В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 85
Текст из файла (страница 85)
а) госЕ,„= — ~Н, дп еЕ,„= 4яр, гоСН = ~~Е„+~~3, йтдН =О; б) йс х Ек = — — Вю йс ° 13к = 4ярк, йс х Нь = 1йь + ф)ю 1с ° Вк = О; 803. Решая уравнение движения осциллятора в магнитном поле Н ~~ з так, как зто делалось в задаче б95, получим при ыо » — = ыь, еН 2гпс г=Аг(е +сев)е Ц ' 'В+Аз(е — сеи)е Ц '+ 'В+Азе,е ™ где Аы Аз, Аз — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
Из выражения г видно, что осциллятор, помещенный в магнитное поле, становится анизотропным, частота его колебаний расщепляется на 3 часто- ты: ыо и ыо ~ юь. При наблкщении излучения в любом направлении по- ляризация каждой из монохроматнческих компонент оказывается, вообще говоря, зллиптической. В частности, вдоль осн з (вдоль поля Н) наблюда- ются две спектральные линии, поляризованные по кругу в противополож- ные стороны. В перпендикулярном к полю направлении наблюдаются все три монохроматические компоненты, поляризованные линейно.
При зтом вектор злектрического поля несмещенной спектральной линии колеблется в направлении магнитного поля, вектора же злектрического поля у обеих смещенных линий колеблются в перпендикулярном направлении. 578 Глава Л71 в)йхЕ> = с"Н1, ззс Е1 ( Н иня>, + 4к. з 4я с йтА — ™ Иу„=о; за 4ясрь б) е,ыДс+ Й'с'фк = виАк + ЙзсзА1, = 4ясщ, — (сй ° А1, + 47лД, = 0; в) (Йз Р'" ) = ~кивав, (Йз — Н )А = — ~3 )с'Асы с Ясам = 0 ыер 808. Воспользуемся формулой (ХП.40'). Выполняя интегрирование по углам, получим ук = l у(г)е щ'(Ыг) = е 1втЙтг1г. о Последний интеграл не имеет, вообще говоря, определенного значения, так как величина Ф 1и = вшйг|Ь' = 1 — соз ЙЖ Й при Ф вЂ” оо о не стремится ии к какому определенному пределу. Легко видеть, однако, что неопределенный член, содержащий сов ЙЖ, не дает вклада в потенциал 1а(г) при подстановке 1м в разложение (ХП.40) и переходе к пределу Ж вЂ” оо.
Это вытекаег из того что ( сов ещ.л((йс) , (1 прн У > оо вслед стане быстрых осцилляций. Таким образом, эффективно можно положить е 8 Й Заметим, что значение 1 = йш 11в = — можно получить, например, 1 Й если определить 1 как предел 1' е ~ аш Йг Иг при Ь вЂ” + О. о $ 4. Разложение электромагнитного поля на пкоские ванны 579 Можно получить тот же результат и другим способом. Применяя к обеим частям равенства гр(г) = ) гркеш'(гйс) оператор Лапласа Ь, получим (нл ) нс2 С другой стороны, выражение компоненты Фурье (Ьгр)к = — е мож2н~ но получить, взяв юмпоненту Фурье от обеих частей уравнения Пуассона Ьгр = — 4ясб(г).
Приравнивая зти два выражения для (Ьгр)к, получим для грь прежний результат. 809. Ек = — йсук = — ге гек 2я~гг~ 810. Так как объемная плотность р(г, 2) = еб(г — ч2), то рг = Ю(г — чЬ)е айок нй(й;) гй = (юг)в l./ +ОЭ / очи — и к) ~ф Отснгда с помощью результатов предыдущей задачи находим 6(1с ° ч — ш) ФЬМ = — 2' 2яз йз ~Р с Таким же образом можно получить, что сч о(1с.
ч — ы) А~ 2язс йг иР сэ Используя выражения юмпонент напряженностей поля (см. решение задачи 805), получим: Е =~ — ° ( — 1с — ), . е б(й ч-ы) ч„ 2тя с2 с б(1с - ч — ш) Нь =21гх А~ =1 — (1гхч) 2язс йз — ы с 580 Глава Л77 Во всех компонентах поля присутствует множитель б(1с ч — ю), обязанный дисперсионному уравнению ю = 1с ° ч.
Благодаря этому, все разложения Фурье электромагнитного поля в данном случае фактически являются не четырех, а трехмерными. Например, в случае потенциала <р: ЕЦЗс в-мй)(Л)С) 1 ~ ОЧ (1)соа в(ЯС) б(ы — 1г ъ) 2лз О)- з 812. Рассмотрим вычисление скалярного потенциала. Согласно уравнениям в) решения задачи 807 (к=и=1). Компонента Фурье плотности заряда: — 1]р 8таг)б(г — ч1)]е Ць' 0(й) й = (2л)4 .( 4 ]р 8гаде Цыв 0]б(г — иг)(пг) Ю = — 1 зб(ш — 1с т). (2л)4 (2л)з Дисперсионное уравнение ы = 1с ° т имеет тот же вид, что и в случае поля равномерно движущегося точечного заряда (см.
задачу 810). Поступая при вычислении <р(г, 1) в соответствии с указанием к задаче 811, получим: зв(г, г) — — р ' 8гш( —— где го = (я — о1, —, — р г' = "в' 7 т Р Аналогичные вычисления дают для векторного потенциала тохг' «(р го) А(г,$) = + ,~з .*3 (2) $ 4. Раэлоисение электромагнитного поля па плоские типы 581 чг ° А с 816. Разложим все векторы, входящие в уравнения Максвелла, на безвихревую и соленоидальнугог (или продольную и поперечную — см. задачу 815) части: Приравнивая поперечные части векторов, получим из уравнений Максвел- ла: гоЕЕл = — -Н госН = -Ел+ — 1л 1 ' 1 4в ° с ' с с (2) г(1уЕл =О, гйуН= О.
Продольная (безвихревая) часть электрического поля определяется уравне- ниями: г11пЕ1(г,1) = 4яр(гД, гоь Е1 (г, 1) = О, (3) имеющими вид уравнений злектростатики. Время в них входит как пара- метр. Отсюда следует, что Е1 — кулоиово поле. 817. Согласно результатам задачи 8076, Фьл+пгьчьл = О, 2 где юь = Йс. Это уравнение линейного гармонического осциллятора. Его общее решение имеет вид: йьлй) =пиле™м+Ььле ' Коэффициенты аьл и Ььл связаны между собой соотношением, вытекающим из вещественности [А(г,1) = А'(г,1)): еьлаьл = ее ллЬ* ьлг оьлЬьл = о'-ьло'-ьл 'раэдомение эдеатромагнитного поги нв продольнуго и попсрсчнуго части используется в одном иэ вариантов квантовой электродинамики.
При агом рипакении поперечная часть поля кваитустся — ей соогветствуип чвстины (фотный продольная часть поля не квантуетея. 818. а) А нпо х " 7г нпо эг г э Е = Ей + Ел г Н = Нл, Нй =О. (1) 584 Глаеа Л71 Из последней формулы видно, *по энергия свободного электромагнитного поля представляется в виде суммы энергий осцилляторов поля, имеющих в точности такой же внд, как в случае механической колебательной системы: и -/~г,.(а~, л где % л = 2%ьл+ "Мал). 1 'з Вычисление импульса поля С дает: с = 1 т; т,+а ~ = — ' 1 к, н(а.~.
л Импульс отдельного осциллятора Скл связан с его энергией формулой 1с% л Сьл = ссс (10) Такой же формулой выражается связь энергии с импульсом в случае частиц, движущихся со скоростью света в направлении 1с (фотоны)). $19. Записав уравнения, приведенные в решении задачи 807, и умножая их на еьл, получим для поперечной части потенциала Аь($): а,л(1) + ьЫыл(1) = ркл(с), (1) где к (1) ес (е*„„° ч(Ф))е ш о(с) (2) где пс — масса часпщы, à — действующая на частицу сила неэлектромаг- ннтного происхождения, Е(гс) = — — (екле лештв(е)с) ял/2,Г (4) — напряженность поли излучения в той точке, где находится частица. Мы не учитываем силу, действующую на частицу со стороны магнитного поля, так как предполагается, что е «с.
Уравнение (1) представляет собой уравнение вынужденных колебаний осциллятора под действием внешней силы Рьл($). Движение частицы н электромагнитного поля, взаимодействующих между собой, описывается системой уравнений (1), (3). а го(с) — радиус-вектор частицы в момент времени Ф, ч — ее скорость в этот же момент времени. В нерелативистском случае псго = г' + еЕ(го) (3) $ 4.
Разложение зеентромагнитного поля на пеоспие нонны 585 820. Изменение энергии одного осцилшпора: с(%л 1 2 (Ж лстсл + рвлснсл)' сст 2 Сюрость изменении энергии поля: — — (Р' лтл + рьлФ л)( йс) сст 2„~ 821. Сила гьл($) в данном случае принимает вид екл(1) = 6кл соасаоС где 6ьл = е (то окл), тс = снего к~/2 (для простоты рассматриваем линейно поляризованные осцилляторы поля, так что орты еьл — вещественны). Интегрируя уравнение (1) задачи 819, получаем чьл — з з(соасоос — созипсс)с 6ьл сок ыо если в начальный момент времени г = 0 осцилляторы поля не были возбуждены. Это значение 9ьл подставим в выРажение дла скоРости измененив энергии поля излучения "", найденное в задаче 820: сЛК,л ас с1Иг л 6ьл з (иск соз нсо1 вш алсз — исо соз тоз ып сооз).
пт окз — ыз Интегрируя последнее выражение по т от 0 до т, получим количество энер- гии, переданное частицей за время 1 осциллятору поля (1с, А): с / сЩ л 6ал (сок 1 — сов(ыь + соо)т / 2 2 ./ сй ыг асса ~ 2 иск+сне + о + 1 — соя(сок — сао)З ыо 1 — соя2саоз 2 ась — ыо 4 ыо 58б Глаеа Л71 При ык = шо и $ — > со второй член в скобках очень велик по сравнению с первым и третьим членами. Возбуждение осцилляторов происходит, следовательно, резонансным образом: в первую очередь возбуждаются те осциллаторы поля, частота которых близка к частоте вынуждающей силы Екх.
Оставим поэтому только резонансный член и просуммируем энергии, полученные осцилляторамн поля, у которых частоты не сильно отличаются от шо, направление 12 заключено внутри телесного угла ЫЙ, а орт полярюации еш (окз) имеет одно и то же направление: О+ 3 2 ,114г ч 14г ~~й ) ч "Мсх 1 — соа(шь — ыо)1 "11' = ~ 12'кл = — ( 2 Ы,л 2сз l ма+ма (ыь — ые)2 -а Подынтегральная функция в последнем выражении имеет резкий максимум при мь = шо. Этот максимум тем уже, чем больше $. При достаточно 2аьз больших Ф можно вынести плавно меняющнйса множитель 2 " " за ьч, +ые знак интеграла, положив в нем шь = мо.
В оставшемся интеграле можно устремить 6 к оо. Тогда он примет вид (см. приложение 1): йз = 7Гг, г — 00. / 1 — соа аФ а2 Мы получим, таким образом: <Лу "(окз + окз)"'оа дй сз Отсюда для интенсивности излучения в данном направлении находим хо- рошо известный результат: Ы 1П4 е2ыо2у28!П2 д пй г пй 4ясз где через ~~ = — е обозначена средняя скорость колеблющейся часпщы, через д — угол между направлением ча и направлением к. При выводе последней формулы мы воспользовались лепю получаемым соотношением (чо екз)2+(чо екз)2 = соя ашзд.
$ 4. Разложение элентронагнитного поля на пяосние вины 587 Интегрированием по углам находим полную интенсивность излучения — 2е шо" 1= 8 823*. Будем приближенно решать систему уравнений (1) и (3) задачи 819. Пренебрегая реакцией излучения, подспшим в уравнение (3) напряженность поля Е = Еа сового падающей волны. Его решение, соответствующее вынужденным колебаниям, имеет вид: ~(1) = с Е т ые — ш 2 2' Движение частицы под действием гщцающей волны будет возбуждать осцилляторы поля излучения согласно уравнению (1) задачи 819, в котором нужно силу р'кх выразить через г(Ф): езш екх Ее тяЛ ш — шо Орты поляризации выбраны вещественными.
Решая уравнения (1) зада- чи 819 с начальным условием щ,х(0) = О, получим: 9кх(г) — 2 2 2 2 (яшиг8 — вшганФ). ез ш(Ео ° екл) тяЛ (игй — ы )(ш — ше) Поступая далее так же, как в задаче 821, найдем интенсивность излучения в направлении 1г с поляризацией, характеризуемой ортом ек1. г(1~ х 1 НИг г с4 ше(Ее ° екх) (2) г(П Г гй1 8 „, 2 з („,2 йз)г Из (2) видно, что рассеянное излучение линейно поляризовано в плоскости, проходящей через Ее и 1с.
Вводя угол д между векторами Ее и к, получим: — — аш что находится в полном согласии с результатом задачи 799. Интегрированием по углам находим полное сечение рассеяния: 8я/ ез 'г ше Гллвл ~Ш ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ С ВЕЩЕСТВОМ 826. Разложив векторы поля в интеграл Фурье по координатам и времени: Е(К, с) = о (1с, м)еймн О(с()с) скс получим из уравнений Максвелла систему алгебраических уравнений относительно амплитуд Фурье: яп х й(1с,сс) = Ж(3с,м), мп х М'(1с,сс) = — е(м)е(1с,сс) — 1 б~ — п ° т — 1), 2ят,.з ~с ме(сс)п ° Ф(1с,ы) = — 1 ес б(фп ° и — 1), мп °,зе (1с, ы) = 0; здесь 1е (3с,ы) — амплитуда Фурье мапппного поля, 1с = асмп, м — параметр, выражающийся через м и 1с, п — единичный вектор. При выводе (1) нужно учесть, что амплитуда Фурье функции б(К вЂ” тс) равна — б(н т — ю) 1 8яа и что б(ах) = 1 б(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
