаае . ~б 1 1 ле 1 3 Выполнив интегрирование, найдем угловое распределение по форму- ле — = — л1 зг: 41 с з, 4П 4. аз Глава И! Характер углового распределения виден из поларных диаграмм, приведенных на рис. 123.
Штриховой линией показано распределение тока по длине ыпениы, сплошной — угловое распределение излучения. Рис. 123 Х = ~0 [1п(2 ) + С вЂ” С1(2 )[, 2с В = 2 — = - [1п(2ят) + С вЂ” Сю(2ягп)[. роз с ав о — аз яш даш ~ — (1 — соад)] з1Ы [2 гИ 2яс (1 — соя д)з у Ро [С 4Я1 С.~4Я1) где Л = ~ — длина излучаемой волны, д полярный угол, отсчитываемый й от координатной оси ('. Лепго убедиться, что бегущая волна излучает интенсивнее, чем стоячая волна с теми же значениями 1, Л, .Фа. 748. Если расстояние г точки наблнщения А(то, д, гг) (рис.
124) от петли велико (г» а), то можно считать, что радиусы-векторы г от всех зле- $ 1. Вектор Герца и разюлеение но мультиковам ментов кольца ей параллельны, причем г = то — а соа р = го — а а1п д сов(а'— — ее) (см. задачу 1). Элемент вй обладает электрическим дипольным моментом Ир = РЙ = — '.Ф Й, где через Р обозначен электрический дипольный момент единицы длины провода, и создает в точке А магнитное поле (см. (ХП.20): „,тор(1') х и ЫН(го,с) = —— от г -иоп . ~0 — йве+вйев — хайв!волов!о' — о! сз го х а!и па'[соа(а' — а)ее+ + соадяп(а — ев)е ] Иа'. В знаменателе последнего выражения пренебрегаем величиной порядка а по сравнению с гс.
Этого нельзя делать в показателе степе- з ни, так как величина аи, вообще говоря, не мала и существенно влияет на фазу. Задача нахождения поля сводится к интегрированию: Рис. ! 24 Н ело 0 в(йеа-иб соз(его т) аш гиэге-вйа ив о ввв(о'-а) Д<эк .Ф сз го Выражение для Н отличается от выражения Нв заменой в предэкспоненциальном множителе соа(а' — а) на вш(а' — а). Вводя переменную интегрирования ]3 = а' — а, получим: Но = — ~~ ° — сей! ' 0 совпез / соа]3а1пп3е ' ' о 'Рс(3+ Йоа .~о сз гс +ашпее соа!3созп~3е ' "' РЙ!3 Первый из интегралов, стоящих в скобке, обращается в нуль вследствие нечетности подьппегральной функции, вгорой может быль преобразован к промежутку О, я (четная подыитегральная функция) и выражен через 550 Глава Л71 производную от функции Бесселя (см.
приложение 3). Таким образом, Нв(го,е) = — Е = 2таа ~ое ( 4 2) аюпов'„(йавшд). Путем аналогичных вычислений с использованием формуЛм,ух 2(Х)+.Ухл.з(Х) = ~~у„(Х), ПОЛУЧИМ 2а 2киап.а»ое »(ьо- 4-в-",) 2,7„(йа 81п д) Па(го 1) =Ее = сов па с"го йатйд вд яп ~ясов 2У 2д1 — = — (1 вш д сов а) где д, а — полярные углы, характеризующие направление излучения (см. полярные диаграммы на рис. 125). Опережающий осцнллятор расположен ВЫШЕ ПО ОСИ 2. Рис. 125 750.
Так как3 = РУ = Р—, то (1х,5у,5х) — + ( — 5х,— 5у,5,), пРи зтом <Й »14 ' отРаженные токи вычислаютса в отРаженных точках: 3х(г) = — 5х»(г») и т д. Аналогично, используя обычные определения и формулы (ХП.1), (ХП.2), записанные в декартовых координатах, получим: (р,ру,р )— + ( рх» ру»рх)» Ях»Щ»Ял)» ( Ях» Яу» 9х)» (Шх»юу»юх) + (шх»шу» шх)» (Ех»~у»~х) + ( ~х» Пу»~х)» (Нх»Ну»нх) + (н.,н„,-н,) . 551 $ 1. Вектор Герца и разложение но л1ультиналаи 752. игзроа Н = — сов2дсозасов1Л', 2сгт ювроа — Не = — совдвшасовоге', 2свг 2 2 З вЂ” (сов22дсовга+совгдз1п а). ьй) 32ясв 753 б)Не=О Но=— 8!п д д1х 1 дг(ти) 1' дтдд Н =йф, дг(г.и) 1' в!и д дт да Е„= )е ит+ дг(ти) Ро е'"" "1 ("6) и — . е г)ер ~(21.1 1) 1 х 6 Я 6 И[т51(дт)] х ° Ь11 0()ее) Р1 (сов д).
И]т6~1' (Йт)] „ Йт Пола Е и Н выражаются отсюда по формулам, полученным в задаче 753. Для нахождения углового распределения излучения нужно воспользоватьса асимптотическим выражением сферических функций Ханаева 751. Граничные условия Н„= 0 и Е = 0 на поверхности (л = = 0) проводника выполняются — это прямо следует ю результатов задачи 750. В частном случае электричесюго дипольного осциллатора электромагнитное поле в полупространстве 2 > 0 совпадает с полем электричесюго двпольного осциллятора с моментом р = 2в,,г"(М) зш 1оо. Оно обращается в нуль при ого = 0 (диполь параллелен плосюсти) и максимально при ц1о = 2 (диполь перпендикулярен плоскости). Полная энергия„ излучаемая в последнем случае в полупространство л > О, вчетверо превышает энергию излучения таюго же осциллятора, находящегося вдали от проводящей плоскости.
552 Глава И! (см. П 3.19). При этом получится: Е =На=О, Н =й — =Р(д) — =Ев, ди е'~" дд г где Г (ьь) ~("' (~)) — ь,"1(ьь) "(""(~)) Роля ~~- 21+1Л йг ' а =0 и[гь(и(ь)1 Йт 6Р~(соа д) Ид Ы с ~Н ~г„г с ~Р(д)~г й 2. Электромагнитное поле точечного заряда, движущегося произвольным образом 756. Потенциал 1г поля частицы выражается интегралом: г Р(гл т с) г о'(гл — го(т — с)1 ~о(г,е) = / гВ" = е/ <Л', (1) где Н = ~г — г'~. Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой ) Г(Кг)6(Пч)(дК~) = Г(0) (см.
приложение 1). Перейдем в интеграле (1) я новой переменной Кг = г' — го (1 — — ) . Яяобиан преобразования В новых переменных интеграл (1) принимает вид: Г Ь(КгйдЖг) е гг(г,$) = е ~ ч ° К Н ч ° К С вЂ” н,=о З 2. Элентромагннтное поле деигнэчаегося точечного заряда 553 Условие Кз = О означает, что в правой части этой формулы все величины относятся к точке г' = го (1 — ф), в которой заряд находился в ретарднрованный момент времени г' = Ф вЂ” ф. Вычисления в случае векторного потенциала выполняются аналогичным образом.
"("'-В чЬО=) гг=г. „, нз"„/л" Нг,лгг'= н=о оо ( цн р1дн — 1 с"ей Ю" н=о ( — 1)" д" (ч(4)Я," ') где Во = )г — го(з)!' А(г,й) = е ~ ~, „, Все величины в правых частях этих равенств берутся в тот же момент времени, что и в левых. Запаздывающее взаимодействие формально сводится к мгновенному. Полученными разложениями можно пользоваться при достаточно медленном (о ~ с) и плавном (ограннчены ускорение и его производные всех порядков) движении для не слишком больших Я.
760. При малых о/с формулы (ХП.25) прннимиот вид: ег + бег(г ' ) гз сг4 ег х (г х чг) сг 2+ 2З с г 4 =4-л ч ечхг еФхг Н вЂ” — +— сг 3 с22 '"- " Ееа —— с Здесь г — расстояние от какой-либо точки области, в юторой происходит движение заряда, до точки наблюдения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
