В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Из системы (1) определяются 8 и ле: (а) тес (~/~) б(м 1) 2п ш е( — е) (2) Излучение лри взаимодействии зарлзненнмз частиц с веществом 589 Для определения полей нужно произвести обратное преобразование Фурье. Начнем с вычисления Е,(К, з). Как следует нз (2): а („), 0'В Рею(ма В 1) ляг г ( г позтому — 00 с х ехр(ь~~ х(г зш В сов(Ф вЂ” у) — х сов д))(б()3х соя  — 1) аш В с(де(Ф.
(3) Здесь через г обозначена составляющая К в плоскости ху, ~р — угол между г и осью х, )3 = $, д и Ф вЂ” полярные упгы и. Интеграл по Ф выражается через функцию Бесселя зе(фхгашд) (см. П 3.11). Интеграл по д имеет вид: л д» Яд)бЦУхсовд — 1) ашдод = — Г цз(у)б(у — 1)с(у. (4) 13х г с — Д» Он отличен от нуля только в случае, если )3х > 1, позтому нижний предел изменения х равен 1/В. В формуле (3) зто учитывается автоматически, вследствие наличия д-функции, но после интегрирования по у 6-функция исчезнет, и нужно будет учесть нижний предел интегрированна в явном виде.
Интегрируя (4) по у, получим †' р(1) = †' У(В) д» Подставим (5) в (3) и введем вместо х переменную х = хг — —; Вг поскольку х меняется в пределах от 1ф до со, х будет менаться от О до оо. Тогда Е,(К, з) запишется в виде: Излучение нри взаимодействии зарлженнмл частим с веществам 591 Е,(К,1) = ~~(1 — — )Ко(вг)е (" )..., ясз Рзе где з ю м в = — — — в(т), Кев>0, 2 2 (2) а ʄ— модифицированные функции Бесселя.
В волновой зоне ~в ) >> 1, вследствие чего можно использовать асимптотическое выражение (П 3.8) для функций К„: с — лг к 2вг Из (2) следует, что при вещественном е(из) в будет вещественным, если — > е(из) или 13п(т) < 1 (п(ы) — показатель преломления для волн 1 бз с частотой из). При 13п(из) > 1 в будет чисто мнимым. Бели в — вещественная величина (в силу (2), при этом в > О), то в волновой зоне поле будет затухать экспоненциально, излучения не происходит.
При чисто мнимом в амплитуда полей в волновой зоне будет меюпъся как 1/зlг, что соответствует цилиндрическим волнам. Покажем, что зти волны будут расходящимися, т.е. в этом случае действительно будет происходить излучение. Запишем в в виде — — '-Л )=+ — Л' ':1 с уз с (4) н выясним, какой знак нужно выбрать перед корнем.
Для этого нужно принять во внимание, по рассматриваемый диэлектрик без потерь является предельным случаем слабо поглощающего диэлектрика с комплексным показателем преломления и = и' + зп". Чтобы мнимая часть показателя преломления пн действительно описывала поглощение энергии (т.е. чтобы амплитуда соответствующей волны затухала, а не возрастала), требуется Полученные формулы справедливы толыв в области г » а, где а— величина порядка мелапомных расстояний. В области з < а необходимо учитывать пространственную дисперсию диэлектрической проницаемости. 827. Как следует нз формул (6К8) предыдущей задачи, монохроматические компоненты полей Ем(К, 1) и Н„(К, С) имеют вид: 592 Глава Л7П выполнение условий па > 0 при м > О и па < 0 при щ < О.
Считая па весьма малым, можем записать Отскща следует, что условие Вез > 0 будет выполняться, если выбрать в (4) знак минус. Устремив после этого па к нулю, получим (б) Но такой знак как раз соответствует расходящимся волнам, так как экспоненциальный множитель в выражениях (1) примет вид ехр1(1с ° К вЂ” иИ) = ехр г[й(а соа а + т ага О) — иМ), (6) где й = жп, сова = 1, а1пй = 1 — 1, йсоад = й, = й1 и йгйпд = с ' ~уп* Зз з' = йз — компоненты волнового вектора. Таким образом, при выполнении условия Вп(ю) > 1 частица, движущаяся в диэлектрике с постоянной скоростью о = )зс, излучает электромагнитные волны с частотой м (излучение Вавилова-Черенкова). Условие 1)п > 1 означает, что скорость часпщы должна превосходить фазовую скорость волны с частотой щ в данной среде.
Как следует нз выражения для волнового вектора к, излучение направлено под углом а к скорости частицы, причем 1 Дп(ю) Эта характерная направленность излучения является следствием когеревтности волн, испускаемых часпщей в разных точках ее траектории (см. задачу 829). Фазовая скорость волн Вавилова-Черенкова — такая же, как у всех поперечных электромагнипплх волн. Поляризацию излучения легко определить из формул (1): вектор Н направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через траекторию частицы и волновой вектор 1с, а вектор Е лежит в указанной плоскости (и перпендикулярен 1с в волновой зоне). В перпендикулярности Зс и Е можно убедиться, вычислив скалярное произведение 1г Е . Излучение лри взашнодействии зарлзчсеннмл частиц с веществам 593 Полная знергия черенковского излучения ыв ч на единице пути равна интегралу по времени от потока вектора Пойнтинга через бесконечно удаленную цилиндрическую поверхность единичной длины, окружающую траекторию часпщы: ыв и — — 2яг с (Е х Н), й= — ~ Н„,Е,й.
(8) Используя формулу, приведенную на стр. 572, можно предсгавить (8) в вцле (9) о'в-ч = 2'"сгНе Н рЕ Дн1н)>1 где монохроматические компоненты Н „Е, должны быть взяты в волновой зоне, а интегрирование ведется по области частот, в которой выполняется условие излучения )зп(т) > 1. С помощью формул (1)-(3) находим окончательно: (10) дн1м)>1 в~то в~то ео 828. озв-ч = — ()зз — 1) + — (ео — 1)1п . При указанных 2о 2о~ ео — 1 в условии задачи значениях параметров ыв ч лв 5000 звзсм.
Излучение сконцентрировано в интервале углов ро(8< 2, )3 вссов'8о =1 829. Каждую точку траектории можно рассматривать как источник злементарного возбуждения, распространяющегося в виде сферической волны со скоростью е„= с (рис. 131). Фронт результирующей волны представляет собой огибающую элементарных сферических волн. Нормаль к фронту составляет с траекторией угол д, причем, как следует из рисунка, сов В = —.
1 8п 838. Поле равномерно движущейся заряженной часпщы представляет собой суперпозицию плоских волн с частотами ы = 1с ° ч, где ч— скорость часпщы, 1с — волновой вектор (см. задачу 810). В неограниченном 594 Глава 27л7 дизлевтрике возможны колебания с частотами ы = —, где п — показатель йс преломления среды (собственные колебания среды).
Из условия резонанса йс и — — 1с ° ч = йссовд слелует,что совр= Д. Так каксовд<1, то — > 1, а зто и есть условие существования излучения Вавилова — Черенкова. Ркс. 131 831. т= — Сбзд, 1=ыв чссзбзд„ где сов д = с„, ыв ч — энергия черенковского излучения на единице длины, вычисленная в задаче 827.
833. Прифи < 1(т.е. прис < с„) Это выражение получается таким же пугем, как в задаче 811. При фи > 1 метод, примененный в задаче 811, не может быть использован, так как подьппегральное выражение в зтом случае будет иметь з (1с'ч) полюс при йз = в1л С Введя в пространстве 1с цилиндрические координаты, запишем у в виде Г есв,(л-ы)л-салгсоеа е "е 2ялв й~~ — йл'())зиз — 1) Дла вычисления интеграла по й, воспользуемся теоремой о вычетах. Знаменатель имеет нули в точках й, = ~; чтобы выяснить правило йс обхода зтих полюсов, допустим, что и имеет малую мнимую часть иа > О при й, > О, иа < О прн й, < О (см.
аналогичный анализ в задаче 827; в данном случае знак ы совпадает со знаком й„так как ы = 1с ч). Позтому оба нуля будут смещены в нижнюю полуплоскость комплексной переменной й,. При в > сс нужно замкнуть конгур интегрирования дугой бесконечно большого радиуса в верхней полуплоссюсти (на втой дуге подынтегральная функция обращается в нуль). Так как знаменатель не имеет нулей 1ззеучение нри взаимодействии впряженных частиц с веществам 595 в верхней полуплосюсти, интеграл по (е, в этом случае будет равен нулю. При з ( ег замыкаем контур интегрирования в нижней полуплоскости.
Вклад в интеграл дают оба полюса, в результате интегрирования получим: / ееь 1е-чй 2я аз (з — Ог) Ч вЂ” ц(з'»*-1) й 7у:1 езче: Г Интеграл по а выражается через функцию Бесселя ус(йз г) (см. П 3.11). Последний интеграл по кз вычислим с помощью формулы (6.671, 7), приведенной в справочнике [90). Таким образом, при )3п > 1 имеем: 2е у(К,1) = е 0 в остальном пространстве (2) Векторный погенциал А получается умножением у на —. едч Формула (2) показывает, что при выполнении условия Вавилова — Черенкова Г1п > 1 поле является разрывным.
Оно существует только внутри конуса, поверхность югорого описывается уравнением * — ~-; чз* *-1-о. (3) Нормаль к поверхности конуса составляет с направлением движения частицы угол О = атосов~ — ~. Как следует из (3), коническая волна распростра- /1~ ~ 15п7' няется вдоль оси з со скоростью часпщы.
Рассмотренную структуру могут иметь не только электромагнитные волны, но и волны другой природы. Например, разрывные акустические волны указанного типа возбуждаются снарядоы, движущимся в воздухе со скоростью, большей скорости звука (ударная баллистическая волна). Тот же характер имеют волны, образованные на поверхности воды достаточно быстро движущимся судном. 834.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
