В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Рнс. 134 Если поле в плазме Е ( У /е = Егз,' то сила торможения при немпором значении и, удовлепюряющем равенству 7(н) = еЕ, превысит ускоряющую электрическую силу еЕ, и электроны не смогут больше ускораться. Это — область значений поля Е, при которых имеет место обычный закон Ома.
В случае Е ) Ео ускоряющая сила превышает торможение, и электроны получают возможность ускоряться неограниченноз. Это явление получило название «убегагощих электронов». Подставляя оз = ЗВТ/гп в формулу (10), получим 1 еЛ гзз )сТ (11) 3 вяз ' 4хпез Точный расчет для этого же случая дает ([28), в. 1) Егз = 0,214 е (12) Наша порядковая оценка дала результат, близкий к точному значению. 'Критическое значение поля и = Ео называется драйсеровским.
зн действительности из-за юллективнык зффекгов злевтронный газ как делос не усюрается, его сопротивление может даже возрастать. б14 Глава Л7Г $ 2. Коллективные движения в плазме й> сз в(зН, Б 4хаНо в(хз ,(з, Но (Н, 1б Н' — "~р+ ~) =О. (2) Н Из последнего равенства следует, что р+ — зависит только от ж Но 8к ( г Н'2~ <(Р— 1р+ — 1 = — = солаФ, ~Ь~ 8х! ~Ь (4) так как Нз/8х от г не зависит. Поэтому равенства (1) и (2) представляет собой систему обыкновенных линейных уравнений для определения неювестных функций о(х), Н,(х).
Исключая ю них — ', получим уравнение относительно н = —: <Ы, ах <(зи 1 с — — — х ахз хо з' Но Ч а' о = хо(4ехр[хо1 Нсхр[ хо]) +С. (б) Граничные условия имеют внц о(ха) = О, так как вязкая жидкость у стенки неподвижна. Кроме того, из соображений симметрии следует о(х) = о( — х). 860. Естественно предположить, что скорость движения жидкости направлена вдоль оси я и зависит толью от поперечной координаты х.
Поскольку движущаяся проводящая жидюсть увлекает за собой силовые линии магнитного поля, то при движении должна возникнуть продольная составляющая магнитного поля Н,(х). Таким образом„неизвестные функции ч и Н ищем в виде ч(О,О,о(х)); Н(Но,О,Н,(х))1 при этом уравнения (Х1У.9), (ХГК10) удовлепюряются тождественно. Уравнения (ХМ 7), (ХЖ8) принимают следующий вид: 615 З 2. Коллективкме двазеекил в ллазне Из граничных условий и (б) находим сп — — сЬ— о х *о *о с(х) = со сЬ о — 1 хо (7) где оо — новая постоянная, имеющая смысл сюрости в средней плоско- сти х = О.
ее можно выразить через градиент давления: а сй —, — 1(р со (8) зйо Б хв Магнитное поле определяется из (2), (7) и граничных условий Н,(ха) = 0: Н.(х) = — —,",Л%сс сп о — 1 хо Отношение а/хо = М называется числом Гартмана. При М ~ 1 имеем оз пр со = — —, с(х) = со~1 — — ), =цз = ~ ог) (10) как в обычной гидродинамике. Магнитное поле Н, = 0 в первом порядке по числу Гартмана. Продольное поле Н, появляется только в следующих приближениях. В противоположном предельном случае М » 1 получаем Сравнение (10) с (11) показывает, по средняя сюрость движения уменьша- ется с ростом Но, а профиль сюростей становитса более плоским в средней части потока, но резю меняетса в слое толщиной хо у стенок.
Продольное магнитное поле в этом пределе имеет вил Н, (х) = — (*— — ехр ~ — о 1 вп — *) . (12) сМ оз а хо хо Как видно из формулы, оно убываетс ростомчисла Гартмана. Наибольшую величину Н, имеет при М вЂ” 1. 616 Глава Л7т Плотность тока в движущейся жидкости вычисляется нз уравнения Максвелла 1 = с гов Н. Отлична от нуля только у-компонента тока: 4и сЬ вЂ” * то вЬ— х 861. о(х) = ео —. Плотность тока .у'(х) вьа хо создаст магнитное поле вЬ вЂ” * хо — —. Этот ток Нохо вЬ— хо сЬ вЂ” — сЬ— а х Н ( ) 4 1оо хо хо Нохо вЬ вЂ” " хо обращающееся в нуль при ~х~ > а.
862. Магнитное поле имеет одну проекшпо Н с— в Н(т) = — с", т3'(т) Йт. о Интегрируя уравнение движения (Х1У 7) с граничным условием р~ „ = О, нахолим р(т) = — — — (т Нз)й; (1) 8,1, й т где Н = ~~) гр'(т)йт при т ( а, Н = 2.Ф/сг при т > а. о Чтобы связать силу тока г с Т и Н, полагаем р = 2п(т)ЬТ, где 14 — постоянная Больпмана, и интегрируем обе части (1) по площади поперечного сечения столба плазмы. Получим .г = 2сч'1ч"*хТ. (2) При Т ~ 10в оК и Х вв 104в частица/сиз (значения, характерные для термоядерных исследований) имеем Р 76 104 Создаваемое им магнитное поле Н, равно нулю всюду вне области, занятой жидкостью.
Там остается толью поперечное поле Но. 617 5 2. Коллектквкые дважеккя в ллазме 863. Ток должен течь по тонкому поверхностному слою. Тогда внутри столба будет постоянное давление ез 2ксзаз 864. Беря проекцию уравнения (Х1У12) на ось г и подставляя и = с'„-, и = сопзо, получим уравнение для определения Н„: дН» 2и дН; —" = — — ̈́— и — '. дг г " дг Решение зтого уравнения выражается через произвольную функцию г' от аргументов г — и1, д и а: (2) 2 Граничное условие имеет вид Н„~, =Н~(д,а+И) = — Г(а — иг,д,а) (3) (аргумент а — ЙФ у Но„написан в связи с переходом в неподвижную систему координат).
Таким образом, Е(а — И, д,а) = азНо„(д,а+ Й1). Следовательно, (2) запишется в виде Н„(т;д,а,е) = (г Но»(д,а — и +Й1). (4) Таким же путем находим Н, =-„Нов~а,а- „+Й1), (г — а) й Н» = ~.Нов(Аа и +Й1). Из уравнения дп Н = О вытекает следующая связь между проекциями вектора Но: — — зшд+ — (Нов вшд) + = О. айдНо» . д дНоа и да дд да 618 Глава Л7р' При Нев = 0 находим Не = О, Неа = и НО~ з1пд + Дд)1 ай если полояапь г'(д) = О, то будем иметь Н,„(г,д,а,е) = — „,.
Но„~д,о — „+йе) зщд. (6) азй г (г — а)й Паркер использовал рассмотренную модель для описания межпланетного магнитного поля, создаваемого потоками солнечной плазмы (солнечным ветром). В модели межпланетного магнитного поля Паркера Нв = О, а Н„ и Н даются формулами (4), (6). Измерения межпланетного мапппного поля, произведенные на спутниках и ракетах, показывают, что усредненное магнитное поле вблизи орбиты Земли удовлетворительно описывается моделью Паркера 865. Силовые линии имеют вид спиралей Архимеда: (и пе) ~ о й ае = сонат, д = агсс8 — - 56'; гей е Н 4,5 ° 10 ~э.
866. еь = 1+, где р — плотность плазмы. Найденное значе- 4кс р Н ние ез получается из результатов задачи 321 в предельном случае ы — О. 867. щ = ыр — — у —, где т — масса электрона. 4лпе~ 868. Прим < яр, В= 1, Е =, Еоехр[ — ол — квг[, 21о )в+ 1а где 8 = ф —" — 1, и = ф, Ео — амшппуда падающей волны. Глубина проникновения б = 1 = с; б с при ы « мр.
Затухание поля Р вызвано не диссипацией энергии, а возникновением токов в плазме, которые создают поле противоположного знака. 619 5 2. Коллективные двнсюения в ллазме При ш > шр яс = („), Е = Еоехр[з(ол — шс)], 869. Представим радиус-вектор частицы в виде К(с) = Ко+ чос+ Кз(с), где чо — скорость часпщы в отсутствие поля (тепловая скорость); Ко— радиус-вектор при $ = О; Кз(С) — добавка, обусловлеииая действием электрического поля плоской волны (магиитиым полем пренебрегаем, считая часпщы иерелятивистскими). Величина Кз удовлетворяет уравнению тКз = еЕоехр[з(1с.Ко+1с чоФ+1с Кз — шь)].
(2) В показателе экспоненты можно пренебречь слагаемым 1с ° Кп считая выполиеииым неравенство кяьз « 1. В этом приближении, линейном по Ео„ решение (2), соответствующее вынужденным жзлебаниям, имеет вид Ео ехр [йс ° Ко — з(ш — 1с ° чо) ь] К (й) (ш — 1с ° чо)з Скоросп часпшЫ выражается в виде' ч(1) = чо + зе о ехр[з)с. Ко — з(ш — 1с чо)1]. (4) тш — )с чо Ток, создаваемый одной частицей, иачальиые зиачеивя радиуса-вектора и скорости которой равны соответственно Ко и чо, запишем в виде 2з(г,й) = еч(С)(г — К(с)), 'Расхсинмость вырюкений (3) и (4) при 1счо = ш связана с некорреюным рассмотрением арезонансныхя частиц, т.е.
чястизЬ скоросзь которых удоюютворяет условию )счо = ьь Чтобы избежать атой трудности, предположим, что в плазме отсугсзвуют частицы с такими скоростями, т.е. исюпочим из рассмотрения интервал скоростей, удоалетворяююнх неравенству )ч — чо] Кос. б20 Глава Л7Г где ч(с) — скорость частицы в точке г = К(с). Для вычисления полного тока з(г, Ф) нужно умножить (5) на число часцщ в обьеме (сЖо), обладающих начальной скоростью то, и проинтегрировать по всем возможным значениям Ко но: Д(г,с) = еп т(1)б(г — К(1)Щто)(с(чо)(сЖо) (6) Начнем с интегрирования по координатам. Аргумент б-функции зависит от Ко сложным образом, поэтому перейдем к новой переменной интегрирования К = Ко + чос + Кс(Ко с).
Вычисляя якобиан преобразования с точностью до членов, линейных по Ео, получим (сЖс) = (сЖ) ю (1 — 1)с ° Кг)(сЖ). (7) д(Во*,Во ~Во ) д(В, В„, В,) После этого интегрирование по (сЖ) не представляет труда н проводнтса с помощью формулы типа (П 1.4). Подставляя под интеграл (б) выражение (7) и пренебрегая снова слагаемыми 1с Кг в показателях экспонент, получим Д(г,е) = еп то+ + У(чоНсЫо), (8) (еЕ вето(1с Е) т(ы — 1с.
чо) т(ы — 1с чо) где Е = Еоехр[1(1с ° г — мФ)). Точка 1с ° чв = м не является особой точкой подынтегрального выражения, так как предполагаетса, что /(тд) = 0 при 1с чо =ы. Поэтому можно произвести разложение по отношению ео/ц = Йсо/са, предполагая характерные скорости частиц малыми по сравнейию с фазовой скоростью волны. Это позволяет представить (8) в виде 1еЕв ( 1с ° то (1с ° че) тш~ ы М +"'"'Е'"' +'"" /(.и( ) (р) Предполагая, по 7(оо) не зависит от углов, получим 3(г,с) = те 1 + ~ 02 Е + 1 + ЖЮ2 Е 1 .
(10) 621 $ 2. Каеиеиеивиые движение в иеезие Здесь (1с ° Е)1с Е1 =, Ег =Š— Е1, о(( — — 2и о1/(т)о~ Пег По1. В случае распределениа Максвелла ог = Т~тп. 1 Из выражения (10) находим тензор проводимости: (11) Он является чисто мнимым, что свидетельствует об отсутствии диссипации энергии. Вычисляя тензор диэлектрической проницаемости по формуле 4яа д сад = бал+ 4 (13) будем иметь ааад 1 ааад сад(а>~1с) = ез бас г + е1 г 1 (14) г, ыр / „=1- — ~1+ ,г ~ г ыр / е1 =1 — — 1+ ер) г 4а пег гп (15) По сравнению со случаем отсутствия теплового движения (ог = О) возник новый важный эффект — зависимость е от к, пространственная дисперсия. В связи с этим диэлектрическая проницаемость стала тензорной величиной. Зависимость е от к обьясняется тем, что ток в некоторой точке создается частицами, приходящими из соседних областей, поле в которых не равно полю в рассматриваемой точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
