В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Поле Н от диполей, лежащих при 2 < О, определяем таким же путем. Волна придет из А в В, преломившись на границе раздела. Используя снова формулы Френеля, получим ьуз ЙН = — (1+,Г)Р ешдечУуЬ. есзНл Здесь Нл = 1' + 1" — длина ломаной линии АСВ' (см. Рис. 133). Фаза 22 учитывает запаздывание: ьУ(У + ьУ Уа(УУ с с Изерчение нри взаимодействии зараженнмз частиц с веществом 605 у=-г — -е е — аш В. М г с с Проинтегрировав (5) от — оо до О, получим поле от диполей, лежащих в об- ласти з < 0: Полное поле в точке А равно сумме Н+ + Н .
Иизенсивноств излучения с частотой т в телесный угол Вй: Ы(ы,В) = е" Аг(ю,В)вш ВЫЙ, 4иг з 1-д ЕВ ~ В-З„г-м'8) '-Р Величина А зависит от частоты через е(и). В нерелатнвистском пределе,У « 1 получаем егог (е — 1) ыпг Всоаг В сП(оз, В) ( в~,а-мчг (8) При )з) « г (з < 0) имеем р = г+ гайдн ашВ, (н = — з „. Учитывая заюн преломления ашда = аш и заменяя д' на В, находим ~/Е ГЛАВА Х1У ФИЗИКА ПЛАЗМЫ $1.
Движение отдельных частиц в плазме 844. Й (з) ч'~ е1идйд ез 2п+1вз 2(п — 1) (1+ (, ц з л)зГз' В нерелятивистском случае имеем для средней кинетической энергии Т в конечном состоянии рз Т = —. 2пз' 2п+ 1 т= — Т, 3 с[ух х )з). ,р озс Здесь 1з — единичный вектор в направлении магнитного поля.
В уравнение входит Н(г) — значение поля в точке, где находится частица. Представим его в виде Н(г) =Н(К)+(г тУН), (2) где К вЂ” радиус-вектор ведущего центра, г — радиус-вектор часпщы, отсчитываемый от положениа ведущего центра. В первом приближении можно считать, что ведущий центр не испытывает поперечных смещений за время одного оборота часпщы. Подставив (2) в (1), получим уравнение движения вида (3) ен(п) где й = 845.
Для вычисления тл, нужно найти добавку к скорости часпщы, обусловленную наличием градиента поля 'ГН и усредненную по циклотронному периоду вращения. Запишем уравнения движения для поперечной скорости часпщы и г.' 607 $ 1. Движение атдельнви частиц в нвазме Разложим чз на две составляющие — скорость чо = — в однородном Иго де поле и малую добавку чз.' чз = чо + ч1. В поправочном члене уравнения (3) макло заменить величины чз и г на чо и го.
Учитывая, по ог =чохй, (4) получим для ч1 уравнение Й = [чд + чо(го ЧН)[ х й. Усредвнм обе части этого уравнения по периоду вращения частицы. При усреднении производной Ыз (ог получим й~, ч1(Ф+Т) — ч1(Т) ~Ю Т с точностью до членов первого порядка по малой величине ЧН. Усредияя правую часть, найдем (6) че =чз = — чо(го ' ЧН). Величины чо и го соответствуют движению часпщы в однородном поле и могут быть получены из уравнения (4). Их мвкно выбрать в виде го =Аз (езашйс+езсовйг), чо = о~го х Ь, (7) где ез и ез — орты, перпендикулярные Ь и друг другу.
Проведя усреднение, получим формулу, приведенную в условии задачи. 846. Адиабагическим инвариантом для релятивистской часпщы явля~н ~= ' .~=~ наев 1-.и и-~ Последнее соотношение выполняется для нерелятивистской частицы, у которой у - 1, и в том случае, когда ее энергия не сохраняется. 847. г = — 4в ° ЧН, где 4е = — Ь вЂ” магнитный момент, создар~ и) 2Н ваемый вращением часпщы. Это выражение совпадает с правой частью уравнения (Х1У.2), если в ней положить Е = О, так как из уравнения Максвелла бйч Н = О следует Н ойч Ь = — Ь ЧН. б08 Глава Луг' 848. ешд > з/Н!Н .
849. Н = 1 — Н/Н,„. 858. ° = то,/Йо!Н, где го — расспжние ведущего центра до оси ловушки в поле Но, т — расстояние после изменения поля до величины Н. Возрастание поля вызывает сжатие плазмы к оси ловушки. 851. Ведущий центр перейдет на силовую линию г = 1, ~р = —.
2са Не|)1г ' 852 Ведущий центр пратна движется равномерно по окружности радиуса г = 2т, лежащей в плоскости экватора, с угловой скоростью Зсг„~тшМ ер ер где у — гравитационная постоянная; Н > 226 км, Т 14,9сек. 853. а) Из уравнения (Х1У.1), вычисляя произведения [Ь х ~Н[ н [Ь х (Ь ° ~)Ь[ для поля магнитного диполя, находим, что движение поперек магнитных силовых линий сводится к азимутальному дрейфу, при котором расстояние до центра Земли и широтньй угол не меняются. Кроме того, ведущий центр движется вдоль силовой линии, уравнение которой имеет вид г = тесов Л, г где те расстояние в экваториальной плоскости от силовой линии до центра.
При этом энергия часпщы остается постоянной вследствие пренебрежения гравитационным полем. Используя известные выражения для напряженности поля магнитного диполя, а также уравнения (ХЖ1), (1) и (ХМ5), находим угловую скорость азимутального дрейфа. (ча)а Зсритоеш гз 1+в[пгЛ ага†2ер сове Л(ЗвшгЛ+1) орете сове Л(3в1п Л вЂ” 1) е„(за,лг Л+ 1)' Здесь р и о — импульс и скорость протона.
609 $ 1. Движение атдельнви частиц в нвазме б) С помощью уравненил (Х1ч'.5) находим условие, определяющеел >О; СВВЛ, 2 =вш а. ,зж:» = Часпщы дввжутсл в области — Л < Л < Л в) Протон достигает поверхности Земли при условии тесов Лт < г., г тЬо,по йт, где Ьо, изменение г-компоненты скорости одной часпщы при рассеянии ее на неподвюкной часпще. Искомая сила, равная полному импульсу, передаваемому за единицу времени, получнтсл интегрированием (1) по всему сечению пучка частиц. При этом нужно выразить сЫ, через прицельный параметр в.
Поскольку столкновения упругие, имеем Ье, = — 2са!ив ° гй 2' (2) й — угол рассеяния. Его связь с прицельным параметром в была найдена при решении задачи 713: 2 ~г вг е е сСбг 0 тгое 2' (3) После подстановки (2), (3) в (1) и интегрирования по сч получим выражение длл силы: р 4т 2 гг,Лч (4) т е л=) ~в — ",1. При в„, — оо, что соответствует неограниченному пучку, величина Л расходится. Этот результат объясняется дальнодействующим характером кулоновых сил, в результате чего с неподвижной часпщей взаимодействуют где г„— радиус земного шара.
854. Через площадку йт = в Ив Иа плоскости, перпендикулярной направлению движения часпщ, проходит за единицу времени по Йт часпщ. Они передают неподвижной частице импульс, равный б10 Глава Лук * кТ 4к(е'зХ + езп) (б) где е и е' — заряды электронов и ионов, и и Ф вЂ” их концентрации. Величина Л называется кулоновым логарифмом. Пренебрегая слабой зависимостью Л от о, можно считать Л = сопас, где сопас — число порядка 10. 855. Р й'(ч) = — — е е' Л I, у(ч')(й~'), / где д = тт, — приведенная масса. т+т' Полезно иметь в виду следующую электростатическую аналогию: выражение (1) можно записать в виде электрической силы я = оЕ, с которой действует на заряд 0 = — Я езе'зЛ «электростатическое поле» и Е(ч) = — 8гад у(ч), (2) где — «электростатический потенциал», удовлетворяющий уравнению Пуассо- на Ь„1р(ч) = — 4яД«). 856.
Энергия пробной частицы не меняетса при столкновениях с неподвюкными бесконечно тяжелыми часпщами. Изменение среднего импульса описывается уравнением ор — — Е вй где à — средняя сила. Ее удобно вычислять с помощью электростатической аналогии, указанной в решении предыдущей задачи. распределение н те часпщы, которые пролетают от нее сколь угодно далеко. Фактически в плазме любой заряд экранируется зарядами противоположного знака, поэтому с любой частицей взаимодействуют только те частицы, которые пролетают от нее на расспжниях, не превьппающнх радиуса экранировки. Для статистически равновесной плазмы радиус экранировки был вычислен в задаче 308 (радиус Дебая-Хюккеля): 611 $ 1. Движение атдельньи частиц в нвазме по скоростям часпщ среды описывается функцией У(ч) = пб(ч). Поэто- му 1с(ч) = п~ о, Е(ч) = пч~оз, — 4зггзг ч Р= — — ее пЛ вЂ”, т 3 1 (2) Р имеет характер «силы трения», стремящейся уменьшить направленную скорость часпщы.
Но зто трение тем меньше, чем больше скорость частицы (Г ° 1/ог, «падающее трение»). Интегрируя уравнение (1), найдем „з где т = з ", — характерное время потери частицей направленной 4еезе'гпЛ скорости. 857. Р= 0 при о<со, 4ке е Л~ — + —,~ — при о > оо. гзгб111пч т т э — 4ке е Лп~ — + —,~ —, при ч чо >ос, г зг /1 11чо г / з 4хе е Лп~ — + —,~ —, при ч чо <оо.
г т т' э ю 4хе~пЛ ч т оз (см. решение задачи 856). Отметим, что зависимость силы Р от скорости можно получить и из следующих полукачественных соображений. Сила трения есть потеря импульса частицей в единицу времени из-за столкновений. Если среднее время между столкновенкями т, а при каждом столкновении теряется импульс порядка полного импульса часпщы то (это означает, что в результате столкновения электрон отклоняется на большой угол), то (2) 859. На электрон, движущийся со скоростью о в среде неподвижных однозарядных ионов, действует сила трения б12 Глава Л71т итог ег 2 г' Это приближенное равенство позволяет оценить сечение столкновения о ят г 4яе4 г„в (4) н среднее время между столкновениями „,г„з т пас 4япев ' 4 Подставляя т в (2), находим Р ы ~~~,~, или, учитывая тормозаций ха- птсг рактер силы, у 4япевт (6) „з что отличается от (1) отсутствием кулонова логарифма Л.
Но это естественно: при оценке по формулам (2)-(5) мы не учитывали далеких столкновений с малыми передачами импульса, вклад юторых и дается кулоновым логарифмом. Усредним теперь формулу (1) по возможным скоростям электрона. Для этого положим тт — ц+ тт~ (7) где ттт — тепловаа сюрость, и — скороспь приобретаемая под действием электрического поля Е. При и « ет можем положить в знаменателе выражения (1) оз — оз. В числителе же нельзя пренебречь и по сравнению с ттт, так как при усреднении по направлениям тепловой скорости получим Ч, = О.
В итоге будем иметь — 4~певл (8) „з т где под ет теперь нужно понимать величину порядка средней тепловой скорости. В случае распределения Максвелла стг = ЗЙТ/тп. Таким образом, при и « е, получаем Р и. Прн и » о, полагаем о ж и и получаем л 4тпе Л г При таком столкновении электрон подходит к иону на расстояние, на юто- ром его кинетическая энерпы — порядка потенциальной: 613 Э 1. Движение атделвиыл частиц в плазме т.е. 7 1/из. Максимуму Г, очевидно, будет соответствовать значение и с:,; при этом обе формулы (8) и (9) дадут одинаковое значение г 4хпеаЛ (10) пзс, Примерный ход функции У(н) представлен на рис, 134.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
