В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Излучение Вавилова-Черенкова происходит при условии,дп > 1, ° ( ) = чЯЖТЙ мчи- ~+~Р '-14) н )" т 2 2аз р 1з(из) йа шв-ч = з дн>1 59б Глава Л7П Тормозящая сила вычисляется по формуле 1' = -(3 х В), где В должно 1 ° быть взято в точке е = О, р = ст.
Сила приложена в направлении, обратном оси у, и по абсолютной величине равна потере энергии на единице пути: гт — — — шв ч. Этот результат прямо вытекает ю заюна сохранения энергии. 835. ыв ч — — — 1' (1 — — ~~1~сов — „уа Ы.Знакплюссоответс д„>г д~п~ ствует случаю а), минус — случаю б). Спектральная плотность излучения двух одинаювых зарядов отличается от спектральной плотности излучения одного заряда множителем 2 ~1+ соя — „~. Поэтому интенсивность гармоник м1 1 с частотами ш= — и (и=0,1,2,...) 2яе возрастает в 4 раза, а гармоники с частотами ы = — (2п+1) исчезнут.
При различных по знаку зарядах картина станет обратной. Для перехода к случаю точечного диполя, ориентированного по направлению движения, нужно разложить 1 — сов — „в ряд, считая аргумент юсинуса (А малым. Это даст да>1 где р — электрический момент диполя, юмеренный в лабораторной системе. 836. ыв-ч = з з,) (1 з з)[соз св+2аш св(8 и — 1)]и йа, с е д„>в где и = т(е, р — электрический дипольный момент в лабораторной системе отсчета.
837. ыв-ч = з з,) (1 з з /и ы ~йа. се д„>з Дп 838. Потери энергии на единицу пути выражаются интегралом по времени от потока энергии через цилиндрическую поверхность единичной длины и радиуса а, окружающую траекторию частицы. Для вычислениа ]тзвучение нри взаимодействии заратаеннмл частиц с веществам 597 потерь можно воспользоваться формулой (9), полученной при решении задачи 827, если в этой формуле взять значения полей при и = а и вести интегрирование по всем частотам от 0 до оо. Используя выражения компонент поля, найденные в задаче 826, и указанный в условии данной задачи конкретный вид функции в(ю), получим 2езиР ое 2е о 1~( х )52) * (*)К( ) (1) ттс ео — х о где х = й, в(О) = во = 1+ — и — статическое значение диэлектричесюй що проницаемости„ з о(1 'Ь вЂ” х з Ь с — вес (2) сзт92 У'1 лх' з „з Как следует нз формулы (1), в потери вносит вклад толью мнимая часть интеграла.
Функции Ко и Кт — вещественны при вещественном аргументе, поэтому интересующая нас мнимая часп интеграла будет определяться толью той областью изменения х, в которой в будет комплексным. Эта область, как видно из (2), зависит от знака и величины параметра Ь. Если Ь > 0 (это означает, что с ( с 1, то в будет чисто мнимым при ~/ео ог ' значениях х в интервале (ч'Ь, 1) и вещественным вне этого интервала. ЕслиЬ(0(зтомусоответствусто> с 1,товбудетмнимымприО(х(1 ,~~~l ' и вещественным при х > 1. Кроме указанных интервалов изменения х, вклад в мнимую часть интеграла будут давать отдельные точки, в которых знаменатель подынтегРального выРажениЯ во — х обРащаетса в нУль: х = ~т,твоа.
ПосколькУ интегрирование в (1) ведется по значениям х > О, нужно рассмотреть один полюс х = т(во о> 1. Если пренебречь потерями, то этот полюс окажется на вещественной оси. При учете потерь, как легко видеть из явного выражения в(из) (см. (Ч[.12), он переместитса в нижнюю полуплосюсть комплексной переменной оз)'. Чтобы получить правильное значение интеграла, нужно или ввести параметр затухания и после вычисления интеграла устремить этот параметр к нулю, или слегка деформировать путь интегрирования, произведя обход вокруг полюса по окружности бесюнечно малого ' Это нвиолитси в соответствии с общей теоремой о том, что е(м) нс имеет нулей в верхней полуплосвости [см.
[66], Ь 62). 598 Глава Л7// радиуса в верхней полуплосюстн. Используем второй способ. Обозначив интегрирование по указанной полуокруиности значком, получим /'' 1 — х2 в'аКг(в'а)КО(ва)хах = о — хз . 1 — ео ыоа ~еоо г~аоа~/ео от г м>а,/ео; Теперь вычислим интеграл по области, в юторой з чисто мнимо. Для этого заметим, что при чисто мнимом аргументе цилиндрические функции Ко и Кг связаны зависимостью з*аКг(з'а)КО(за) — заКг(ва)КО(в'а) = 4 —, 2' которая следует из свойств вронскиаиа системы решений уравнения Бесселя (см.
(68), 2 5.9). Поэтому 204 ( — Д~)з'аКг(в*а)КО(ва)хсЬ = ео — х' и<0 — — ( — Р~) х Нх (4) .Р ео — хз вв<0 Последний интеграл вычисляетса элементарными методами. Пределы интегрирования выбиракпся так, как указано выше. Подставляя (3) и (4) в (1), получим при о < ,/ЕО (ц' 2яе4я (20400~/еоо галеот/еоо~ /агао~/еоо~ 2 Ко( )Кг( ) — Р— 1(1 — Ф)~ (5) и при о > —: с ~/Ео 4(б 2яе4я (24као~/ео о/ аыо ь/ео о1 /аыо~/ее о) — — Ко(, )Кг( — + 1п 0 . (6) Излучение лри взаимодействии зарлзчсеннмл частиц с веществом 599 Та часть полных потерь, которая не исчезает при а — оо (члены, не содержащие а в (5) и (6)), представляет собой потери энергии на излучение поперечных волн (эффект Вавилова-Черенкова): 2 2 — ~ — ) = ыв ц — — — [ — ф — 1п(1 — )3 )) при е < —, (7а) Гаач е мр 2 Й в ч 2ез фО' при е > —.
с з/ео (76) Выражение (76) было получено в задаче 828. Члены с Ке, Кз в (5) и (6), зависящие от а, возникли в результате обхода полюса в точке ш ы й = 1Я+ озрз, в которой е обращается в нуль. Но при таких частотах возбуждаются продольные колебания (см. задачу 443), поэтому выражение езоззйа (8) описывает потери на возбуждение продольных колебаний (поляризационные потери). При — „а « 1 формула (8) принимает простой вид (см.
П 3.6): е2ы2 (9) При — т 1 величина — ~ — ) становится очень малой (она пропорциойа /ДЯ~ и 41 „., йл нальна е в ) . Это показывает, что влияние поляризации среды при малых скоростях мало. Изложенный в этой задаче макроскопический метод расчета потерь принадлежит Ферми (1940 г.). 839. е2ыза Если параметр — „« 1, что имеет место при достаточно больтро шой скорости часпщы, то можно использовать приближенные формулы Излучение нри взаимт)ейстеии зарлзненнмл частиц с веществом 601 Формулы (2) и (3) показывают, что плотность заряда и плотность тока, создаваемые движущейся часпщей, эквивалентны набору гармонических осцилляторов, распределенных в пространстве по закону .и — зе е 'й*6(х)6(р) приз>0, 2км — — 'е е'" 6(л)6(у) при з < О.
2кю (4) Наличие 6(х)6(р) в (4) означает, что фактически осцилляторы находятся только на линии движения заряда. Осцилляторы, находящиеся на отрезке еЬ, создадут в точке М волновой зоны магнитное поле (см. рис. 132): г еьл юге'"л е(Н м е (Р„х К)дз = ш е Р з)пде <Ь (б) Интегрируя (5) по з, получим полное поле: с . и оо м з( — л.Нсл) -е( — -ьл) — оо о В последнем выражении интегралы берутся от произведения убывающей и осциллирующей функций, поэтому основной вклад в них даст область вблизи г = О. Это объясняется тем, что излучение имеет место при переходе нз вакуума в металл. Вычислим интегралы приближенно, для чего положим в показателях экспонент Н = г — з сов д. Выражая в)п д через Н, получим а,„.
з-О-))соле)л -е-„О+Зооле)л с оо, м Н зтаез "з вшд е ~,Ь+ е ~Ь 2згся Нг Нг — оо о 2кс ('— "(1 — )3 сов д) "— '(1+ )3 сов д) 1 Второй член в этом выражении описывает поле излучения, возникающего при внезапной остановке заряда, а первый член — излучение, создаваемое Интегрированием по частям можно представить эти интегралы в виде рядов по степеням 1/Н; оставляя только члены, линейные по этому параметру, получим б02 Глава Л7П изображением. Интенсивность излучения с частотой ы в телесный угол гИ определяем по формуле Ы(м, д) = с)Е(м, д)(згз г(й = " ° Я'и .
(7) кз з (1 — )Уз созе д)з В нерелятивистском пределе (13 ~ 1) формула (7) дает дипольное излучей1(ы, б) = е " ~Ы д дй, (8) Х(ю) = ~ — 1п 4езоз г3 Р— 1 1+Р 3 1 Зксз 8 )Уз 1 — ф 4)Уз / (0) В ультрарелятивистском пределе, когда полная энергия частицы е много больше энергии покоя щсз, формула (9) дает 1(м) = — 1и —. 2ез 4~ яс то~ Интенсивность излучения растет логарифмически с ростом энергии. В нерелятивистском пределе выражение в скобках обращается в единицу: 4езоз =3" 841. Компонента Фурье вектора поляризации имеет вид (10) Р = — 'е е " б(х)6(у). ив Определим сначала поле в точке 4 от осцилляторов, находящихся в области з ) 0 (рис.
133). Достаточно рассмотреть осцилляторы, лежащие вблизи интенсивность которого пропорциональна квадрату скорости часпщы. Отметим, что интенсивность излучения не зависит от массы часпщы. Интегралы от (7) и (8) по ы, дающие угловое распределение полного излучения (со всеми частотами), будут расходящимися. Это обусловлено тем, что металл считался идеально проводящим. В действительности, уже в инфракрасной области спектра металл нельзя считать идеально проводящим, так что при высоких частотах результаты (7) и (8) неверны. Спектральное распределение полного нщучения получится интегрированием (7) по верхней полусфере: Излучение нри взаимодействии зарлзненнмл частиц с веществом 603 точки з = О, так как толью они создают поле излучения (см. предыдущую д-у).
При использовании теоремы взаимности выберем осцнллятор рв на осн з вблизи з = О (точка В), а осциллятор рл в точке А, поле в которой мы должны определить. Пусть оба они одинаковы по абсолютной величине Рвс. 133 оззее"и дН' = Р в1пддз. сзВ (2) и направлены вдоль з, а расстояние между ними велико по сравнению с длиной волны. Осциллятор рв создает в точке А поле, амплитуда Е+ которого составляет с осью з угол, приближенно равный и — д (см. рис.
133). Волны 2 нз А в В приходят двумя путями: непосредственно н после отражения от границы диэлектрика. Соответствующие амплитуды обозначены на рисунке через Е' и Е". Они составляют с Оя такие же углы и — д' и — д. 2 2 ПоэтомУ по теоРеме взаимности имеем Ее — — Е' + Ен или, Учитывал, что в волновой зоне осциллатора Н = и х Е, получаем Не — — — Н' — Нн (все три вектора Н+, Н', Нн перпендикулярны плосюсти АОя). Волна, приходящая нз А в В непосредственно, создает поле Глава Л7Н Амплитуду отраженной волны можно определить с помощью формул Френеля, так как расстояние АС велико и волна, испускаемая из точки А, может рассматриваться вблизи точки С как плоская.
С помощью формул (ЪШ.20), учитывая изменение фазы волны и то, что ду ы д, получим ьу2УеУВУГ ууНл =, Р,„авдея, сзНУ есовд — е — вш 0 ууу 2 в~. 7-т'в' То поле Н+, которое создается в точке А всеми осцилляторами, находящимися в области 2 ) О, получится интегрированием суммы — (ууНУ + у(НУУ) по 2 от О до со.
Интегрирование проводится точно так же, как в предыдущей задаче. результат имеет вид Н 67у ( 1 + У ) ашрам (4) 2ксз 11 + уу сов д 1 — Д совР.У г Эту формулу легко понять путем сравнения с аналогичной формулой (б) предыдущей задачи. Первый член описывает поле часпщы, движущейся в вакууме и внезапно останавливающейся в точке 2 = 0; второй — поле изображения ( — еу), движущегося в диэлектрике навстречу часпще и также останавливающегося в точке 2 = О. В отличие от случая идеального проводника, изображение слабее в г раз, его величина зависит от частоты ы рассматриваемой гармоники (через е(ю)) и от положения точки наблюдения (через угол 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
