В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Пространственная неоднородность поля вместе с тепловым движением частиц и приводят к пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости. Поведение резонансных (к то = ы) частиц рассмотрено в этой задаче недостаточно корректно, в связи с чем при расчете утеряна малая мнимая часть е1, которая описывает передачу энергии от волны к частицам (затухание Ландау, которое существует даже в бесстолкновительной плазме). б22 Глава 27р' „> Зао„„, Зи„ у % 810. о, = — Р + — — Р; оя — — — к. В отсУтствие теплового й 2юр а ™ "Ъ движения ся — — О. Таким образом, плазменные юлебания распространяются в результате переноса электромагнитной энергии часпщами. 811.
а) р(г, Ф) = р(г, О) соаирс ( (хоз+ 4зЩз!з ( (хо+ 4ЦЗГ) 3 3 3 П где,8 = — —. В случае б), кроме плазменных юлебаний плотности за- 2«Ъ' ряда с частотой мр, происходит его релаксапня нз-за теплового движения частиц, р(х, г) = О при 4 — оо. ПРИЛОЖЕНИЯ 1. б-ФУНКЦИЯ б-функция Дирака определяется равенспщми (оо при х= а; б(х — а) бх = 1.
(П 1.1) (П1.2) Интегрирование в (П 1.2) выполняется по промежутку х!з произвольной дли- ны, содержащему внутри себя точку а. б-функция удовлетворяет следующим соотношениям: б(х) = б(-х), У(х)б(х — а) ь(х = Да), а б(ах) = — б(х), 1сз! (П 1.3) (П 1.4) (П 1.5) где Дх) — непрерывная функция.
Трехмерная б-функция определяется аналогичными соотношениями: б(г — а) = б(х — ае)б(р — а„)б(л — ав) = 1( (О при г фи, (П 1.6) (оо при г = и; /)))« — )е =1 ( Да), если а внутри обьема 1)', у(г)б(г — а) (Лl = ~ (П 1.7) :~ О, если а вне обьема К Ь Здесь у(г) — непрерывная функция.
' Математически юрреатное определение д функции требует обобщения обычного пощтпщ функции (смл Н.М. Гельфанд, Г В.шилов «Обобщенные функции и действия над нимнв, т. 1, Фнзмазтиз, ! 958! В.С. Влааимиров «Уравнения математнчесюй фюикив, «Наумщ, ! 9671 6-функция относится к классу сингулярных обобщенных функций. б24 р(г) = еб(г — а), (П 1.8) Рис. 135 — = Ьб(х — а) + ограниченная функция. (П 1.11) дУ дх Наглядное представление о б-функцви и ее производных можно получить, рассматривая график неюторой непрерывной функции б(х — а, а), такой *по ) б(х — а, с/) /(х = 1 (рис.
135). Параметр с/ характеризует ширину промежутка, в ютором б(х — а, а) отлична от нуля. б-функция и ее производные определяются как пределы: б(х — а) = йш б(х — а,а), а 0 дб(х — а), дб(х — а, а) — 1пп дх о дх и т.д. / 11 11 11 11 11 дб'з — а,а е 11 11 11 11 11 11 С помощью б-функции можно описывап распределение в пространстве заряда точечной частицы. Обьемная плотность такого распреде- ления где е — заряд частицы, а — радиус-вектор точки, в которой находится часпща. Можно определить также производную от б-функции. Точный ее смысл содержится в формуле Дх) //х = — —, (П 1.9) дб(х — а) д/(а) дх да а которая получается интегрированием по ча- стям. Аналогично определяются производные высших порядков: у(х)б("/(х — а) //х = ( — 1)" / "(а). (П 1.10) а Сама б-фуикция может рассматриваться как проюводная от функции, испытывающей в неюторой точке а юнечный скачок Ь.
Если Да + 0) —,/(а — 0) ы Ь, то 1. б-функция 625 Свойства б-функции приобретают многие несннгулярные функции, зависящие от параметра, при определенных предельных значениях этого параметра. Например: При й н и целых +00 1 а1п2йх ь о '" з1пх (П 1.14') Легко убедиться в том, что любое из представлений (П 1.12 — П 1.14') согласуется со всеми определениями (П 1.1 — П 1.5), а также с определением (П 1.9) производной от б-функции. При вычислении интегралов вида )'Дх)б(х— — а) сЬ с помощью представлений типа (П 1.12-П 1.14) нужно иметь в виду, что предельный переход должен производиться после выполнения интегрированна, например при использовании (П 1.12): У(х)б(х — а) Йх = 1пп У(х)б(х — а) бх.
Путем рассмотрения интеграла Фурье (или с помощью представления (П 1.13)) можно получить еще одно полезное представление б-функции: (П 1.16) К б-функции близки две другие обобщенные функции б+(х) и б (х). Они определяются равенствами, сходными с (П 1.15): би(х) = — l е~ к ок. 2я / о (П 1.16) бн(х) = — б(х) ~ — Р—, 1 1 1 2 2к х' (П 1.17) б(х) = йш — ° и ок оз+хз б(х) = 11ш— 1 ешйх 7Г х б(х) = й 1 зш йх ь к Вхз б(х) = — е'ь* ок = — сов ихйс. — нО о Функции б+ и б связаны с б-функцией соотношениями (П 1.12) (П 1.13) (П 1.14) б2б аз Дх)бя(х — а) дх = 2~(а 11',г(х) 2и- 1 х — а аг У(~) У(х) аг 2~( ) гдеаг <а<аз,е>0.
Если аргумент б-функнии является однозначной функцией независимой переменной х, то имеет место формула б(гп(х)) = у ', б(х — аь), (П 1.18) где сгь — корни уравнения гр(х) = О. 2. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА Сферическая функция порядка 1, т, зависящая от полярных углов д, а, определяется формулой: Рг (саад)е', (П 2.1) 'г'з (д,а) =б в которой целые числа 1, т удовлетворяют условиям 1 > О, — 1 < т < 1; б = ( — 1) при т > О, б = 1 при т < О.
Через 1с) обозначен присоединенный полинам Лежандра (П 2.2) ь ь 'Чвсто вместо обозначении Р 1' используют обозначение Г'. а а так что б(х) = бе(х) + б (х). Символ Р' в формуле (П 1.17) представляет главное значение интеграла: 627 2. Сферические фунлиии лююийра где Е1(х) — обычный полипом Лежандра. Он совпадает с Р1 (х) при тп = 0: 1 о'(хг — 1)3 Р1(х) = — = Р)о(х). (П 2.3) Присоединенные полиномы Лежандра удовлетворяют дифференциальному уравнению — [(х — 1) 1+ [1(1+1) — ]Ран(х) =О. (П2.4) Приведем некоторые формулы, полезные при работе со сферическими функциями: Уз (О,О) = — б,„о, Уь„(д,ст) = ( — 1)гуин(зг — д,х+ гв), „(2п — 1) й, Р)(1) = 1, Рг„(0) = (-1)" „, ' Рг„оз(0) = 0; (П 2.5) (1+1)Ргез(х) = (21+1)хР)(х) — 1Рв з(х), (хг — 1) = Ю(хР)(х) — Р1 д(х)].
Щ(х) (П2.6) Сферические функции с 1 = О, 1, 2 имеют вид: 1 уоо =— (П 2.7) в1п д сов деиао, 1 г,иг— Сферические функции образуют на поверхности сферы полную ортонормированную систему функций от д, а. Это означает, что Ъ~" (д,св)уро, (д,св) НП = ба б„,ез, (П 2.8) ' Симвзлом пи обозначено произведение всех последовательных целых чисел, имиопьих ту ие четность, что и и, ог 2 до и при н четном и от! до и при и нечетном.
уды = +~(— Гз 'у' 8п Е5 г'з,ы = ~у— 'т' 8н 1'зо = ~( — сов д, ~3 'у' 4п в1пде, 1го = ь(— хаа /5 'у 4н 3 сонг д — 1 2 15 ° г д игво 32н б28 где!(й = ашд Иоа — злементтелесного угла, и чтопроизвольная функция от д, а с интегрируемым квадратом модуля может быть разложена в ряд .г'(д,а) = ~~! а! Ъ~ (д,а). (П 2.9) Козффициенты о! определяются формулами о!„, = У!,'„(д, а)у(д, а) <И. (П 2.10) Фушщии вида т ' Ж~ (д, а) и т!г! (д, а) называют шаровыми гармониками. Легко проверить с помощью (П2.4), по шаровые гармоники являются частными решениями уравнения Лапласа во всех точках, кроме т = 0: Решением уравнения Лапласа является также суперпозиция шаровых гармоник с произвольными козффициентами !=е та=-! Если г(т, д, а) и г'(т', д', а') — радиусы-векторы двух точек пространства, причем т > т' (см.
рис. 7), то Функция 1/гс называется производящей функцией для полиномов Лежандра. Имеет место следующая теорема сложения для сферических фун!щий: ! Р~(соа у) = ~ у Ъ~ (д,а)1 (д',а'). 21+ 1 па= — ! (П 2.14) Углы д, а и д', а' входят в (П 2.14) вполне симметричным образом. Подстановка (П 2.14) в (П 2.13) приводит к разложению: оо и = 4я ~~ ~~ " 1'! (д, а)1~!,'„(д', а'). (П 2.15) —, о,(21+1) "+' 1 1 гг (г — г'! = О, Ь[т!У!„,(д, а)] = О. (П 2.11) !р= ~~~ ~~~ (о!ч~т ! ~+ба„т~)7ь~(д,а). (П2.12) —,у.
—;„И( 'у). (П2ЛЗ) г=о ' 629 3. Цилиндрические функции г Из формулы (П 2.13) следует (если положить — '„= е ~б~) разложение: — зз.. г' ~"н(-,г г — т (П 2.16) 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Цилиндрические функции Яр(кх) явлаются решениями уравнения Бесселя — + — — + ~)е — — ) Я = О. г(зЯ 1гЫ гз Рт (П 3.1) гухз хг г(х хз Решение, которое при р > О ограничено в точке г = О, называется цилиндрической функцией первого рода (или функцией Бесселя): хр~ ( )ь хз" 2' . 2зьй)цр+ й+ 1) ' (П 3.2) Ур(х) соври — У р(х) Нр(х) = з1п ргг (П 3.3) Часто употреблжотся также цилиндрические функции третьего рода (функции Ханкала): Нрг) (х) Ур(х) + тУгУр(х) Нрйй(х) = Ур(х) — акр(х).) (П 3.4) В качестве общего решения уравнения Бесселя может быть взята линейная комбинация с произвольными коэффициентами любых двух линейно независимых цилиндрических функций.
Таками функциями являются, в частности, .Ур(х) и .У р(х), если р не равно целому числу. При р = и, гзту функцию натнаают иногда функцией Набора и оботначюот Уй(к). Так как в уравнение (П 3.1) входит рз, то,У р также является решением зтого уравнения. То же относится к любой линейной комбинации Ур и,У р. Цилиндрическая функция второго рода (функция Неймана)' определяется следующим образом: 630 где и — целое, функции,У„(х) и,У „(х) = ( — 1)",У„(х) линейно зависимы, и тогда в качестве общего решения можно взять, например, линейную комбинацию .У„и И„. Цилиндрические функции от чисто мнимого аргумента называются модифицированными функциями Бесселя.
При целом и они определяются равенствами: ( ) 1.(' ) Н ( ) +'Н1г1( ) (П3.3) Функция Н„(х) называется функцией Макдональда. В физических задачах часто требуется знать приближенный вид цилиндрических функций прн малых и больших значениях аргумента. При )х( « 1 имеем: 1„(х) ~ , ,У„(х) 2'Т(р+1)' " 2"пг' хз хз .Уо(х) ж 1 — —, Уо(х) 1+ —, 2"(и — 1)г 2" ~(п — 1)! АГ„(х) = — „ , Л„(х) = АГо(х) = — 1п —, Ло(х) = 1и —, 2 ух 2 х" 1„(х) ив 2"пг' (П 3.6) Н ' (х) 1х — 1п — = х — 1п~ —.~. П,з) 21 7х 21 Г 7х ~ о к 2 я ~~2зУ (П 3.7) Аснмптотические выражения для цилиндрических функций (~х~ >> 1): ,У (х) ~н з,г — соз~х — — — -~ l 2 г Ргг к~ 2 41' Л (х) ю у — з1п~х — — — — ~ У2. Р я .'(*=",--.) 1„(х) в, Н„(х), — е *.
(П 3.8) где и > 1, 1п у = 0,5772. Вырюкения для функций Ханкеля при ~х~ << 1 могут быть получены из (П 3.6) с помощью (П 3.4). В частности, 631 3. Цилнндри чеекие функции Между функциями,Ур, Лр и Нр ' (общий символ Ер), а также 1„, К„ 11,г) существуют следующие соотношения: Я ~(х) + Я+г(х) = — Я (х), 2р Л' г(х) — Я +~(х) = 2Я'(х), Я~(х) = — 2~(х); 1р г(х) — 1р+г(х) = — 1р(х), 1р г(х) — 1„+г(х) = 21'(х), 2р Кр г(х) — Кр+г(х) = — — Кр(х), Кр ](х) + Кр~ г(х) = — 2Кр(х). Функции Бесселя могут быть представлены в виде интегралов (П 3.9) (П 3.10) а+ге а+ге ,У„(х) = — ей*""" "Р1 йр = — ей* "' "Р) Жр.
(П3.11) а а СО К 3(р9) сов рхох у р 1'+гУг (сг+ хг)е+г ~2дУ ' Г(е+ Ц о 1 ,Уо(хг)х дх ха+ )гг о (П 3.15) (П 3.16) где а — любое вещественное число. Интегралы с функциями Бессела могут быль вычислены с помощью формул (П 3.9), (П 3.10). В часпюсти, Рг,(х) У =* г„,(х), *- Я„(х)У = — — г~,(х), (П3.12) )"" х,Ур(ах),Ур(13х) е(х — . (П 3.13) )Уг иг о В настоящем сборнике задач используются также следующие инте- гральные формулы (Ве й ) О): 1 (р + г~) г = / е. ~~(Уо()ер) й)е, о б32 Сферические функции Бесселя первого рода и сферические функции Ханкала первого и второго рода (общий символ 21(х)) определяются равенствами: 31(Х) = 2 71+1/2(х)> 61 (Х) = 2 1+1/2(Х) ° (П 3.17) При малых х: Л( (21+ 1)81' 61( ' ) (х) расходится как х (1,2) (П 3.18) При больших х: 21(х) = — сов'[х— (1 + 1)11 (1+1)м й(1,2)( ) 1 ь1(*- х (П 3.19) Если Н = )г — г'~ (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
